Статистические критерии — 4 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ Смысл

Статистические критерии - 4

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ Смысл критериев различия Критерии различия позволяют дать ответ на вопросы трех типов относится ли то или иное измерение к данной совокупности? соответствует ли эмпирическое распределение теоретическому? различаются ли две эмпирические выборки? Практическая задача: проблема выбросов можно ли применять ДИ, tкритерий и др. сравнение контроля и опыта Нулевая гипотеза Н 0: реального различия нет сомнительное измерение принадлежит данной совокупности, оно не случайно различие между выборочным и теоретическим распределением в действительности отсутствует, имеющееся отличие – случайность две выборки – контроль и опыт- не отличаются, различие между ними – случайность Альтернативная гипотеза Н 1: различие неслучайно Если θ > θα – H 0 отклоняется Если p < α – H 0 отклоняется

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ РАЗЛИЧИЯ Выборка объемом 25 имеет среднее значение =9 и стандартное 4. Сравнение контроля и опыта с доверительной вероятностью 95% отклонение s=2. Можно ли считать, что среднее равно 10? Критерий Стьюдента 1) Сравнение выборочного среднего с μ-x=0 Нуль-гипотеза: константой H 0: f t 0. 95 1 12. 71 14 2. 15 27 2. 05 2 4. 30 15 2. 13 28 2. 05 5 2. 57 18 2. 10 40 2. 02 6 2. 45 19 2. 09 50 2. 01 7 2. 37 20 2. 09 60 2. 00 8 2. 31 21 2. 08 80 1. 99 9 2. 26 22 2. 07 100 1. 98 10 2. 23 23 2. 07 120 1. 98 11 2. 20 24 2. 06 200 1. 97 12 2. 18 25 2. 06 500 1. 96 13 2. 16 26 2. 06 >> 1. 96 f=24, t 24, 0. 05=2. 06 3 3. 18 16 2. 12 29 2. 04 t 0. 05

Критерий Стьюдента 2) Сравнение двух при 95% дов. вероятности Сравнить средниевыборочных средних H 0: t 0. 05=1, 96 Б. Выборки взяты из разных генеральных совокупностей t 0. 05

Порядок проверки гипотезы Вариант 1 – сравнение расчетного значения критерия с критическим значением Вариант 2 – сравнение расчетного уровня значимости с критическим уровнем значимости 1. Вычисляем значение статистики критерия θ 2. Для заданного уровня значимости α находим критическое (табличное) значение θα 2. Находим соответствующий этому значению θ уровень значимости p 3. Сравниваем уровень значимости p c принятым уровнем значимости α 3. Сравниваем статистику критерия θ с табличным (критическим) значением θα Если θ > θα – H 0 отклоняется Если p < α – H 0 отклоняется

Еще раз об уровнях значимости или Будем ли замораживать инопланетянина? Задача стат. критерия: проверить (отвергнуть) нулевую гипотезу = найти ( «увидеть» ) различия Отвергнуть нулевую гипотезу (найти различия) проще, если 1. Выборка большая 2. Взят мощный стат. критерий 3. Допускается большое значение ошибки p уровень значимости p = ошибка I рода – это вероятность неверно отвергнуть нулевую гипотезу Н 0: он человек Если на уровне значимости p=5% стат. критерий отвергнет нулевую гипотезу (т. е. будет принята альтернативная гипотеза он не человек), то вероятность ошибки (он все же человек, а мы его заморозили) – 5%

p < 0. 1 -0. 05 – тенденция p < 0. 05 -0. 01 – значимость p < 0. 001 – высокая значимость инопланетянин p=30% p=1% инопланетя Может и человек

