Статистические характеристики на уроке алгебры Старт
Содержание 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Среднее арифметическое Медиана Мода Наибольшее и наименьшее значение. Размах Дисперсия Отклонения Словарь. Для тех, кто хочет знать больше Статистика вокруг нас Исследование по теме Приглашаем вас к сотрудничеству Завершить презентацию
Среднее арифметическое n Определение. Средним арифметическим нескольких чисел называется число, равное отношению суммы этих чисел к их количеству. n Другими словами, среднее арифметическое - это дробь, в числителе которой стоит сумма чисел, а в знаменателе - их количество. n К вычислениям средних значений прибегают во многих задачах. Задания пример содержание
Пример по теме «Среднее арифметическое» Рассмотрим данные о производстве пшеницы в России в 1995 -2001 гг. (в миллионах тонн). Они приведены в таблице 1. Таблица 1. Производство пшеницы в России в 1995 -2001 гг. Год 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 Производство 30. 1 34. 9 44. 3 27. 0 31. 0 34. 5 47. 0 Как видно из таблицы 1, производство пшеницы в разные годы различается. Оно зависит от погодных условий, площади посева и других обстоятельств. Поэтому производство пшеницы за один год не даёт полного представления об уровне производства пшеницы в стране. Для этой цели лучше использовать среднее значение за ряд лет. По данным таблицы мы можем вычислить среднее производство пшеницы за 7 лет. Для этого надо сложить годовые сборы пшеницы и затем сумму разделить на число слагаемых. В данном случае получаем (30, 1+34, 9+44, 3+27, 0+31, 0+34, 5+47, 0)/7=35, 5 Получаем, что среднее производство пшеницы в России за рассматриваемый период 1995 -2001 гг. составляло приблизительно 35, 5 млн. тонн в год. Вычисленное нами значение называется средним арифметическим или просто средним. назад к теме содержание
Упражнение по теме «Среднее арифметическое» Таблица 6. Производство пшеницы в России в 1995 -2001 гг. Год 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 Производство, млн. тонн 30, 1 34, 9 44, 3 27, 0 31, 0 34, 5 47, 0 1. 2. 3. 4. Найдите по таблице среднее арифметическое производства пшеницы Каким было производство пшеницы в 1996 г. , в 2000 г. ? Совпадает ли производство пшеницы в среднем за 7 лет со значением в каком-нибудь году В каком году производство пшеницы было: а) Наибольшем б) Наименьшем ? Назад содержание
Медиана Не только среднее арифметическое показывает, где на числовой прямой располагаются числа какого-либо набора. Другим показателем является медиана-число, которое разделяет набор чисел на две части, одинаковые по численности. Поясним на примерах, как найти медианы разных наборов чисел. Задачи примеры исследование содержание
Примеры по теме «Медиана» Пример 1. Возьмём какой-нибудь набор различных чисел, например 1, 4, 7, 9, 11. Подберём число m так, чтобы в наборе оказалось поровну чисел, которые меньше и которые больше чем m. На пробу возьмём m=5. Два числа в наборе меньше чем 5, но три числа больше чем 5. Значит, число 5 не годится. Теперь возьмём m=7. Меньше числа 7 два числа, больше числа 7 тоже два числа. Следовательно, число 7 делит этот набор на две равные части. Число 7 медиана набора чисел 1, 4, 7, 9, 11. В этом примере набор состоял из 5 чисел, записанных в порядке возрастания. Медианой в этом случае оказывается число, стоящее в точности посередине. Пример 2. Рассмотрим набор 1, 3, 6, 11. Числа тоже записаны по возрастанию, но их четыре, поэтому среди них нет числа, стоящего точно посередине. В таком случае нужно взять два числа, расположенных посередине, и вычислить их полу-сумму: (3+6): 2=4, 5 Медианой этого набора считают число 4, 5 Назад к теме содержание
Упражнение по теме «Медиана» n Вычислите медиану чисел: а)1, 3, 5, 7, 9 б)1, 3, 5, 7, 14 в)1, 3, 5, 9, 11 г)1, 3, 5, 7, 9, 16 Назад содержание
Мода Интересно, например, знать, какой расхож времени является типичным для выделенной группы учащихся, т. е. какое число встречается в ряду данных чаще всего. Нетрудно заметить, что таким числом является число 25. Говорят, что число 25 — мода рассматриваемого ряда Определение: Модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других Задачи примеры исследование содержание
