Статистика-дизайн информации Элементы комбинаторики и теории вероятности

Статистика-дизайн информации. Элементы комбинаторики и теории вероятности

Статистика - это математическая теория, позволяющая познать мир через опыт. В. Томпсон Цель урока: ввести понятие статистики, статистических исследований , найти применение статистических данных решении вероятностных задач. Методы достижения цели: сбор данных по определенной тематике, применение табличных и диаграммных методов, групповая и индивидуальная работа.

Статистика – наука, которая занимается получением, обработкой и анализом количественных данных о разнообразных массовых явлениях, происходящих в природе и обществе. ПРИМЕР Итоговые оценки: 3 v 5 v 4 v 2 v 3 4 4 3 4 3 4 4 5 3 3 4 3.

2; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 5; 5; 5. Варианта измерения – один из результатов этого измерения. Каждая варианта наблюдается в ряде данных определённое количество раз. Это количество называется кратностью варианты.

Количество всех данных измерения – объём измерения. 2 Кратность варианты варианта 3 4 5 1 11 3 10 сумма 25

Частота варианты = кратность варианты/объём измерения. 2 Кратность варианты частота Частота, % варианта 3 4 5 1 11 10 3 25 0, 4 0, 12 1 40 12 100 0, 04 0, 44 4 44 сумма

общий ряд данных: 3; 3, 5; 4; 4, 5; 5; 5, 5; 6; 6, 5; 7; 7, 5; 8; 8, 5; 9; 9, 5; 10, 5; 11, 5; 12, 5; 13, 5; 14, 5; 15. ряд данных 5; 6; 6, 5; 7; 8; 8, 5; 9; 9, 5; 10, 5; 11; 12

варианта Сумма Частота, %. Частота Кратность варианты 5 6 6, 5 7 8 8, 5 9 9, 5 10 10, 5 2 9 14 3 5 1 7 3 0, 08 0, 03 0, 15 0, 24 0, 05 0, 08 0, 02 0, 12 0, 05 3 8 3 15 24 5 8 2 12 5 11 6 0, 1 10 12 3 60 0, 05 1 5 100

варианта 0 -20 кратнос 31 ть частота 50100 - 15020 -50 ≥ 200 150 200 сумма 52 0, 155 0, 26 Частота 15, 5 % 26 47 38 19 13 200 0, 235 0, 19 0, 95 0, 65 1 23, 5 9, 5 6, 5 100 19

y 52 47 38 31 19 13 10 1 1 2 3 4 5 6 x

Разность между максимальной и минимальной вариантами называют размахом измерения. Ту варианту, которая в измерении встретилась чаще других, называют модой измерения. Среднее измерение – сумма всех вариант/ количество вариант.

Найдите среднее арифметическое, размах и моду ряда чисел: А) 35; 16; 84; 16; 33; 35; 16; 22. Б) -11; 23; 18; -23; 31; 50; 22; 13. А)Размах: 84 -16=68 Среднее значение: (35+16+84+16+33+35+16+22): 8=32, 125 Мода: 16. Б) Размах: 50 -(-23)=73 Среднее значение: (-11+23+18+(23)+31+50+22+13): 8=15, 375 Мода: отсутствует.

Общий ряд данных: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10. Ряд данных: 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 10. Сгруппированный ряд: 2; 2; 2; 3; 3; 3; 5; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 8; 9; 9; 9; 10.

Найдите и среднее арифметическое, размах моду ряда чисел: -21, -33, -35, -19, -20, -22. Решение. отсутствует

Найдите и среднее арифметическое, размах моду ряда чисел: 16, 20, 16, 14, 20, 16. Решение.

Найдите и среднее арифметическое, размах моду ряда чисел: -4, -6, 0, 4, 0, 6, 8, -12. Решение.

