СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНОЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ «ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ»

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНОЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ «ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ»

Временной ряд – это последовательность значений некоторого протекающего во времени процесса. Приведите примеры

ПРИМЕРЫ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ а) Объем промышленного производства в России в 2002– 2009 гг. б) Денежная масса в России на конец месяца (млрд. руб. )

в) Ежемесячные продажи шампанского во Франции за 7 лет г) Среднечасовая нагрузка телекоммуникационного канала Москва. Париж в течение двух недель

е) Ежемесячное производство молока в России с 01. 1992 по 10. 1996 (в тыс. т) д)Гауссовский «белый шум» с параметрами 0 и 1

Основные этапы анализа временных рядов: 1. Графическое представление и описание поведения временного ряда. 2. Выделение и удаление закономерных составляющих, зависящих от времени. 3. Исследование оставшейся случайной компоненты, подбор описывающей ее модели (например, "белый шум" или процесс автокорреляции). 4. Прогнозирование будущего развития процесса.

Основные закономерные составляющие временного ряда. Трендом временного ряда trt, t =1, 2 …, называется плавно меняющаяся нециклическая компонента, описывающая чистое влияние долговременных факторов, эффект которых сказывается постепенно. приведите примеры таких факторов в экономике Сезонная компонента St описывает поведение ряда, изменяющееся регулярно в течение заданного периода (года, месяца и т. д. ). Циклическая компонента отражает длительные периоды относительного подъема и спада, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка, с циклами деловой активности. Если мы выявим закономерные составляющие в поведении временного ряда, то оставшаяся часть выглядит хаотично, непредсказуемо и является случайной компонентой временного ряда εt.

Основные модели временного ряда: Аддитивная модель Хt=trt + St + εt. Мультипликативная модель Хt =trt *St * εt Мультипликативно-аддитивная модель Хt = trt * St + εt

Три основных метода выделения тренда: 1) аналитическое выравнивание; 2) метод скользящих средних (который подробно рассматривается в курсе теории статистики); 3) метод укрупнения интервалов.

При аналитическом выравнивании тренд находится в виде функции trt = f (t; α 1, … αk), параметры которой определяются по МНК. Основные модели тренда: 1) линейная tr = a + b* t; t 2) экспоненциальная ln(trt) = a + b * t; 3) гиперболическая trt = a + b/t; 4) полиномиальная tr = a + a t + … + α tk; t 0 1 k 5) степенная trt= a * tb и др.

Вычисление сезонных индексов Пример. Производство молока в России в 1992– 1995 гг. trt = a + b * t = 2899, 9 – 26, 64*t Модель ряда Хt= trt * St + εt

На первом этапе с помощью регрессионного анализа определяется формула линейного тренда. На втором этапе рассчитываются значения trt и отношения Xt/trt, t = 1, 2, …, 48. Для получения сезонных индексов надо усреднить эти значения по данным для каждого месяца. Приведем соответствующие значения Xt/trt и St для января (в %). 1992 71, 5 1993 69, 42 67, 1 Среднее за 1992 -1995 гг. 1994 59, 59 66, 96 Теперь составим модель закономерной составляющей: Х t= trt * St. Например, =trt * 65. 86/ 100. На основании этой модели можно осуществить прогноз на следующие месяцы. Например, для января 1996 г. (t = 49): = (2899, 9 – 26, 64 * 49) * 65, 86/100 =1595 * 0, 6586 = 1068. Реальные данные составляют 1038 тыс. т. , относительная погрешность прогноза не превышает 3%.

Временные ряды (ВР) Название Определение, формулы I. Понятие ВР 1) Временной ряд (случайный процесс) 2) Числовые характеристики: а) математическое ожидание (среднее значение) б) ковариационная функция Xt=X(t, ω) – функции двух переменных, где t – время, ω – случайный исход Мxt=mt К(t 1, t 2)=cov( DXt=К(t 1, t 2) , )=M * – · II. Составляющие ВР 1. Тренд trt Плавно меняющаяся нециклическая компонента, характеризующая чистое влияние долговременных факторов, эффект которых сказывается постепенно 2. Сезонная составляющая St Описывает поведение ряда, изменяющееся регулярно в течение заданного периода (года, месяца, недели и т. д. ) 3. Циклическая компонента Ct Отражает длительные периоды относительного подъема и спада (связанные с циклами деловой активности и т. п. ) 4. Случайная компонента εt Возникает как результат хаотичного, непредсказуемого воздействия других факторов, не включенных в явной форме в модель.