Пример по теме «Мода» Пример 1. Ряд чисел может иметь более одной моды, а может не иметь моды совсем. Например, в ряду чисел 47, 46, 50, 52, 47, 52, 49, 45, 43, 53, 47, 52 две моды — это числа 47 и 52, так каждое из них встречается в ряду по три раза, а остальные числа — менее трех раз. В ряду чисел 69, 68, 66, 70, 67, 62, 71, 74, 63, 72 Моды нет. Назад к теме содержание
Упражнение по теме «Мода» n Найдите моду ряда чисел: а)11, 32, 11, 75, 96, 13, 55 в)10, 31, 54, 95, 11 Назад б)35, 41, 35, 67, 14, 7, 0 г)12, 35, 5, 7, 9, 12, 6, 35, 234, 12 содержание
Наибольшее и наименьшее значение. Размах Иногда интересны не только средние значение или медиана, но и другие величины, связанные с наборами различных чисел. Наибольшие и наименьшие значения часто интересуют нас в самых разных областях n Если мы хотим узнать кто победил в прыжках в длину в соревнованиях класса, то выберем того, кто прыгнул дальше всех, т. е. выберем наибольший результат. В соревнованиях по бегу победителем считается тот, кто пробежал быстрее всех, т. е. показал наименьшее время. n Определение. Разность между наибольшим и наименьшим числом называется размахом набора числа. n Мы узнали, что размах показывает, насколько велико рассеивание значений в числовом наборе. Задания исследование содержание
Упражнение по теме «Размах» n Найдите наибольшее и наименьшее значение и размах данного набора чисел: а) 12, 7, 25, 3, 19, 15 б) 17, 19, 5, 41, 47, 13, 19 Назад содержание
Отклонения Основное свойство отклонений: Сумма отклонений чисел от среднего арифметического этих чисел равна 0 Пример: Для примера возьмем набор 1, 6, 7, 9, 12. Вычислим среднее арифметическое: (1+6+7+9+12) : 5 = 7 Найдем отклонение каждого числа от среднего: 1 -7=-6 6 -7=-1 7 -7=0 9 -7=2 12 -7=5 Получился новый набор, который состоит из отклонений. Если число меньше среднего, то его отклонение отрицательно, если число больше среднего, то его отклонение положительно. исследование содержание
Дисперсия Чтобы судить о разбросе, принято складывать не сами отклонения, а их квадраты. n Квадраты отклонений неотрицательны, поэтому сумма квадратов отклонений зависит только от абсолютных величин отклонений, а не от их знаков. n Чем больше отклонения чисел от среднего арифметического, тем больше будет сумма квадратов отклонений. Для того чтобы мера разброса чисел не зависела от их количества в наборе, в качестве такой меры берут среднее арифметическое квадратов отклонений. Эту величину называют дисперсией. n n Определение. Среднее арифметическое квадратов отклонений от среднего значения называется в статистике дисперсией набора чисел. Задания пример исследование содержание
Упражнения по теме «Дисперсия» n Даны два набора чисел. Отметьте их на числовой прямой. Вычислите дисперсию каждого из наборов. Дисперсия, какого набора больше? а) 2, 3, 7 и 1, 2, 3; б)2, 3, 4, 7 и 1, 5, 6, 8. n Даны два набора чисел. Отметьте их на числовой прямой. Вычислите дисперсию каждого из этих наборов. Сравните дисперсии: а) 2, 3, 4 и 6, 7, 8; б) 3, 5, 7, 9 и 12, 14, 16, 18. Назад содержание
Пример по теме «Дисперсия» Покажем на простом примере, как дисперсия характеризует разброс наблюдений. Возьмём два набора чисел 1, 2, 3 и 0, 2, 4. Среднее арифметическое значение обоих наборов равно 2. Для обоих наборов вычислим отклонения и квадраты отклонений, и все данные занесём в таблицу. 1 -й набор Отклонение от среднего Квадрат отклонен ия 2 -й набор Отклонение от среднего Квадрат отклонен ия 1 -1 1 0 -2 4 2 0 0 3 1 1 4 2 4 Числа в первом наборе расположены более кучно – ближе друг к другу и к своему среднему значению, - чем числа во втором наборе. Поэтому дисперсия первого набора получилась меньше, чем второго. Назад к теме содержание
Словарь. Для тех, кто хочет знать больше (Взгляд в будущее) n n n Размах-разность между наибольшим и наименьшим значениями результатов наблюдений. Пусть X 1, . . . , Xn — взаимно независимые случайные величины с функцией распределения F (x)и плотностью вероятности f (x). В этом случае размах Wn определяется как разность между наибольшим и наименьшим значениями среди X 1, . . . , Xn; размах Wn представляет собой случайную величину, которой соответствует функция распределения: (w³ 0; если w < 0, то P {W £ w} = 0) В математической статистике Р. , надлежащим образом нормированный, применяется как оценка неизвестного квадратичного отклонения. Например, если Xk имеют нормальное распределение с параметрами (а, s), то при n =5 и 10, соответственно, величины 0, 4299 W 5 и 0, 3249 W 10 будут несмещенными оценками s. Такие оценки часто используют при статистическом контроле качества, поскольку определение Р. нескольких результатов измерений не требует сложных вычислений. Лит. : Хальд А. , Математическая статистика с техническими приложениями, пер. с англ. , М. , 1956. ( http: //slovari. yandex. ru/dict/bse/article/00064/79600. htm) 12345 содержание
