Стереометрия Аксиомы стереометрии стереометрия от

Стереометрия Аксиомы стереометрии

«стереометрия» – от греч. stereos – пространственный (stereon – объем).

Плоскость - Это множество, элементами которого являются точки и в котором выполняется система аксиом планиметрии, описывающая свойства точек и прямых.

Пространство - Это множество, элементами которого являются точки и в котором выполняется система аксиом стереометрии, описывающая свойства точек, прямых и плоскостей.

Аксиома R 1 В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.

Аксиома R 1 дает право рассматривать в любой плоскости пространства отрезки, прямые, треугольники, многоугольники, окружности и другие плоские фигуры со всеми их свойствами, которые изучались в планиметрии.

Аксиома R 2 (аксиома плоскости) Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. = (РКС)

Аксиома R 3 Какова бы не была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей. М m

C α , говорят, что плоскость α проходит через точку А м М α , говорят, что плоскость α не проходит через точку М

Аксиома R 4 (аксиома прямой и плоскости) Если прямая проходит через две точки плоскости, то она лежит в этой плоскости

Аксиома R 4 (аксиома прямой и плоскости) Если прямая проходит через две точки плоскости, то она лежит в этой плоскости М m С Если М, C m, то m 11

m Прямая m представляет собой множество точек, которое является подмножеством множества точек плоскости m

Аксиома R 5 ( аксиома пересечения плоскостей) Если две плоскости имеют общую точку, то пересечение этих плоскостей есть их общая прямая М , М m , m m = m 13

Аксиома R 6 (аксиома разбиения пространства плоскостью) Любая плоскость α разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что: а) любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены плоскостью α; б) любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью α

Аксиома R 6 (аксиома разбиения пространства плоскостью) Так как точки А и В принадлежат одному и тому же множеству Р, то отрезок АВ не пересекает плоскость α. Это означает, что точки А и В не разделены плоскостью α. Так как точки А и С принадлежат разным множествам, то отрезок АС пересекает плоскость α.

Аксиома R 7 ( аксиома расстояния) Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, проходящей через эти точки.

На каждой плоскости любым двум точкам А и В ставится в соответствие положительное число – расстояние между ними на этой плоскости. Хотя через точки А и В проходят одновременно различные плоскости, аксиома утверждает, что расстояние между точками А и В будет одно и то же на каждой из этих плоскостей.

Как в пространстве можно однозначно задать плоскость? По трем точкам, не лежащим на одной прямой По прямой и точке, не лежащей на этой прямой По двум пересекающимся прямым По двум параллельным прямым 18

1. Сколько существует способов задания плоскости? 2. Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы? а) г) б) д) в) е) 19