Средние величины в статистике Средняя арифметическая вычисляется

Средние величины в статистике

Средняя арифметическая вычисляется либо как простая, либо как взвешенная величина. Пример. Имеются данные о величине рентабельности по десяти малым предприятиям (%): 10, 12, 15, 15, 17, 20. Средняя рентабельность составит:

Величина соответствует средней арифметической простой: , где – варианты (отдельные значения признака), п – объем совокупности.

Расчет средних показателей на основе данных статистического наблюдения № п/п Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб. (х) Выпуск продукции, млн. руб. (у) 1 80, 00 70, 00 2 87, 00 93, 00 3 95, 00 80, 00 4 98, 00 103, 00 5 102, 00 110, 00 6 104, 00 116, 00 7 112, 00 99, 00 8 115, 00 9 117, 00 113, 00 10 121, 00 126, 00 11 122, 00 134, 00 12 125, 00 123, 00 13 127, 00 129, 00 14 128, 00 140, 00 15 131, 00 125, 00 ∑ 1664 1656 среднее 110, 9 110, 4

Сгруппируем данные: Рентабельность, % Количество предприятий 10 12 15 17 20 1 2 3 2 2 Итого 10 Формула средней арифметической взвешенной: , где fi – частота.

Если веса представлены не частотами, а частостями, то формула для расчета средней арифметической взвешенной модифицируется в следующую: , где – частость, которая представляет собой удельный вес частоты соответствующей варианты в общей сумме частот; сумма частостей всегда равна 1.

Пример: Определить среднюю выработку работников предприятий по удельным весам их численности. Номер предпр иятия 1 Выработка продукции на 1 работника (хi) 1250 Средняя численность работников (fi) 40 Удельный вес (доля) в численности работников, % (wi) 0, 157 2 1500 80 0, 314 3 2000 15 0, 59 4 2000 20 0, 78 5 3000 100 0, 392 - 255 1 Итого

Для интервальных рядов распределения в качестве значения га усредняемых показателей можно использовать середину интервала. В этом случае средняя величина будет рассчитана с небольшой погрешностью, хотя в целом близко к арифметической средней. Пример. По данным выборочного наблюдения имеется следующее распределение фермерских хозяйств района по размерам угодий: № группы Число хозяйств f Середина интервала x’ x’ f 1 Хозяйства по размерам угодий, га х до 40 20 35 700 2 40 -50 40 45 1800 3 50 -60 25 55 1375 4 60 -70 10 65 650 5 свыше 70 5 375 100 75 - Итого 4900

Средняя гармоническая Средняя взвешенная гармоническая величина применяется в тех случаях, когда не известны значения частот у вариант ряда, но имеются для каждого xi произведения этих вариант на соответствующие им частоты, т. е. Величиной Fi может быть товарооборот по видам товаров при расчете средней их цены; фонды заработной платы у отдельных категорий работников при расчете средней заработной платы; стоимостные объемы сделок при покупке валют, ценных бумаг, биржевых продажах и т. д.

Формула средней гармонической взвешенной: где xi – значения вариант; Fi – значение произведения варианты на соответствующую ей частоту.

По данным о ценах акций и уровнях капитализации рассчитаем среднюю цену одной акции: Вид акций А Б В Г Д Итого Цена за одну акцию, тыс. руб. xi 1, 0 2, 3 1, 8 2, 7 1, 4 - Капитализация, тыс. руб. 500 1840 1314 2565 854 7073

Если произведения вариант на соответствующие им частоты равны между собой (при этом мы можем их не знать, но известно об их равенствах), т. е. , то применяется средняя гармоническая простая , где п – объем совокупности. Пример Предприятием были выделены одинаковые денежные суммы на приобретение акций двух видов, при этом цена акции вида А составляла 1000 руб. , В – 1800 руб. Рассчитаем среднюю цену приобретения акций:

Средняя геометрическая используется для расчета средних величин для относительных показателей, выраженных в виде коэффициентов (темпы роста, финансовые коэффициенты) : – коэффициенты цепных темпов роста, n – число темпов роста, принятые для расчета средних показателей. Пример: рассчитать среднегодовые темпы роста объема продаж предприятия за 4 года. Цепные темпы роста по годам составляют в %: 1 год - 103, 4 (1, 034 в коэффициентах), 2 год- 99, 2 (0, 992), 3 год – 98, 4, 4 год – 96, 9. Среднегодовые темпы роста T = 4√(1, 034*0, 992*0, 984*0, 969)= 4√ 0, 9780 =0, 994 или 99, 4%

Мода (Мо) – это наиболее часто встречающееся значение признака, т. е. значение варианты с наибольшей частотой. В дискретных и интервальных рядах моду определяют поразному. Определение моды в дискретных вариационных рядах Балл (по 5 -ти балльной системе) 2 3 4 5 Наибольшая частота – 10, Мо = 3. Число студентов 3 10 7 4

Определение моды в интервальных вариационных рядах с равными интервалами. Находят модальный интервал (интервал с наибольшей частотой), затем ведут расчет по формуле: , где – нижняя граница модального интервала, d – величина интервала, – частота модального интервала, – частота интервала, предшествующего модальному, – частота интервала, следующего за модальным.

Пример Имеются следующие данные по группе банков: Сумма выданных кредитов, млн. ден. ед. До 40 40– 60 60– 80 80– 100– 120– 140 и выше Количество банков 8 15 21 12 9 7 4 Определим модальный размер выданных кредитов:

Структурные средние Медианой (Ме) является значение варианты, находящейся в центре упорядоченной по возрастанию значений признака совокупности. Медиана делит вариационный ряд на две равные части. При этом 50 % единиц совокупности имеют значение меньше медианного, 50 % – больше медианного.

Определение структурных средних в дискретных вариационных рядах Для определения медианы сначала находят ее порядковый номер по формуле: , где п – объем совокупности,

Время работы, лет хi Число сотрудников, чел. fi Накопленная частота Si 1 2 3 4 5 6 7 8 5 7 4 9 13 10 16 13 5 12 16 25 38 48 64 77 Итого 77 – номер медианы равен: Ме = 6.

Определение структурных средних в интервальных вариационных рядах х. Ме – нижняя граница медианного интервала, d. Me – величина медианного интервала, SMe-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному, f. Me – частота медианного интервала.

Сумма выданных кредитов, млн. ден. ед. 20– 40 40– 60 60– 80 80– 100– 120– 140– 160 Итого Количество банков fi 8 15 21 12 9 7 4 76 Накопленная частота Si 8 23 44 56 65 72 76 - Медианный интервал 60 -80

Расчет моды и медианы на основе данных статистического наблюдения № п/п Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб. (х) Выпуск продукции, млн. руб. (у) 1 80, 00 70, 00 2 87, 00 93, 00 3 95, 00 80, 00 4 98, 00 103, 00 5 102, 00 110, 00 6 104, 00 116, 00 7 112, 00 99, 00 8 115, 00 9 117, 00 113, 00 10 121, 00 126, 00 11 122, 00 134, 00 12 125, 00 123, 00 13 127, 00 129, 00 14 128, 00 140, 00 15 131, 00 125, 00 мода медиана