Словарь. Для тех, кто хочет знать больше (Взгляд в будущее) n n n Среднее значение — числовая характеристика множества чисел или функций; — некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим из их значений. (http: //ru. wikipedia. org/wiki/Среднее) Среднее значение или арифметическое среднее наиболее широко используется в статистике. Это одно значение может использоваться для представления некоторого набора данных. В этом случае среднее значение можно назвать "центром тяжести" этого набора. Среднее значение вычисляется следующим образом: складываются все значения выборки и результат делится на общее число значений. Например, сумма набора значений. (http: //www. cyberguru. ru/programming/pascal/turbopascal-encyclopaedia 2 -page 5. html) Среднее значение — числовая характеристика множества чисел или числовых функций; — некоторое число, заключенное между наименьшим и наибольшим из их значений; а также множественно-значная характеристика совокупности множеств или сет-функций; — некоторое множество, содержащее пересечение и содержащееся в объединении этих множеств. (http: //www. wikiznanie. ru/ru-wz/index. php/Среднее_значение) 12345 содержание
Словарь. Для тех, кто хочет знать больше (Взгляд в будущее) n n Дисперсия (от лат. dispersio — рассеяние), в математической статистике и теории вероятностей, наиболее употребительная мера рассеивания, т. е. отклонения от среднего. В статистическом понимании Д. есть среднее арифметическое из квадратов отклонений величин xi от их среднего арифметического 12345 содержание
Словарь. Для тех, кто хочет знать больше (Взгляд в будущее) Медиана (50 -й процентиль, квантиль 0, 5) — возможное значение признака, которое делит ранжированную совокупность (вариационный ряд выборки) на две равные части: 50 % «нижних» единиц ряда данных будут иметь значение признака не больше, чем медиана, а «верхние» 50 % — значения признака не меньше, чем медиана. (http: //ru. wikipedia. org/wiki/Медиана_(статистика)_) n Медиана (термин был впервые введен Гальтоном, 1882) выборки - это значение, которое разбивает выборку на две равные части (при ранжировании). Половина наблюдений лежит ниже медианы, и половина наблюдений лежит выше медианы. Если число наблюдений в выборке нечетно, то медиана вычисляется как среднее двух средних значений. (http: //www. statsoft. ru/home/portal/glossarytwo/M%5 CMedian. htm) n МЕДИАНА - в статистике - значение варьирующего признака, которое делит ряд распределения на две равные части по объему частот или частностей. Сумма абсолютных величин линейных отклонений от медианы минимальна. (http: //nirvana. tomsk. ru/dictionary? id=9&word=%EC%E 5%E 4%E 8%E 0%ED%E 0/) n Медиана (от латинского mediana — средняя) в геометрии, отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны. Три М. треугольника пересекаются в одной точке, которую иногда называют «центром тяжести» треугольника, так как именно в этой точке находится центр тяжести однородной треугольной пластинки (а также центр тяжести системы трёх равных масс, помещенных в вершинах треугольника). Точка пересечения М. делит каждую из них в отношении 2 : 1 (считая от вершины к основанию). (http: //dic. academic. ru/dic. nsf/bse/166012/Медиана) 12345 содержание
Словарь. Для тех, кто хочет знать больше (Взгляд в будущее) n НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ - понятия математического анализа. Значение, принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке функция не имеет большего (меньшего) значения. (http: //dic. academic. ru/dic. nsf/enc 3 p/207574) Наибольшее и наименьшее значения функции, понятия математического анализа. Значение, принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке множества функция не имеет большего (меньшего) значения. Н. и н. з. ф. по сравнению с её значениями во всех достаточно близких точках называются экстремумами (соответственно максимумами и минимумами) функции. Н. и н. з. ф. , заданной на отрезке, могут достигаться либо в точках, где производная равна нулю, либо в точках, где она не существует, либо на концах отрезка. Непрерывная функция, заданная на отрезке, обязательно достигает на нём наибольшего и наименьшего значений; если же непрерывную функцию рассматривать на интервале (т. е. отрезке с исключенными концами), то среди её значений на этом интервале может не оказаться наибольшего или наименьшего. (http: //www. cultinfo. ru/fulltext/1/008/079/808. htm) 12345 содержание
