статически неопределенные рамы каноническое уравнение метода сил

Р = 1 к. Н 3 м 2 м A определим перемещение точки А по вертикали

Для нахождения перемещения по заданному направлению необходимо: 1. Построить эпюру от действия внешних сил 2. Убрать с балки всю внешнюю нагрузку и приложить единичную силу по направлению где интересует перемещение 3. Построить фиктивную эпюру 4. По формуле найти перемещение (знак «-» говорит что перемещение в другую строну чем единичная сила)

Построим эпюру от действия внешних сил

Р = 1 к. Н 3 м 2 м A разобъем на участки

Р = 1 к. Н x 2 x 1 A

Р = 1 к. Н x 1 A нас интересуют только моменты

M 1 Р = 1 к. Н x 1 A

Р = 1 к. Н 2 м x 2

Р = 1 к. Н 2 м x 2 M 2

x 2 M 2 линия действия силы Р = 1 к. Н 2 м

Эп М, к. Нм

2 1 2 0 2 Эп М, к. Нм 2

Уберем с балки всю внешнюю нагрузку и приложим единичную силу по направлению где интересует перемещение

1 3 м 2 м A

1 x 2 x 1 A

M 1 1 x 1 A

1 2 м x 2 M 2

x 2 M 2 линия действия силы 1 2 м

2 1 2 0 2 Эп М, м 2

Fb Fa fa Fc fc fb

2 2 1 0 2 2 2 Эп М, к. Нм 2 0 Эп М, м 2

2 2 1 1 2 0 2 2 3 м 2 м 2 Эп М, к. Нм 2 Эп М, м

Если увеличить силу Р в 20 раз

Р = 20 к. Н 3 м 2 м A разобъем на участки

M 1 Р = 20 к. Н x 1 A

x 2 M 2 линия действия силы Р = 20 к. Н 2 м

40 20 40 Эп М, к. Нм 40

1 3 м 2 м A

2 1 2 0 2 Эп М, м 2

40 2 20 40 1 0 40 2 2 Эп М, к. Нм 40 0 Эп М, м 2

т. е. если силовая нагрузка увеличилась в N раз то и деформации возросли в N раз

изменим расчетную схему

Р = 10 к. Н 3 м 2 м A

M 1 x 1 A

Р = 10 к. Н 2 м x 2 M 2

0 0 0 -15 -30 Эп М`, к. Нм

1 3 м 2 м A

2 1 2 0 2 Эп М, м 2

2 1 0 0 0 2 -15 Эп М`, к. Нм -30 Эп М, м 2

минус это занчит что перемещение в другую сторону чем единичная нагрузка

пусть обе силы действуют одновременно

Р 1 = 20 к. Н Р 2 = 10 к. Н 3 м 2 м A

Р 1 = 20 к. Н M 1 x 1 A

Р 1 = 20 к. Н Р 2 = 10 к. Н 2 м M 2 x 2

40 20 40 0 25 Эп М, к. Нм 10

1 3 м 2 м A

2 1 2 0 2 Эп М, м 2

40 2 20 40 1 0 25 2 0 2 Эп М, к. Нм 10 Эп М, м 2

Деформация от действия всей нагрузки равна сумме деформаций от действия каждой из нагрузок в отдельности

Степень статической неопределимости ССН = N реакций – N уравнений

CCН = 4 -3

Х Эквивале нтные системы X=R Х

Требования к эквивалентным системам • Одинаковые напряжения • Одинаковые деформации • Будем рассматривать системы с EJ = const

• Основа дальнейшего подхода в том что на опоре перемещение балки равно 0 • То есть перемещение в опоре по направлению отброшенной связи можно представить в виде суммы перемещений от внешних сил и перемещения от эквивалентной силы Х.

Для случая когда ССН >1 т. е необходимо отбросить несколько опор и заменить их Х 1, Х 2. . . Хn

Алгоритм расчета 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Определяем ССН Выбираем основную систему (ОС) Составляем эквивалентную схему (ЭС) Запишем каноническое уравнение Загружаем ОС только внешней нагрузкой и строим эпюру изгибающих моментов Мр Загружаем ОС только единичной силой по направлению действия Х 1 и строим единичную эпюру Повторяем этап 5 для всех неизвестных Перемножая эпюры ищем коэффициенты уравнения Решаем уравнения и находим Х

А Х А Х

Х ОС Х ОС

пример расчета

Р = 4 к. Н 4 м 5 м 2 м

1 Р = 4 к. Н 4 м 2 м 5 м ССН = 4 – 3 = 1

2 4 м 2 м 5 м ОС

3 Р = 4 к. Н 4 м 2 м 5 м ЭС Х 1

4

5 Р = 4 к. Н 4 м 5 м 2 м

Р = 4 к. Н x 1 x 2 x 4 x 3

Р = 4 к. Н MP 1 x 1

x 2 MP 2

Р = 4 к. Н MP 3 x 3 2 м

Р = 4 к. Н x 4 4 м MP 4 2 м

4 м MP 4 линия действия силы x 4 Р = 4 к. Н 2 м

24 0 8 4 16 24 24 24 Эп. Мр, к. Нм

6 4 м 2 м 5 м 1

x 1 x 2 x 4 x 3 1

M 1 x 1 M 1 x 1

x 2 M 2 1

M 3 x 3 2 м 1

2 м x 4 4 м MP 4 1

x 4 линия действия силы 4 м 2 м MP 4 1

x 4 линия действия силы 4 м M 4 1 2 м

4 2 4 0 4 4 Эп. М 1, к. Нм

8

4 4 2 4 4 4 0 2 4 4 Эп. М 1, к. Нм 0

4 24 24 16 8 4 24 2 0 4 4 24 Эп. Мр, к. Нм 4 Эп. М 1, к. Нм 0

9