III. Модели ВР 1. Аддитивная Xt = trt+ St+ Сt+ εt 2. Мультипликативная Xt = trt · St · εt 3. Аддитивно-мультипликативная Xt = trt · St + εt IV. Методы нахождения: 1. Тренда А) регрессионный анализ Б) скользящего среднего В) укрупнения интервалов Xt = f (t; α 1, … αk), + εп, α= (α 1, … αk) 2. Сезонных индексов St = ( Xt – trt) · 100% – для аддитивной модели St = ( Xt / trt) · 100% – для мультипликативной модели V. Модели случайной компоненты 1. Стационарные процессы (в широком смысле) mt= m = const, К(t 1, t 2) = К(t 2 – t 1) = К(τ) τ – лаг или задержка 2. Гауссовский белый шум Mεi = 0, Dεi = σ2, К(t 1, t 2) = 0 при t 1≠ t 2 3. Процессы авторегрессии Xt=a · Xt– 1+εt – процесс авторегрессии первого порядка

ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНОЙ КОМПОНЕНТЫ Случайным процессом называется функция двух переменных – времени t и случайного исхода ω: Хt =X(t, ω), t Т, . Для любого случайного исхода ω Х( • , t)=Хt – функция времени, называемая траекторией случайного процесса. Для любого фиксированного момента времени t Х(ω, • ) – случайная величина (формальное определение случайного процесса достаточно сложное и изучается в курсе теории вероятностей). Как задавать случайные процессы? Для каждого момента t случайная величина Хt определяется своей функцией распределения Ft(x) или, если она непрерывная, плотностью распределения ft(х). Для двух моментов времени t 1 и t 2 достаточно задать двумерную функцию распределения или плотность распределения, для n моментов времени n – мерную функцию или плотность распределения. Если для одномерных случайных величин вполне реально можно оценить по наблюдениям их функцию или плотность распределения, то для многомерных величин для этого обычно нет достаточной информации. Поэтому обычно рассматривают частные классы процессов – гауссовские (нормальные) случайные процессы, в том числе "белый шум", процессы с независимыми приращениями, процессы авторегрессии, стационарные процессы и др. По наблюдениям обычно удается оценить числовые характеристики временных рядов, которые вводятся по аналогии с числовыми характеристиками случайных величин.

Математическое ожидание случайного процесса является функцией от времени: Мxt=mt. Ковариационная функция случайного процесса –это функция K(t , t )=cov( 1 2 , )=M –M ·М Значение ковариационной функции при t 1=t 2=t задает дисперсию случайного процесса: cov(Хt, Хt)=M –(M )2 = D. Случайный процесс Хt называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание не меняется со временем: МХt= mt=const, а корреляционная функция зависит лишь от разности аргументов: cov( , )=К(t 2 – t 1)=К(τ), τ=t 2 – t 1 ≥ 0. Корреляционная функция стационарного процесса называется автокорреляцией (или автокорреляционной функцией) , τ – лаг (в отличие от кросскорреляции – между двумя процессами). Пример. Белым шумом называется случайный процесс с нулевым средним, если составляющие его случайные величины Хt независимы и одинаково распределены. Ясно, что в этом случае МХt = 0, а cov( , )=0 при t 1≠ t 2 ; cov( , ) =DХt =.

Динамика изменения курса акций компании «Лукойл» Изучается динамика изменения курса акций компании «Лукойл» р=р(t) за двухмесячный период с 15. 08. 06 по 15. 10. 06 (http//www. crb. ru). Уравнение регрессии: y = 1015. 44 – 0. 005 t. Значение R 2 =0. 136 и значение t–статистики tb=-0. 23 и свидетельствуют о незначимом влиянии времени на курс акций. Среднее значение p(t) за эти два месяца равно 1015. 2. Выборочный коэффициент автокорреляции =0. 48. Значение Р-value = 0. 001 меньше 0, 01, что говорит о значимости коэффициента автокорреляции на уровне значимости =0. 01.

Как оценить автокорреляцию? Для оценивания коэффициента автокорреляции из значений временного ряда образуем два ряда и. Первый из них можно рассматривать как реализацию случайного процесса , второй-. Для каждого из них рассчитываются эмпирические средние и выборочные дисперсии. Так, для первого ряда Выборочный коэффициент корреляции этих рядов Аналогично рассчитываются значения

МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЛАГОМ И МОДЕЛИ АВТОРЕГРЕССИИ Важный класс моделей, используемых в эконометрике динамические модели. О п р е д е л е н и е. Эконометрическая модель называется динамической, если она учитывает значения входящих в нее переменных, относящиеся как к текущему, так и к предыдущим моментам времени.

Основные виды линейных динамических моделей ВР. Метод Назначение 1. Регрессионный анализ Выявление основных тенденций развития процесса 2. Корреляционный анализ 4. Скользящие средние Модель множественной линейной регрессии Выявление периодических Модель с распределенными лагами зависимостей и их лагов DL(p) внутри одного процесса или между несколькими процессами 3. Исследование авторегрессии Модели ВР Авторегрессионная модель AR(p) Описание и прогнозирование процессов, проявляющих однородные колебания около среднего Модель скользящего среднего. MA(q) Авторегрессионная модель скользящего среднего АRMA(p, q)

5. Сглаживание и фильтрация Преобразование ВР с целью удаления высокочастотных и Метод последовательных разностей: переход от ряда yt к ряду сезонных колебаний -разностный оператор периода p первого (или более высокого) порядка 6. Спектральный анализ Нахождение периодических составляющих ряда