Стереометрия Содержание 1 Аксиомы стереометрии 2 Параллельность

Стереометрия

Содержание 1. Аксиомы стереометрии 2. Параллельность прямых и плоскостей 3. Взаимное расположение прямых в пространстве 4. Параллельность плоскостей 5. Признак перпендикулярности 6. Теорема о 3 -х перпендикулярах 7. Многогранники

Аксиомы стереометрии

Аксиома 1 Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. α

Аксиома 2 Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. A С B α

Аксиома 3 Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

а A α β

Следствия из аксиом

Следствие 1 Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Q а P M α Дано: прямая а Доказать: 1) можно провести α через а и М; Доказательство: 2) α - единственная 1) Возьмем две точки Р є а и Q є а Через М, Р, Q по аксиоме А 1 можно провести плоскость α. Р є α и Q є α => Значит, 2)

Следствие 2 Через две пересекающие прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Дано: а∩b=М. b a M N α Доказать: 1) можно провести α через а и b; 2) α – единственная. Доказательство: 1) Возьмем точку N є b. Через а и N проведем плоскость α (по следствию1). М є b (по условию) и N є b Значит, 2)

Глава 1 Параллельность прямых и плоскостей

Параллельные прямые в пространстве

Определение • Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема • Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Доказательство Дано: M a Доказать: что существует единственная прямая, параллельная а и проходящая через точку М Доказательство: Через прямую а и точку М, не лежащую на этой прямой, проходит плоскость α, и при том только одна. Проведем прямую b через точку М, параллельно прямой а. Прямая b будет принадлежать плоскости α. Но, как известно из курса планиметрии, через точку М проходит прямая, параллельная прямой а и притом только одна. М b a α

Параллельность трех прямых

Теорема Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Дано: а ║ с , b ║ c, Доказать: a║b Доказательство: 1)Возьмем на прямой b точку К, через прямую а и точку К проведем плоскость α Пусть b ∩ α = К по условию b ║ с тогда получили противоречие, значит а и b лежат в плоскости α 2)Пусть а ∩ b = Х, тогда через точку их пересечения проходят две прямые параллельные с, что противоречит теореме о параллельных прямых. Получили а ║ b с1 b b 1 α а 1 К с М а N

Лемма • Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

b Дано: а а║b а ∩ α =М Доказать: b∩α=N М α Доказательство: Т. к. а ║ b, значит они лежат в плоскости β М α, М β | α∩β=р а║b, а∩р=М | b ∩р = N , р α , Значит N-общая точка b и α Докажем единственность точки N Пусть N и N 1 общие точки b и α, тогда b α По условию b β | α ∩ β = b, b совпала с прямой р. Но если p пересекает a , то и b пересекает a , что противоречит условию Значит N- единственная общая точка прямой и плоскости, то есть прямая b пересекает α в точке N. β b а М α N р

Параллельность прямой и плоскости

Определение • Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема • Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Дано: а α b α а║b Доказать: а║α Доказательство: Пусть а ∩ α =А , тогда, т. к. а ║ b (по условию), то b ∩ α =В. Но b α (противоречие с условием) Значит, а ║ α. а а b А b В α

Утверждение, которые часто используются при решении задач

Утверждение 1 • Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Утверждение 2 • Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми.

Скрещивающие прямые

Скрещивающиеся прямые Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. АВ СD D α A B C

Признак скрещивающихся прямых Теорема: Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. Дано: α АВ α DC ∩ α = С С АВ Доказать: АВ и DC скрещивающиеся прямые D A B C

Признак скрещивающихся прямых Доказательство: Пусть АВ, DС принадлежат некоторой плоскости β, тогда эта плоскость проходит через прямую АВ и точку С и значит β совпадет с α, но это невозможно, так как прямая DС не лежит в плоскости α, значит прямые АВ и DС скрещивающиеся. D α B C A β A B D C

Свойство скрещивающихся прямых Теорема: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. Дано: AB и CD – скрещивающиеся прямые A C В Доказать: α: АВ α; α ║СD D Е α

Доказательство: Проведем прямую АЕ ║CD. α ( АЕ ; АВ) CD α CD ║ АЕ α – единственная плоскость, проходящая через прямую АВ и параллельная CD. Иначе, плоскость проходящая через АВ, пересекающаяся с АЕ, будет пересекаться СD.

Угол между прямыми

a α = 00 b α М a 0 0 < α ≤ 900 b a a М 1 α b b М 1 1 Градусная мера угла между скрещивающимися прямыми равна градусной мере угла между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимися прямыми

Параллельность плоскостей

Параллельность плоскостей Определение: Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Теорема: Если две пересекающие прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Дано: а ∩ b =М, b а а α, b α М а ║ а 1 , b ║ b 1 α a 1 β, b 1 β Доказать: α ║ β a 1 β b 1

Доказательство: Пусть α ∩ β по прямой с, тогда a ║ a 1 а║β а║с а α a 1 β α∩β=с а║b b║β b ║ b 1 b α b║с b 1 β α∩β=с Получили противоречие с условием. Значит α ║ β а М b с α a 1 β b 1

Свойства параллельных плоскостей Теорема: Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. α║β α ∩γ= a β∩γ=b a α a║b b β Теорема: Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. α║β, AB║CD AB ∩ β =B AB ∩ α =A CD ∩ β =D CD ∩ α =C γ BA=CD

Тест по главе 1 • тест

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90° b а α 90°

Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой с а b

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. с а α b

Дано: A d P l q α p m Q O Доказать: Доказательство: m – произвольная прямая. L , B , -серединные перпендикуляры к AB - равнобедренный , AP=BP и AQ=BQ LO – высота AL=BL

Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. а в с α

Обратная теорема: Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны а в с α

Теорема о трёх перпендикулярах

Определение прямой перпендикулярной плоскости Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. b α A c d a

Признак перпендикулярности прямой и плоскости Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. c α A b a

Перпендикуляр, наклонная, проекция наклонной на плоскость A М α В

Теорема о трех перпендикулярах A М α В а Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Теорема обратная к теореме о трех перпендикулярах A М α В а Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к проекции наклонной на плоскость.

Тест • тест

Многогранники

Фигуры • • • Тетраедр Куб Октаэдр Икосаэдр Додекаэдр Букибол

Параллелепипед с сечением • • 1 вариант 2 вариант 3 вариант 4 вариант

Тест • тест