Статическое распределение 1 2 3 4 Распределение Максвелла

Статическое распределение 1) 2) 3) 4) Распределение Максвелла Распределение частиц по проекции скорости, по модулю скорости по кинетическим энергиям Распределение Больцмана по потенциальным энергиям Барометрическая формула

Распределение Максвелла p p Молекулы газа вследствие теплового движения испытывают многочисленные соударения друг с другом. При каждом соударении скорости молекул изменяются как по величине, так и по направлению. В результате в сосуде, содержащем большое число молекул, устанавливается некоторое статистическое распределение молекул по скоростям, зависящее от абсолютной температуры Т. При этом все направления векторов скоростей молекул оказываются равноправными (равновероятными), а величины скоростей подчиняются определенной закономерности. Распределение молекул газа по величине скоростей называется распределением Максвелла. Впервые установлено Дж. К. Максвеллом в 1859 Если одновременно измерить скорости большого числа N молекул газа и выделить некоторый малый интервал скоростей от v до v+ v, то в выделенный интервал v попадает некоторое число N молекул. На графике удобно изображать зависимость величины от скорости v. При достаточно большом числе N эта зависимость изображается плавной кривой, имеющей максимум при наиболее вероятная скорость.

p Характерным параметром распределения Максвелла является так называемая среднеквадратичная скорость p означает среднее значение квадрата скорости. В молекулярной физике доказывается, что где Мт - молярная масса. p Из выражения для среднеквадратичной скорости следует, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа есть

Распределение частиц по проекции скорости p Распределение Максвелла для вектора скорости [vx, vy, vz] — является произведением распределений для каждого из трех направлений: p p где распределение по одному направлению: Это распределение имеет форму нормального распределения. Как и следует ожидать для покоящегося газа, средняя скорость в любом направлении равна нулю.

Распределение частиц по модулю скорости p p Обычно, более интересно распределение по абсолютному значению, а не по проекциям скоростей молекул. Модуль скорости v определяется как: поэтому модуль скорости всегда будет больше или равен нулю. Так как все vi распределены нормально, то v 2 будет иметь х-квадрат распределение с тремя степенями свободы. Если f(v) — функция плотности вероятности для модуля скорости, то: где таким образом, функция плотности вероятности для модуля скорости равна

Распределение Больцмана по потенциальным энергиям p Анализ распределения Больцмана показывает, что концентрация молекул газа тем выше, чем меньше их потенциальная энергия. Кроме этого, с понижением температуры увеличивается отличие концентраций в точках с различными значениями потенциальной энергии молекул. А при стремлении температуры к абсолютному нулю, молекулы начинают скапливаться в месте, где их потенциальная энергия принимает наименьшее значение. Указанные особенности распределения Больцмана являются следствием теплового движения молекул, так кинетическая энергия их поступательного движения в среднем равна и уменьшается пропорционально уменьшению температуры. А уменьшение кинетической энергии приводит к уменьшению количества молекул, способных преодолеть потенциальный порог, высота которого характеризуется величиной потенциальной энергии высотой p p Где n- концентрация молекул на высоте h, no то же на h = 0 Выражение называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля.

Барометрическая формула p p При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и максвелловского распределения молекул по скоростям делалось предположение, что внешние силы не действуют на молекулы газа, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Но молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Сила тяжести, с одной стороны, и тепловое движение молекул — с другой, приводят газ к некоторому стационарному состоянию, при котором давление газа с высотой уменьшается. (2) Выражение(2) называется барометрической формулой. Она позволяет вычислить атмосферное давление в зависимости от высоты или, измеряя давление, найти высоту.