Статистика вокруг нас n n Резюме к главе 5: Показатели ВРС у здоровых людей. Оценка «здоровья здорового человека» . В главе суммируются собственные наблюдения и результаты ряда работ, которые позволяют следующим образом сформулировать основные параметры ВРС, характерные для здорового человека. В таблицах 5 -2 - 5 -4 приведены показатели математического анализа ВРС, полученные при обследовании практически здоровых лиц молодого возраста. Учитывая, что распределение показателей ВРС отличается от нормального, все данные представлены в виде медианы и интерквантильного размаха. Интерквантильный размах указывается в виде 25% и 75% перцентилей. http: //www. neurosoft. ru/rus/product/book/hrv-2/chapter 5. aspx 12345 содержание
Статистика вокруг нас n Генетика поведения (behavioralgenetics) На сегодняшний день мы можем определить наследуемость как отношение генетической дисперсии к общей, или фенотипической, дисперсии: h 2 = VG/VP n http: //www. sexualdysfunction. ru/148. html 12345 содержание
Статистика вокруг нас Анализ отклонения прибыли n n n При анализе валовой прибыли изучаются причины, вызывающие ее изменение, соответствующие факторы отражаются в отчете и позволяют принять корректирующие меры. Причины отклонения прибыли Изменения в цене продажи и в затратах на единицу продукции. Изменения в объеме продаж. Изменения в ассортименте продаж. Данные для согласования фактических операций с бюджетными значениями получаются на основе анализа изменений между фактическими и бюджетными операциями за текущий год, между фактическими операциями предыдущего года и соответствующими операциями текущего года. Могут рассматриваться изменения в валовой прибыли всей компании или выбранной продуктовой линии. http: //www. iteam. ru/publications/finances/section_11/article_3389/ 12345 содержание
Статистика вокруг нас Средняя по регионам РФ аномалия среднегодовой температуры воздуха (отклонение от средней температуры базового периода Жирная кривая показывает 11 -летнее скользящее среднее. Показан линейный тренд температуры. n http: //climate. mecom. ru/bulletins/2002/index. html 12345 содержание
Статистика вокруг нас Расчет средней заработной платы работников предприятия Фонд оплаты труда составляет 40000 единиц, работников всего 100, следовательно, средняя заработная плата составляет 40000/100 = 400 единиц. Однако эта средняя арифметическая величина явно не соответствует интуитивному представлению о "средней зарплате". Из 100 работников лишь 5 имеют заработную плату, ее превышающую, а зарплата остальных 95 существенно меньше средней арифметической. Причина очевидна - заработная плата одного человека генерального директора - превышает заработную плату 95 работников - низкоквалифицированных и высококвалифицированных рабочих, инженеров и служащих. Для данных табл. 1 медиана - среднее арифметическое 50 -го и 51 -го работника, если их заработные платы расположены в порядке неубывания. Сначала идут зарплаты 40 низкоквалифицированных рабочих, а затем - с 41 -го до 70 -го работника - заработные платы высококвалифицированных рабочих. Следовательно, медиана попадает именно на них и равна 200. У 50 -ти работников заработная плата не превосходит 200, и у 50 -ти - не менее 200, поэтому медиана показывает "центр", около которого группируется основная масса исследуемых величин. Еще одна средняя величина - мода, наиболее часто встречающееся значение. В рассматриваемом случае это заработная плата низкоквалифицируемых рабочих, т. е. 100. Таким образом, для описания зарплаты имеем три средние величины - моду (100 единиц), медиану (200 единиц) и среднее арифметическое (400 единиц). Для наблюдающихся в реальной жизни распределений доходов и заработной платы справедлива та же закономерность: мода меньше медианы, а медиана меньше среднего арифметического. № п/п Категория работников Число работников Заработна я плата Суммарные доходы 1 Низкоквалифици рованные рабочие 40 100 4000 2 Высококвалифиц ированные рабочие 30 200 6000 3 Инженеры и служащие 25 300 7500 4 Менеджеры 4 1000 4000 5 Генеральный директор (Владелец) 1 18500 6 Всего 12345 100 40000 содержание
