СТАТИКА ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРИЯ ПАР ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА СТАТИКИ

СТАТИКА ЛЕКЦИЯ 2: ТЕОРИЯ ПАР, ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА СТАТИКИ

1. СЛОЖЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ направленных в одну сторону Q -Q R 1 F 2 R 2 -Q Q a 1 R 1 F 1 a 2 F 2 R= F 1 +F 2 Система двух параллельных сил, направленных в одну сторону, имеет равнодействующую, параллельную этим силам, причем ее модуль равен сумме модулей слагаемых; линия действия равнодействующей делит расстояние между точками приложения слагаемых сил внутренним образом на части, обратно пропорциональные модулям этих сил.

2. СЛОЖЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ, направленных в разные стороны a 2 F 2 a 1 R= F 1 +F 2 F 1 Система двух параллельных сил, направленных в разные стороны, имеет равнодействующую, параллельную этим силам, причем ее модуль равен разности модулей слагаемых; линия действия равнодействующей делит расстояние между точками приложения слагаемых сил внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям этих сил.

3. ПАРА СИЛ a 2 F 2 a 1 R= F 1 +F 2 F 1 Система двух параллельных, равных по модулю и направленных в разные стороны сил, называется парой сил. Пара сил не имеет равнодействующей!. (Строгое док-во позже) Она является неприводимым (неупрощаемым) элементом статики; Наряду с силой пара сил является вторым самостоятельным элементом статики.

4. Момент силы относительно точки Моментом силы относительно какой-либо точки (центра) называется вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо, т. е. на кратчайшее расстояние от указанной точки до линии действия силы, и направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через выбранную точку и линию действия силы в ту сторону, откуда вращение, совершаемое силой вокруг точки, представляется происходящим против хода часовой стрелки. Момент силы характеризует ее вращательное действие. h

5. МОМЕНТ ПАРЫ. B A O Сумма моментов сил, составляющих пару, не зависит от положения точки, относительно которой берутся моменты, и по определению равна моменту пары. Момент пары представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости пары, равный по модулю произведению модуля одной из сил пары на плечо пары и направленный в ту сторону, откуда «вращение» пары видно происходящим против хода часовой стрелки.

6. ТЕОРЕМЫ ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПАР Куда приложен вектор-момент пары? Приводимые ниже теоремы об эквивалентности пар показывают, что вектор-момент пары может быть приложен в любой точке пространства, т. е. является вектором свободным. Более того, он полностью характеризует пару. !!! Теорема 1. Действие пары на абсолютно твердое тело не изменится, если переместить пару в другое положение в плоскости ее действия. Теорема 2. Действие пары на абсолютно твердое тело не изменится, если плоскость ее действия перенести параллельно самой себе. Теорема 3. Действие пары на абсолютно твердое тело не изменится, если любым способом видоизменить силы и плечо пары, сохраняя постоянным их произведение, т. е. момент пары.

7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1 Теорема 1. Действие пары на абсолютно твердое тело не изменится, если переместить пару в другое положение в плоскости ее действия. Исходная пара с плечом AB. Переместим плечо в произвольное положение A 1 B 1 Введем силы равные и перпендикулярные A 1 B 1 1) 2) 3) 4) 5) Замечание: Равны и направлены навстречу другу по диагонали ромба

8. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2 Теорема 2. Действие пары на абсолютно твердое тело не изменится, если плоскость ее действия перенести параллельно самой себе. Исходная пара с плечом AB. Переместим плечо в произвольное положение A 1 B 1 Введем силы равные и параллельные им 1) 2) 3) 4) 5) Замечание: Сложение параллельных сил

9. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3 Теорема 3. Действие пары на абсолютно твердое тело не изменится, если любым способом видоизменить силы и плечо пары, сохраняя постоянным их произведение, т. е. момент пары. Исходная пара с плечом AB. Разложим силу на две силы и приложенные в точках A и С. Величину Q (либо BC) можно выбрать произвольно, при этом вторая из них BC(либо Q) определиться условием

10. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

11. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

12. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ Теорема сложения : Две пары эквивалентны одной паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар 1) Пары лежат в параллельных плоскостях 2) Пары лежат в пересекающихся плоскостях Можно считать, что в одной (теорема 2) = =

13. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ПАР Теорема сложения : Две пары эквивалентны одной паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар Приведение системы пар к простейшему виду: Любая система пар приводится к одной паре с моментом, равным сумме моментов всех пар. Равновесие пары : Для того, чтобы пара была уравновешена необходимо и достаточно, чтобы ее момент был равен нулю. либо Нет сил Силы действуют по одной линии, и по либо аксиоме 1 их система уравновешена По аксиоме 1 составляющие пару силы действуют по одной линии, значит плечо пары равно нулю Равновесие системы пар : Для того, чтобы система пар была уравновешена необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары был равен нулю.

14. ЛЕММА О ПАРАЛЛЕЛЬНОМ ПЕРЕНОСЕ СИЛЫ Силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, переносить из данной точки в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится. Приложена к A Приложена к B Пара сил

15. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА СТАТИКИ (ТЕОРЕМА ПУАНСО) Любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, приведении к произвольно выбранному центру О заменяется одной силой F, равной главному вектору системы сил и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом М, равным главному моменту системы сил относительно центра О Лемма о переносе Теорема сложения

16. ЗАМЕЧАНИЯ К ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЕ = = 1) Как изменятся сила и пара при изменении точки приведения? 2) Если для какой либо точки то в любой другой точке 3) Иной вариант приведения системы сил: к 2 -м силам, в общем случае не лежащим в одной плоскости.

17. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ СИЛ Для равновесия любой системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент были равны нулю Достаточность очевидна. Докажем необходимость. Пусть данная система эквивалентна нулю. Приведем ее к 2 -м силам Эти силы имеют общую линию действия и (1) линия действия проходит через точку и (2)

18. ПРИМЕР Один конец балки длиной l укреплен в неподвижной шарнирной опоре A, а второй конец В опирается на гладкую наклонную плоскость, составляющую с балкой угол. На балку действует пара сил с моментом М. Пренебрегая весом балки, определить реакции опор. 1)Действие опор заменяем реакциями 2) Реакция направлена по нормали к поверхности 3) Так как балка находится в равновесии, то система сил, действующая на нее эквивалентна нулю. 4)Активная пара М может быть уравновешена только другой парой 5) Реакции и должны составлять пару. 6) 7)

19. НЕВОЗМОЖНОСТЬ ПРИВЕДЕНИЯ ПАРЫ СИЛ К РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ Пусть пара Эта пара и сила приводится к равнодействующей эквивалентны нулю В силу условий равновесия главный вектор и главный момент системы должны быть равны нулю Примем за точку приведения точку О. Тогда