Стереометрия Студентка Ишкильдина Диана Факультет СПО Группа 10342

Стереометрия Студентка: Ишкильдина Диана Факультет СПО Группа: 10342 -с61

Что такое «стереометрия» ? Стереометрия (от др. греч. στερεός, «стереос» — «твёрдый, пространственный» и μετρέω — «измеряю» ) — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путем рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

Основные фигуры стереометрии

Фигуры Стереометрии

Многогранники Многогранник представляет собой тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми и невыпуклыми . Выпуклый многогранник расположен по одну сторону относительно плоскости, проходящей через любую его грань.

Выпуклый многогранник Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. Для выпуклого многогранника верна теорема Эйлера В Р+Г=2, где В — количество вершин многогранника, Р — количество рёбер, Г — количество граней.

Вариации и обобщения Понятие многогранника индуктивно обобщается по размерности; такое обобщение обычно называется n-мерным многогранником. Бесконечный многогранник допускает в определении конечное число неограниченных граней и рёбер. Криволинейные многогранники допускают криволинейные рёбра и грани. Сферический многогранник.

Многогранники и тела вращения Любое геометрическое тело состоит из оболочки, т. е. внешней поверхности, и какого либо материала, его наполняющего . Каждое геометрическое тело имеет свою форму, кото рая различается по составу, структуре и размерам. Структура формы влияет на внешний облик геометрического тела.

Тела вращения Сферой называется множество всех точек пространства, удаленных от данной точки, называемой центром сферы, на одно и то же расстояние (рис. 11). Отрезок, соединяющий любую точку сферы с ее центром, называется радиусом сферы. Радиусом сферы называют также расстояние от любой точки сферы до ее центра. Для сферы, как и для окружности, определяются хорды и диаметр. Тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Примеры тел вращения Шар — образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза Цилиндр — образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь его развертки: Sбок = 2πrh. Конус — образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки: Sбок = πrl Площадь полной поверхности конуса: Sкон = πr(l+ r) Тор — образован окружностью, вращающейся вокруг прямой, не пересекающей его

Объем тел вращения Вращение вокруг оси x Объём тела, образуемого вращением вокруг оси х фигуры, ограниченной функцией f(x) на интервале [a; b] , осью x и прямыми x=a и x=b равен: Вращение вокруг оси y Объём тела, образуемого вращением вокруг оси у фигуры, ограниченной функцией f(x) на интервале [a; b] , осью у и прямыми и равен: Альтернативные формулы вычисления :

Теорема Гульдина Объём и площадь поверхности тел вращения можно также узнать при помощи теорем Гульдина Паппа. Первая теорема Гульдина Паппа гласит: Площадь поверхности, образуемой при вращении линии, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равна произведению длины линии на длину окружности, пробегаемой центром масс этой линии. Вторая теорема Гульдина Паппа гласит: Объём тела, образуемого при вращении фигуры, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равен произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой центром масс этой фигуры.

Аксиомы стереометрии. На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки. В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии. Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. Если две точки прямой лежат на одной плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Любая плоскость α разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что: любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены плоскостью α; любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью α. Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, содержащей эти точки.

Аксиома Какова бы ни была плоскость, существуют точки в пространстве, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. Если две разные плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, проходящую через эту точку. Если две разные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом единственную. Для произвольной плоскости выполняются аксиомы планиметрии.

Применение стереометрии. Изучая свойства геометрических фигур воображаемых объектов, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов (их форме, взаимном расположении и т. д. ) и можем использовать эти свойства в практической деятельности. Геометрия, в частности стереометрия, широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники.

Источники В. В. Прасолов, И. Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. — М. : Наука, 1989. И. Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии (стереометрия). М. : Наука, 1984. — 160 с. (Библиотечка "Квант", Вып. 31). Материал из Википедии — свободной энциклопедии А. В. Погорелов. «Геометрия. 10 -11 класс» § 21. Тела вращения. — 2011

Конец