Математическое исследование n Наша цель: Раскрыть особенности статистических характеристик. n Задачи: 1. Изучить и обобщить собранный материал по теме. 2. Создать творческую разработку в виде реферата, медиапродукта и приложений к ним. 3. Научиться решать и составлять задачи по статистике. 4. Выявить удивительное. n Гипотеза: Если начать исследование с рассмотрения основных положений описательной статистики с разных точек зрения, то отыщутся различные объяснения и ключи понимания её значимости. n Объект исследования: Описательная статистика n Предмет исследования: Среднее арифметическое, медиана, размах и мода, наибольшее и наименьшее значения, отклонения и дисперсия. Далее содержание
«Начала» исследования n Если ты профессиональный статист, то чем бы тебе пришлось заниматься? n Какие бы ты решал статистические задачи и как? n Какой области знаний человечества они принадлежат? n Роль данных характеристик в описательной статистике. ? ? ? ? ? Далее назад содержание
Мы выдвигаем проблемы n n n n Далее -Что нужно понимать под терминами «статистика» , «числовой ряд» , «среднее арифметическое» , «медиана» , «размах» и «мода» ? - Зачем нужны эти статистические характеристики? - Можно ли их сравнивать? Чем объясняются отличия? - Какая из характеристик наиболее полно отражает явление? - Какие задачи можно решать? - Поиски подхода к решению задач. - Как выяснить, существуют ли различные способы и методы решения? -Какой области научных знаний принадлежат задачи описательной статистики? назад содержание
Мини - задачи из серии «Школьная статистика» Составьте упорядоченный набор чисел, вычислите среднее арифметическое, медиану, размах и моду, если учащиеся считают, что в учебе предпрофильная подготовка: n Помогает значительно-31% n Помогла, но не значительно-60% n Практически не помогла-9% 31% 60% 9% Далее назад содержание
Мини - задачи из серии «Школьная статистика» В школе открыты классы по некоторым образовательным направлениям. Составьте упорядоченный набор чисел, вычислите среднее арифметическое, медиану, размах и моду. Замечание: Данные для нахождения статистических характеристик могут быть оформлены в виде диаграмм, а могут - в виде таблиц. Далее назад содержание
Социологический мониторинг Исследования PISA 2003 n Умение выделить главную мысль теста Школьные исследования нет снижения 71% n n Умение находить заданную информацию в тесте Понимание связности и последовательности событий 72% на том же уровне 77% 80% выше 63% 81% Задача № 1: Составьте два набора чисел. Вычислите отклонения от среднего и их квадраты. Далее назад содержание
Анализ техники чтения в 5 -9 классах за последние 5 лет Норму вычитывают около 62% процентов учащихся, выше нормы 16%, ниже нормы 21%. При скоростном чтении допускают ошибки примерно 37% учащихся. Мы заметили, что техника чтения в 6 и резко в. . 7 классах падает и ниже нормы соответственно на 24% и 40%, увеличивается процент читающих хуже до 31% в 7 классах. Класс Год Кол-во учеников Норма Выше нормы Ниже нормы Стали лучше читать Стали хуже читать Читают без ошибок Понимают прочитанное на уровне сюжета 5 2003 -2004 84 69% 22% 9% 35% 7% 79% 95% 6 2004 -2005 85 68% 17% 15% 32% 9% 72% 94% 7 2005 -2006 88 65% 16% 19% 31% 11% 69% 8 2006 -2007 90 66% 18% 16% 34% 4% 72% 95% 9 2007 -2008 89 64% 23% 13% 39% 7% 75% 92% Задание № 1: Составьте упорядоченные ряды. Найдите медиану, моду. Задание № 2: Вычислите наибольшее и наименьшее значения, отклонения. Вычислите дисперсию (это можно будет выполнить, если будете читать дальше) Далее назад содержание
В копилку методов n n n n Советы решающему статистическую задачу: Используй теоретические сведения и данные задачи Выбери путь, по которому может пойти решение задачи Когда решил задачу , подумай над результатом Удивление полученным результатом рождает мысль и ведет к новым исследованиям … Методы решающему статистическую задачу: Упорядочи числовой набор, т. е. запиши числа в порядке возрастания Чтобы найти медиану, в числовом наборе нужно выбрать одно число посередине либо два числа и найти их полусумму … Далее назад содержание
Скачать презентацию Статистические характеристики на уроке алгебры Старт Содержание
ec19b73df9526c35957f797b4de8d0cf.ppt