Задача 1. p p p p Газ в цилиндрическом сосуде разделен на две равные части подвижным поршнем, имеющим массу m и площадь сечения S. При горизонтальном положении цилиндра давление газа в каждой половине сосуда равно p. Определить давление p 1 газа над поршнем при вертикальном положении цилиндра. Температуру газа считать постоянной. Решение При горизонтальном положении цилиндра объем каждой его части обозначим через V (эти объемы одинаковы). При вертикальном положении цилиндра объем верхней части станет равным , а нижней. Давление в нижней части цилиндра станет равным Р =. Р- давление Р 1 - начальное давление g = 9, 8 м/с2 – ускорение свободного падения Согласно закону Бойля-Мариотта (Т=const) изотермический При постоянной температуре и массе идеального газа произведение его давления и объёма постоянно. В математической форме это утверждение записывается следующим образом где — давление газа; — объём газа. P 1 V 1 = P 2 V 2 (1) Исключая из (1) отношение , получаем квадратное уравнение относительно p 1: § (2)

Продолжение задачи 1. p Физический смысл имеет только знак плюс перед корнем, так как в противном случае значение p 1 становится отрицательным. Поэтому, окончательно p Ответ:

Задача 2 p p p p В очень высоком вертикальном цилиндрическом сосуде находится углекислый газ при некоторой температуре Т. Считая поле тяжести однородным найти, как изменится давление газа на дно сосуда, если температуру газа увеличить в n раз. Решение: Исходя из Р = РО ∙ е - g. Mh RT g = 9, 8 м/с2 – ускорение свободного падения m- молярная масса h- высота R= 8, 31 дж/моль∙к – газовая постоянная в системе СИ Т- температура Р- давление на высоте Ро – давление на Земле е – экспонента, математическая константа = 2, 7 Учитываем, что h стремиться к бесконечности, а Т 1=Тn получим Р=РО, т. е. давление не изменится Ответ: не изменится

Задача 3 p p p p Определить температуру газа, для которой: а). средняя квадратичная скорость молекул водорода больше их наиболее вероятной скорости на ΔV=400 м/с; б). функция распределения молекул кислорода по скорости F (V) будет иметь максимум при скорости V=420 м/с Дано: ΔV = 400 м/с V = 420 м/с Найти: Т Решение: А) Молярная масса водорода: МН 2 = 2· 10 -3 кг/моль – таблица Менделеева Масса молекулы водорода: m = MH 2 NА NA= 6, 02∙ 1023 моль-1 Число Авога дро, — физическая константа, численно равная количеству специфицированных структурных единиц (атомов, молекул, ионов, электронов или любых других частиц) в 1 моле вещества.

Продолжение задачи 3 p p p p Средняя квадратичная скорость молекул: Vcр. кв. = √ 3 к. Т √ m К= 1, 38 ∙ 10 -23 Дж/к (абсолютная шкала Кельвина) постоянная Больцмана Т – температура ( кельвинах) M – масса молекул Наиболее вероятная скорость молекул: Vвер. = √ 2 к Т √ m Разница в скоростях: 1) Δ V = Vср. кв. – Vвер. 2) Δ V= √ 3 к. Т _ √ 2 к. Т = √ к. Т ∙√ 3 - √ к. Т ∙√ 2 √ m √ m √ m 3) Δ V = √ к. Т · (√ 3 - √ 2) √ m

Продолжение задачи 3 p p p p p p 4) m ΔV 2= 3 к Т – связь кинетической энергии и Т 2 2 Т = m·ΔV 2 · 5+2√ 6 к Т = 2∙ 10 -3 кг/моль ∙ 4002 м 2/с2 ∙ (5+2√ 6) = 381 к 6, 02∙ 1023 моль-1∙ 1, 38∙ 1023 дж/к Ответ: а) T = 381 k б) Молярная масса кислорода: МО 2 = 32 · 10 -3 кг/моль Масса молекулы кислорода: M = MО 2 NA Нам задана наиболее вероятная скорость: Vвер. = √ 2 к Т √m Отсюда выражаем Т Т = m·V 2 2 K Т= 32∙ 10 -3 кг/моль ∙ 4202 м 2/с2 = 339, 5 К 6, 02 ∙ 1023 моль-1∙ 2∙ 1, 38 ∙ 10 -23 дж/к Ответ: б) T = 339, 5 к