Статистическое изучение динамики 1 Динамические ряды их

Статистическое изучение динамики 1. Динамические ряды: их виды, правила построения и исследования. 2. Показатели анализа рядов динамики. Средние показатели в рядах динамики 3. Методы выравнивания рядов динамики и выявления тенденции ряда. 4. Индексы в оценке динамики и взаимосвязей. Стандартизация.

Ряды динамики (хронологические, временные) - ряды изменяющихся во времени значений статистических показателей расположенных в хронологическом порядке. Составными элементами рядов динамики являются: - цифровые значения изучаемого показателя - уровни ряда динамики (У); - периоды (или моменты) времени, к которым они относятся (t).

Уровень ряда динамики – это размер (величина, объем) того или иного явления или процесса, достигнутый за определенный период или к определенному моменту. Элементами времени могут быть: - моменты (начало, конец года, квартала, месяца и т. п. ) времени –моментный ряд - периоды (год, квартал, месяц, сутки и т. п. ) времени – интервальный ряд

Интервал В моментном ряду динамики– это промежуток времени между датами учета сведений ¡ В интервальном ряду – тот же промежуток времени, за который обобщены приводимые сведения, когда они накапливались. ¡

Виды рядов динамики ¡ ¡ ¡ в зависимости от способа выражения уровней ряды динамики ( абсолютных и производных показателей) в зависимости от характера приводимых показателей (моментные и интервальные ряды динамики) в зависимости от расстояния между уровнями (полные и неполные) в зависимости от числа показателей (изолированные и комплексные) в зависимости от наличия основной тенденции изучаемого процесса (стационарные и нестационарные )

При составлении ряда динамики : ¡ ¡ проводят периодизацию развития явления приводят к сопоставимому виду (по территории, кругу охватываемых объектов, единицам измерения, времени регистрации, ценам, методологии расчета) решают вопрос о величине временных интервалов упорядочивают уровни рядов динамики во времени

Периодизация может осуществляться несколькими методами: Исторический метод ¡ Метод параллельной периодизации ¡ Методы многомерного статистического анализа ¡

Анализа рядов динамики позволяет: — дать представление об изменениях показателей за прошедший период; — охарактеризовать интенсивность отдельных изменений; — определить средние показатели временного ряда; — выявить основные тенденции и закономерности изменений изучаемого явления; — выявить факторы, обусловливающие изменение явления во времени; — осуществить прогноз о возможном уровне явления на перспективу

Показатели анализа рядов динамики абсолютный прирост ¡ темп роста ¡ темп прироста ¡ абсолютное значение одного процента прироста Система средних показателей динамики: ¡ средний уровень ряда, ¡ средние показатели анализа рядов динамики ¡

Показатели анализа рядов динамики рассчитывают как Цепные Уровни Базисные Y 1 Y 2 …. Yn

Абсолютный прирост iцеп =Yi—Yi-1 ¡ Базисный: =Yi—Y 1 ¡ Средний: - на основе цепных абсолютных приростов: ¡ - Цепной: на основе базисного абсолютного прироста:

Коэффициент роста: ¡ Цепной: ¡ Базисный: ¡ Среднегодовой: или

Темпы роста : ¡ Тр =Кр *100 Темп прироста: Тпр =Тр -100 Среднегодовой темп роста и прироста: ¡

Абсолютное содержание 1% прироста: ¡ Или А= Yi-1 : 100

Средний уровень ряда динамики: ¡ Моментного: ¡ Интервального:

При анализе социально-экономических явлений во времени выявляют три компонента динамики: - основные тенденциями, которые выражают, как правило, долговременные изменения (тренд); - систематические и кратковременные изменения (сезонные колебания); - несистематические случайные колебания, которые часто обусловлены субъективными и иными частными причинами

Тренд — это долговременная компонента ряда динамики, выражающая длительную, ведущую тенденцию развития явления Изучение тенденции ряда включает два основных этапа: ¡ ряд динамики проверяется на наличие тренда; ¡ производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных результатов

Проверка на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена: - методом средних величин; - фазочастотным критерием знаков первой разности (Валлиса и Мура); - критерием Кокса и Стюарта. - методом серий

Выделение тренда проводят: 1. 2. 3. Способом укрупнения интервалов Методом скользящей средней Методом аналитического выравнивания

Способом укрупнения интервалов: Момент времени 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Исходные Преобразованные уровни РД Y 1 Y 2 Yп 1 Y 3 Y 4 Y 5 Yп 2 Y 6 Y 7 Y 8 Yп 3 Y 9

