STATISTICKÁ INDUKCE Statistická indukce POPULACE VÝBĚR základní

STATISTICKÁ INDUKCE

Statistická indukce POPULACE VÝBĚR (základní soubor) (výběrový soubor) výběr populace data výběrová statistika indukce populační parametr vs. výběrová statistika konstanta náhodná veličina

Příklad populace: všichni studenti oboru Pa. A – kurzu Statistika I Pa. A, ZS 2013/2014 průměrný bodový zisk z prvního zápočtového testu pro všechny studenty byl 12, 06 bodů výběry Populační parametr – n 1=30; konstanta! n 2=26; n 3=50; n 4=22; n 5=28; n 6=25; n 7=35; . . . . μ =12, 06 Výběrová charakteristika – náhodná veličina s určitou variabilitou!

Statistické šetření – ◦ úplné (census) ◦ neúplné výběrové (rychlejší, levnější) reprezentativnost výběru

Způsoby výběru výběr na základě dobrovolnosti (anketa) výběr na základě dostupnosti kvótní výběr náhodný výběr ◦ prostý náhodný výběr ◦ každý výběrový soubor o rozsahu n má stejnou ppst výběru (= každý prvek populace má stejnou ppst, že bude vybrán)

populace vs. výběr POPULACE VÝBĚR mladí Američané Jedná se o reprezentativní výběr?

Teorie odhadu bodový odhad populačních charakteristik (populační průměr, populační rozptyl, …) intervalový

Bodový odhad T bodový odhad populačního parametru θ Žádoucí vlastnosti výběrové statistiky, kterou použiji k odhadu • konzistentní – s rostoucím počtem pozorování se odhad blíží k hodnotě populačního parametru s pravděpodobností 1 • nestranná – při opakovaných výběrech kolísá odhad tak, že v průměru se odhady z výběrů rovnají populační hodnotě, tj. střední hodnota výběrové statistiky se rovná odhadovanému populačnímu parametru, jde o nestranný odhad (E(T) = θ) • vydatná – rozptyl odhadů při opakovaných výběrech je malý • postačující – neexistuje další statistika, která by obsahovala o odhadované pop. charakteristice další informaci

Bodový odhad průměru výběrový průměr je nestranným odhadem populačního průměru rozptyl výběrového průměru σ2/n směrodatná odchylka výběr. průměru σ/√n směrodatná chyba výběrového průměru ukazatel variability výběrových průměrů

Bodový odhad populačního rozptylu a populační směrodatné odchylky nestranným odhadem populačního rozptylu je výběrový rozptyl odhad populační směrodatné odchylky je pouze asymptoticky nestranný s rostoucím rozsahem souboru se vychýlení zmenšuje

Značení výběrový soubor rozsah souboru základní soubor n N aritm. průměr μ rozptyl směrodatná odchylka s relativní četnost p (fi) σ π

Intervalový odhad Hodnotu populačního parametru Θ odhadneme číselným intervalem, který s předem zvolenou pravděpodobností obsahuje odhadovaný populační parametr Θ. 1 -α. . . spolehlivost odhadu (koeficient spolehlivosti) α. . . hladina významnosti P(T 1 < Θ < T 2) = 1 - α

Oboustranný interval spolehlivosti P(T 1 < Θ < T 2) = 1 - α dolní mez horní mez intervalu spolehlivosti pravděpodobnost, s jakou interval (T 1 , T 2) pokrývá neznámou hodnotu Θ α = 0, 05 α = 0, 01

Jednostranné intervaly spolehlivosti P(- ∞ < Θ < T 2) = 1 – α pravostranný interval spolehlivosti P(T 1 < Θ < + ∞ ) = 1 – α levostranný interval spolehlivosti

Interval spolehlivosti pro populační průměr μ Předpoklad: výběr z velké populace s normálním rozdělením N(μ, σ2) Δ. . . přípustná chyba odhadu oboustranný interval spolehlivosti

Odhad při známém populačním rozptylu σ2 uα…kritická hodnota normálního rozdělení pro hladinu významnosti α σ. . . populační směrodatná odchylka n…rozsah výběrového souboru

Odhad při neznámém populačním rozptylu σ2 tα(f)…kritická hodnota Studentova t-rozdělení pro hladinu významnosti α a f=n-1 st. vol. s…výběrová směrodatná odchylka n…rozsah výběrového souboru

Příklad Obyvatelé domků u frekventované silnice si stěžují na vysokou rychlost projíždějících automobilů. Pro 30 náhodně vybraných automobilů byla zjištěna rychlost v km. Odhadněte pomocí bodového i intervalového odhadu (α = =0, 05), jaká je průměrná rychlost projíždějících vozidel. n = 30 bodový odhad průměrné rychlosti s = 7, 03

Příklad - pokračování n=30 s=7, 03 intervalový odhad 95% interval spolehlivosti pro μ 95 % interval spolehlivosti pro μ: (skutečnou průměrnou rychlost) tento interval s 95 % pravděpodobností pokrývá neznámou hodnotu populačního průměru

α = 0, 01 99 % interval spolehlivosti pro μ (průměrnou rychlost)

Příklad - pokračování U kolika automobilů by musela být rychlost měřena, aby bylo možné na 5% hladině významnosti odhadnout populační průměr s maximální přípustnou chybou 1 km? stanovení rozsahu výběru

Intervalový odhad rozptylu Předpoklad: výběr z populace s normálním rozdělením N(μ, σ2), parametr μ je neznámý kritické hodnoty χ2 rozdělení s f = n-1 stupni volnosti

Intervalový odhad směrodatné odchylky symbolika viz odhad rozptylu

Intervalový odhad relativní četnosti π π p π. . . relativní četnost jednotek s vlastností A v populaci p. . . relativní četnost jednotek s vlastností A ve výběru výběry s opakováním → binomické rozdělení výběry bez opakování → hypergeometrické r. velký výběrový soubor – aproximace normálním rozdělením

Předpoklad: velký rozsah výběru interval spolehlivosti pro populační relativní četnost π p. . . výběrová relativní četnost uα. . . kritická hodnota normálního rozdělení pro hladinu významnosti α

Příklad V náhodném výběru 400 studentů je 88 leváků. Zkonstruujte 95% interval spolehlivosti pro podíl leváků v populaci.

Neparametrický odhad mediánu citlivost aritmetického průměru na vybočující hodnoty, důležité zvláště u malých souborů medián – robustní charakteristika polohy - výběrový medián M – populační medián Intervalový odhad populačního mediánu M Předpoklad: spojitost znaku X

• data uspořádaná od min po max • podle rozsahu výběru n se nalezne takové přirozené číslo k , pro které P(xk ≤ M ≤ xn-k+1) ≥ 1 - α Příklad: u skupiny 15 náhodně vybraných osob byl zjišťován čistý měsíční příjem (v tis. Kč), sestrojte 95% interval spolehlivosti pro populační medián. 15, 16, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28