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Основные понятия Статистический эксперимент (опыт) Наблюдение за объектами или явлениями в строго определенных условиях и измерение определенных признаков объекта. Может быть повторен в практически неизменных условиях неограниченное количество раз Исход эксперимента Значение наблюдаемого признака, непосредственно полученное по окончании эксперимента Событие: Появление исхода, обладающего заранее указанным свойством – случайное Событие, которое может произойти или не произойти проведении опыта – достоверное Событие, которое происходит при проведении опыта всегда – невозможное Событие, которое не может произойти ни при каком исходе опыта – равновозможные События, которые имеют равные возможности произойти

Различные подходы к определению вероятности Подход Определение Формула 1 2 3 Статистический Имеет место для испытаний с конечным числом неравновозможных исходов, когда возможно проведение серии реальных экспериментов. Относительная частота появления события А – отношение числа испытаний т, в которых событие А появилось, к общему числу всех испытаний п. Статистическая вероятность случайного события А – численное значение постоянной, около которой колеблется W(A) W(А) = ; 0 ≤ W(А) ≤ 1

1 Классический 2 Имеет место для испытаний с конечным числом равновозможных исходов. Вероятность события А равна отношению числа т благоприятных исходов испытания к общему числу п всех равновозможных исходов Геометрический Имеет место для бесконечного числа равновозможных исходов. Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д. ) 3 P(А) = ; 0 ≤ P(А) ≤ 1 P(А) = 0 ≤ P(А) ≤ 1 ;

Формирование умений и навыков. Решение задач под управлением учителя 1. Вычислить : а) ; б) 8! – 6!; е) ; ж) в) ; з) ; г) Р 4 + Р 3; ; и) д) ; . 2. З а д а ч а. Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую из 5 человек. Сколькими способами можно выбрать эту команду, чтобы в нее вошло не более трех юношей? 3. З а д а ч а. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в цель оказалась равной 0, 85. Найти число попаданий, если всего было произведено 120 выстрелов. 4. З а д а ч а. Вы находитесь в круглом зале с 10 дверьми, из которых какие-то 4 заперты. Вы случайным образом выбираете двери. Найдите вероятность того, что: а) вы не сможете выйти из зала; б) вы можете выйти из зала, но вернуться через другую дверь уже не сможете; в) вы сможете выйти через одну, вернуться в зал через другую; г) хотя бы через одну дверь вы сможете выйти из зала.

2. З а д а ч а. Решение: Так как в команду входит не более трех юношей, то возможны такие составы команды: только девушки; 1 юноша и 4 девушки; 2 юноши и 3 девушки; 3 юноши и 2 девушки. Определим возможное число комбинаций для каждого состава. а) Возможностей выбора 1 -го юноши из 10 равно , а выбора 4 девушек из 12 равно (порядок элементов не важен, так как все члены команды равноправны). Каждый из вариантов выбора юношей сочетается с каждым вариантом выбора девушек, значит, по комбинаторному правилу умножения, число комбинаций равно · = = = 4950 способов. б) Аналогично для команды из 2 юношей и 3 девушек число вариантов выбора равно: · = = = 9900. в) Аналогично для команды из 3 юношей и 2 девушек число вариантов выбора равно: · = = 7920. г) Если команда состоит только из девушек, то число вариантов выбора равно: = 792. Значит, всего вариантов: 4950 + 9900 + 792 = 23562. О т в е т: 23562.

3. З а д а ч а. Решение: Число всевозможных исходов n равно 120. По формуле относительной частоты: , где А – «произошло попадание в цель» . Значит, m = 120 · 0, 85; m = 102. О т в е т: 102 попадания.

4. З а д а ч а. Решение: Исходы – все возможные пары дверей из 10 имеющихся без учета порядка выбора; общее число исходов n = = 45. Найдем вероятности событий: а) А – «вы не сможете выйти из зала» ; . б) В – «вы сможете выйти, но не сможете вернуться через другую дверь» – это значит, что одна дверь открыта, а другая заперта. в) С – «вы сможете выйти через одну, а вернуться через другую дверь» , это значит, что обе двери открыты. г) D – «хотя бы через одну дверь вы сможете выйти из зала» – это значит, что открыта одна дверь или обе. = 6 · 4 + 15 = 39; Р(D) = О т в е т: а) ; б) ; в) . ; г) .

Итоги урока. – Сформулируйте основные комбинаторные правила, формулы. – Какие определения вероятности вы знаете? Сформулируйте, приведите примеры.