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ При определении p. H раствора было получено значение 7. 48± 0. 21 на n=10 пробах. Можно ли считать Сравнение двух выборок реакцию раствора нейтральной? Критерий Стьюдента Нуль-гипотеза: Реакция раствора нейтральная, т. е. p. H=7=μ, 1) Сравнение выборочного среднего с константой μ-x=0 f 1 H 0 : t 0. 95 12. 71 f 14 t 0. 95 2. 15 f 27 t 0. 95 2. 05 2 4. 30 15 2. 13 28 2. 05 f=10 -1=9, t 9, 0. 05=2. 26 16 2. 12 29 t 9, 0. 05< t – нуль-гипотеза 3 3. 18 быть отвергнута на 5% 2. 04 может уровне значимости: раствор не является 2. 11 4 2. 78 17 нейтральным. 30 2. 04 Однако, на 1% ном уровне 2. 57 гипотеза 5 значимости t 9, 0. 99=3. 25 – 40 2. 02 18 2. 10 H 0 не м. б. отвергнута: раствор является нейтральным 6 f=n-1 - число степеней свободы 2. 45 19 2. 09 50 2. 01 7 2. 37 20 2. 09 60 2. 00 8 2. 31 21 2. 08 80 1. 99 9 2. 26 22 2. 07 100 1. 98 10 2. 23 23 2. 07 120 1. 98 11 2. 20 24 2. 06 200 1. 97 12 2. 18 25 2. 06 500 1. 96 13 2. 16 26 2. 06 >> 1. 96

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ РАЗЛИЧИЯ Выборка объемом 25 имеет среднее значение =9 и стандартное 4. Сравнение контроля и опыта с доверительной вероятностью 95% отклонение s=2. Можно ли считать, что среднее равно 10? Критерий Стьюдента Нуль-гипотеза: μ-x=0 1) Сравнение выборочного среднего с константой H 0: f t 0. 95 1 12. 71 14 2. 15 27 2. 05 2 4. 30 15 2. 13 28 2. 05 5 2. 57 18 2. 10 40 2. 02 f=24, t 24, 0. 05=2. 06 3 3. 18 16 2. 12 29 2. 04 t 0. 05 t – f=n-1 - число степеней свободы нуль-гипотеза НЕ может быть отвергнута на 5% 8 2. 31 80 1. 99 уровне значимости: 9 не отличается 21 10 (!) от 2. 08 9 2. 26 22 2. 07 100 1. 98 10 2. 23 23 2. 07 120 1. 98 11 2. 20 24 2. 06 200 1. 97 12 2. 18 25 2. 06 500 1. 96 13 2. 16 26 2. 06 >> 1. 96

Важно! Условия применимости критерия Стьюдента (классического): 1. Нормальность распределения случайных величин Критерий хи-квадрат Критерий Шапиро-Уилка Критерий асимметрии и эксцесса 2. Равенство дисперсий в сравниваемых выборках

Критерий Фишера – сравнение дисперсий H 0: f 1=n 1 -1 f 2=n 2 -1 порядок степеней свободы имеет значение:

Критерий Фишера – сравнение дисперсий В двух классах проводилось тестирование умственного развития десяти учащихся. Полученные значения величин средних достоверно не различались, однако психолога интересует вопрос – есть ли различия в степени однородности показателей умственного развития между классами. N п/п Класс II 1 90 41 2 29 49 3 39 56 4 79 64 5 88 72 6 53 65 7 34 63 8 40 87 9 75 77 10 79 62 Всего 606 636 Средний бал 60, 6 63, 6 Дисперсия 572, 83 174, 04 Различие средних недостоверно: t=0, 347 < t 0. 05, 9=2, 26 f 1=9 f 2=9 F 0. 05=3, 18F – различия нет Н 0 может быть отвергнута на уровне 5 % (различие есть)

Задание При измерении величины газообмена в опытной (n 1=10) и контрольной (n 2=10) группах животных были получены, соответственно, следующие величины дисперсий – s 12=163. 9 и s 22=89. 3. Отличается ли вариабельность показателей газообмена в опытной и контрольной группах животных?

Какой критерий нужно применить?