Методом скользящей средней: временя 1 2 3 4 5 6 7 8 Исходные Преобразованные уровни РД Y 1 Y 2 Yп 1 Y 3 Yп 2 Y 4 Yп 3 Y 5 Yп 4 Y 6 Y 7 Y 8 Yп 5 Yп 6 Yп 7

При аналитическом выравнивании используются следующие зависимости: - линейная: - параболическая: - экспоненциальные:

Для оценки параметров (а 0, а 1, а 2, . . . ) используют: метод наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выровненных:

Yt=a 0+a 1 tt. Yt - значения выравненного ряда, которые необходимо вычислить; t - показатель времени (месяцы, годы, и т. д. ); а 0, и a 1 - параметры прямой, определенные из системы нормальных уравнений:

система нормальных уравнений:

Оценку надежности уравнения регрессии проводят на основе критерия Фишера (F) - при этом фактический уровень (Fфакт) сравнивается с теоретическим (F табличным) значением:

Проанализируем динамику числа обращений в отдел социальной защиты по одному из районов области: база 2007 2009 2010 2011 40, 2 Число обращений, тыс. 2008 37, 0 33, 6 33, 1 32, 5 Абсолютный Цеп. - -3, 2 -3, 4 -0, 5 -0, 6 прирост базис - -3, 2 -6, 6 -7, 1 -7, 7 Коэффициент Цеп. - 0, 921 0, 908 0, 985 0, 982 роста базис - 0, 921 0, 836 0, 823 0, 808 Темп роста Цеп. - 92, 1 90, 8 98, 5 98, 2 базис - 92, 1 83, 6 82, 3 80, 8 Цеп. - -7, 9 -9, 2 -1, 5 -1, 8 базис - -7, 9 -16, 4 -17, 7 -19, 2 - 0, 402 0, 370 0, 336 0, 331 Темп прироста Абс. содер- е % прироста

Среднегодовые показатели динамики: Средний абсолютный прирост: по базисным - (-7, 7)/4=-1, 9 (тыс. ) или по цепным - (-3, 2 -3, 4 -0, 5 -0, 6)/4=-1, 9(тыс. ) Средний коэффициент роста: по базисным - по цепным – Средний темп роста: Средний темп прироста:

Средний уровень ряда динамики: определяем по формуле средней арифметической простой (ряд интервальный):

Среднегодовые показатели ряда динамики используют для прогноза: а) прибавляя последовательно к последнему уровню ряда динамики среднегодовой абсолютный прирост Yn+t - - экстраполируемый уровень ряда динамики, n+t - номер этого уровня (года); n - номер конечного уровня (года) периода, за который рассчитан среднегодовой абсолютный прирост t - срок прогноза (период упреждения) Таким образом, ожидаемое число обращенийй через два года составит: 32, 5+ 2*(-1, 9)=28, 7 (тыс. человек)

На основе относительных показателей (Кр): б) умножая уровень ряда динамики на среднегодовой коэффициент роста столько раз, на сколько лет мы прогнозируем уровень ряда динамики: ожидаемое число обращений населения через два года составит: 32, 5*0, 948= 29, 2 (тыс. человек).

Аналитическое выравнивание ряда динамики год Эмпиричес Условные кий обозначе уровень Y Y*t t*t Yt -80, 4 -37 0 33. 1 65. 0 -19, 3 4 1 0 1 4 39. 14 37. 21 35. 28 33. 35 31. 42 176, 4 ния времени, t 2008 2009 2010 2011 2012 Итого 40, 2 37 33, 6 33, 1 32, 5 176, 4 -2 -1 0 1 2

Параметры и уравнение тренда: из первого уравнения системы определяют а 0 –средний уровень ряда динамики: из второго уравнения системы определяем а 1: уравнение тренда: Yt=35, 28 -1, 93 t, через два года (t=4) ожидается, что число обращений в районе составит: 35, 28 -1, 93*4=27, 56 (тыс. )

Сезонные колебания - ¡ колебание уровней ряда динамики, возникающие под влиянием смены времени года Сезонные колебания строго цикличны – повторяются строго через год (квартал, месяц, неделя, день, часы в сутках), хотя сама длительность года имеет колебания

Уровень сезонности оценивается с помощью: 1) индексов сезонности: или 2) метода гармонического анализа

Индексы сезонности: ¡ Если тренда нет или он незначителен, то для каждого месяца (квартала) его рассчитывают по формуле: где Yt – средний уровень показателя за месяц (квартал t); Yср - общий средний уровень показателя ¡ Если тенденция имеется, то сначала проводят аналитическое выравнивание, а затем рассчитывают индекс сезонности по формуле: где -выровненный уровень

