Стационарная теория возмущений Вырожденный случай 1 Постановка

Стационарная теория возмущений. Вырожденный случай 1

Постановка задачи § Рассматривается возмущенное уравнение Шрёдингера: (1) (2) § k-е собственное значение имеет g линейно независимых собственных функций. § Линейная комбинация этих функций – тоже собственная функция (в силу линейности и однородности (2) 2

Решение. Учет малости возмущения § Учтем, что § Используя разложение в ряд Тейлора по степеням малого возмущения получим: (3) § Используем разложение по вырожденным собственным функциям (4) 3

Решение. Первая поправка к энергиям § Подставляем разложение, умножаем слева и интегрируем: (5) § Решение существует, если (6) § Решаем (6) и находим Подставляем в 5, 4

Нестационарная теория возмущений. 5

Постановка задачи § Рассматривается возмущенное нестационарное уравнение Шрёдингера: (7) § Известно решение невозмущенной задачи (8) 6

Решение разделением переменных § Представим волновую функцию в виде: (9) § Подставляем в (8) и интегрируем: (10) § Разложим возмущенную волновую функцию по собственным функциям невозмущенного оператора (11) 7

Решение разделением переменных § Подставим разложение (11) в уравнение Шрёдингера: (12) § Продифференцируем, после простых преобразований получим (13) § Умножаем слева на и интегрируем по пространству координат. После простых преобразований получим: 8

Решение разделением переменных § НУ: (14) § Разложение в ряд по малому возмущению (15) Верхний индекс – порядок малости поправки § (15) (13) (16) 9

Следствие ТВ. Вероятность перехода § Рассмотрим переход из состояния 1 в состояние 2. Запишем выражение для волновой функции. Стационарная ТВ § В первом порядке ТВ вероятность состояния с энергией в начальный момент пропорциональна § Т. е. вероятность перехода 10

Следствие ТВ. Вероятность перехода Нестационарная ТВ § За пределами интервала интегрирования возмущение равно 0 § Представление функции интегралом Фурье (см. любой учебник по математическому анализу) 11