Так, если поступление налогов в бюджет характеризуется следующими данными (условные): 2009 2010 2011 Итого Январь 398, 7 410, 5 418, 6 1227, 8 Февраль 320, 5 442, 7 451, 4 1214, 6 Март 426, 5 442, 2 453, 3 1322 Апрель 594, 2 608, 5 609, 7 1812, 4 Май 598, 8 610, 5 618, 5 1827, 8 Июнь 523, 5 535, 8 541, 6 1600, 9 Июль 539, 3 551, 5 557, 4 1648, 2 Август 553, 5 575, 3 581, 3 1710, 1 Сентябрь 732, 5 744, 3 752, 1 2228, 9 Октябрь 721, 5 733, 0 438, 2 1892, 7 Ноябрь 552, 0 565, 5 571, 4 1688, 9 Декабрь 1020, 8 1002, 4 1041, 9 3065, 1

Таблица по расчету индексов сезонности Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь Сумма за 3 года Средний уровень Индекс сезонности 1227, 8 409, 3 0, 693692 1214, 6 404, 9 0, 686234 1322 440, 746914 1812, 4 604, 1 1, 023984 1827, 8 609, 3 1, 032685 1600, 9 533, 6 0, 904489 1648, 2 549, 4 0, 931213 1710, 1 570, 0 0, 966186 2228, 9 743, 0 1, 259301 1892, 7 630, 9 1, 069352 1688, 9 563, 0 0, 954208 3065, 1 1021, 731744

Последовательность расчета индекса сезонности определяем средний размер поступлений налогов за каждый месяц: так, в январе (398, 7+410, 5+418, 6): 3=1227, 8: 3=409, 3 ¡ определяем средний размер поступлений налогов в среднем за период: (6981, 8+7222, 2+7035, 2): 36=21239, 4: 36=590, 0 ¡ Индекс сезонности: 409, 3: 590, 0=0, 694 (т. е. в январе поступило налогов 69, 4% от среднемесячного уровня ¡

Гармонический анализ выполняют представляя временной ряд как сумму периодических колебательных процессов где фактический уровень ряда в момент (интервал) времени t f (t) - выровненный уровень или трендовое значение ряда в тот же момент (интервал) времени - параметры колебательного процесса (гармоники) с номером

Индекс – относительная величина, показывающая, во сколько раз уровень изучаемого явления в данных условиях отличается от уровня того же явления в других условиях.

Различие условий может проявляться -во времени (индексы динамики) -в пространстве (территориальные индексы) -в выборе в качестве базы сравнения какого-либо условного уровня (например, структуру той или иной группы населения – стандартизованные индексы, планового уровня –индексы планового задания, выполнения плана)

Различают: Индивидуальные индексы ¡ Общие (агрегатные) индексы ¡ Индексы средних величин ¡ Средние из индивидуальных (средний арифметический, средний гармонический) ¡ Территориальные индексы ¡

Индивидуальные индексыотносительная величина, получаемая при сравнении уровней, например, - товарооборота: - Физ-го объема товарооборота: - цен на товары: - Причем, где i – обозначение индивидуального индекса q. p- индексируемые величины 1 и 0 –обозначение уровней отчетного и базисного периода соответственно

Общие (агрегатные) индексы Относительные величины в виде сравнения агрегатов (сумм произведений взвешивающего показателя на объемный Q = р ∙ q ), например, индекс общего объема товарооборота в агрегатной форме:

Соответственно, общие индексы ¡ Цен- соотношение товарооборота отчетного периода с товарооборотом отчетного периода в сопоставимых ценах (базисного периода): ¡ Физического объема- соотношение товарооборота отчетного периода в сопоставимых ценах с товарооборотом базисного периода:

Например, по одному из предприятий имеются следующие данные о затратах на производство отдельных видов продукции: Вид продукции Ед. изм. Себестоимость единицы изделия, руб. Объем произведенной продукции Базисный Отчетный А м 2 140 150 580 600 В пог. м 90 100 820 780 С шт. 450 440 210 240

Индивидуальные индексы: Себестоимости единицы продукции Объема произведенной продукции Затрат на производство всей продукции А 1, 0714 1, 0349 1, 1084 В 1, 1111 0, 9512 1, 0569 С 0, 9778 1, 4286 1, 1175

Для расчета общих (агрегатных) индексов составим таблицу: А 81200 84000 90000 В 73800 70200 78000 С 94500 108000 105600 Итого 249500 262200 273600

Агрегатные индексы: ¡ Затрат: ¡ Себестоимости единицы продукции: ¡ Физического объема продукции:

Разностное сравнение числителя и знаменателя индексов показывает прирост затрат: Общей суммы: на 273600 - 249500 = 24100 рублей ¡ вследствие изменения себестоимости единицы продукции: на 273600 -262200=11400 ( рублей ) ¡ вследствие изменения физического объема: на 262200 -249500=12700 ( рублей ) 24100=11400+12700 ¡

Индексы средних величин ¡ индекс переменного состава отношение двух средних величин (учитывает одновременно и структурные изменения в составе совокупности, и изменение уровня качественного признака у отдельных объектов):

индекс постоянного (или фиксированного) состава Агрегатный индекс, полученный по типу индекса цен (фондоотдачи, себестоимости единицы продукции и т. п. ) - отражает изменение среднего уровня качественного показателя под влиянием изменения самого качественного показателя у отдельных единиц совокупности:

Индекс структурных изменений где do – удельные веса, доли предприятий в общем объеме выпускаемой продукции в базисном периоде, d 1 – удельные веса или доли каждого предприятия в общем объеме выпускаемой продукции в отчетном периоде: do = q 0 / q 0, d 1 = q 1 / q 1. Между индексом переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов существует соотношение Iпер. сост = Iстр *Iпост. сос

Динамика объема продаж и цен на трех торговых площадках характеризуется следующими данными: Торговая площадка Объем продаж, тыс. шт. Базисный период Отчетный Цена единицы продукции, руб. Базисный период Отчетный период 1 1000 1020 70 73 2 870 920 75 76 3 1080 1110 72 74 Итого 2950 3050 х х

Определим объемы товарооборота: Площадка 1 70000 71400 74460 2 65250 69000 69920 3 77760 79920 82140 213010 220320 226520 Итого

Индексы ¡ Переменного состава: ¡ Постоянного состава: ¡ Структурных сдвигов:

Индексы общего объема товарооборота может быть рассчитан как индекс средний из индивидуальных ¡ по форме среднего арифметического индекса: ¡ по форме средней гармонической величины

Индекс физического объема товарооборота может быть рассчитан как индекс средний из индивидуальных по форме среднего арифметического индекса:

Индекс цен рассчитывают как индекс средний из индивидуальных по форме средней гармонической величины:

Имеются следующие данные о динамике товарооборота, цен и физического объема проданных товаров: Товарная группа Товарооборот, тыс. руб. Изменение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным, % Индекс физического объема базисный отчетный ИН-1 1400, 8 1461, 6 +2, 7 1, 016 ИН-2 1840, 0 1992, 0 +3, 5 1, 046 ИН-3 2280, 5 2309, 2 -1, 5 1, 028 Итого 5521, 3 5762, 8 ? ?

Индекс товарооборота может быть определен по формуле ¡ Агрегатного индекса: ¡ среднего арифметического индекса: ¡ средней гармонического индекса: объем продаж в фактически действовавших ценах увеличился на 4, 4% или на 241, 5 тыс. руб

Индексы изменения общей суммы товарооборотав связи с изменением ¡ физического объема: ¡ в связи с изменением цен: 1, 044=1, 031*1, 012

Территориальные индексы это разновидность относительных величин сравнения, когда сопоставляются сложные показатели, относящиеся к одному и тому же периоду времени, но к разным территориям (городам, районам, областям, государствам).

Построение территориальных индексов ¡ товарооборота – это отношение суммы выручки от продажи в одном из районов к аналогичному показателю в другом. Один из районов (например, “В”) берется за базу сравнения, т. е.

Территориальные индексы ¡ ¡ физического объема товарооборота цен где р – средняя межрайонная цена товара каждого вида, q– суммарный по двум районам объем продаж каждого вида товара.

Известны цены и объем реализации товаров по двум регионам: Регион А Регион В Расчетные графы Цена, руб Реализация, т Цена, Руб. Реализация, т 1 11 30 12 35 65 715 780 2 8, 5 45 9 50 95 807, 5 855 3 17 15 16 90 105 1785 1680 Ит ого х х х 3307, 5 3315

Территориальные индексы ¡ товарооборота: ¡ цен: Цены в регионе В на 0, 2% превышают цены региона А. ¡ физического объема: для его определения необходимо рассчитать средние цены по каждому товару: =(11, 0*30+12, 0*35)/65=11, 54;