Средние величины Сущность и задачи средних величин

Средние величины

Сущность и задачи средних величин ¡ ¡ Средняя величина – это обобщающая количественная характеристика совокупности однотипных явлений по одному варьирующему признаку. Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности. Средняя представляет значение определенного признака в совокупности одним числом Важнейшая особенность средней величины – в том, что она относится к единице изучаемой совокупности и через характеристику единицы характеризует всю совокупность в целом.

Основные свойства средней величины: • обладает устойчивостью, что позволяет выявлять закономерности развития явлений. Средняя облегчает сравнение двух совокупностей, обладающих различной численностью. • помогает характеризовать развитие уровня явления во времени. • помогает выявить и охарактеризовать связь между явлениями. P. S. Средние позволяют исключить влияние индивидуальных значений признака, т. е. они являются абстрактными величинами. Поэтому средние должны употребляться на основе сгруппированных данных.

Расчет средней ¡ ¡ ¡ К расчету средней предъявляются два основных требования: Среднюю нужно рассчитывать так, чтобы она погашала то, что мешает выявлению характерных черт и закономерностей в развитии явления, а не затушевывала развитие. Средняя может быть вычислена только для однородной совокупности. Средняя, вычисленная для неоднородной совокупности, называется огульной.

¡ ¡ Говоря о методологии исчисления средних, не надо забывать, что средняя всегда дает обобщенную характеристику лишь по одному признаку. Каждая же единица совокупности имеет много признаков. Поэтому необходимо рассчитывать систему средних, чтобы охарактеризовать явление со всех сторон. Расчет средних величин производится по правилам, которые разрабатываются математической статистикой. Задача ОТС – дать смысловую, преимущественно экономическую интерпретацию результатам расчетов, произведенных по формулам.

Средняя арифметическая ¡ Простая средняя арифметическая для ряда данных рассчитывается по формуле. Свойства средней арифметической: 1. Сумма отклонений различных значений признака от среднеарифметической равна нулю; 2. Если каждый вариант умножить (разделить) на какоелибо произвольное постоянное число, то средняя увеличится (уменьшится) во столько же раз. 3. Если вес или частоту, разделить или умножить на какоелибо произвольное постоянное число, то величина средней не изменится. Это свойство дает возможность заменять веса их удельными весами:

Средняя гармоническая применяется, когда исходные данные не содержат частот f по отдельным значениям X, а представлены как их произведение Xf. Обозначив Xf=w, выразим f=w/X, и, подставив эти обозначения в формулу средней арифметической взвешенной, получим формулу средней гармонической взвешенной:

Степенные средние ¡ Арифметическая ¡ Квадратическая ¡ Геометрическая ¡ Гармоническая

Структурные средние ¡ ¡ ¡ мода медиана квартиль дециль перцентиль

Мода Это значение признака, которое встречается в ряду распределения чаще, чем другие его значения. ¡ В дискретном ряду распределения значения моды определяются визуально. Если же ряд распределения задан как интервальный, то значение моды рассчитывается по следующей формуле: ¡

Мода ¡ ¡ Если X задан равными интервалами, то сначала определяется модальный интервал как интервал с наибольшей частотой f. Внутри этого интервала находят условное значение моды по формуле: где Мо – мода; ХНМо – нижняя граница модального интервала; h. Мо – размах модального интервала (разность между его верхней и нижней границей); f. Мо – частота модальноого интервала; f. Мо-1 – частота интервала, предшествующего модальному; f. Мо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Медиана ¡ ¡ Это центральное значение признака, им обладает центральный член ранжированного ряда. Прежде всего определяется порядковый номер медианы по формуле и строят ряд накопленных частот. Накопленной частоте, которая равна порядковому номеру медианы или первая его превышает, в дискретном вариационном ряду соответствует значение медианы, а в интервальном – медианный интервал.

Медиана ¡ ¡ ¡ Статистическая медиана – это значение величины X, которое делит упорядоченную по возрастанию или убыванию статистическую совокупность на 2 равных по численности части. В итоге у одной половины значение больше медианы, а у другой - меньше медианы. Если X задан в виде равных интервалов, то сначала определяется медианный интервал (интервал, в котором заканчивается одна половина частот f и начинается другая половина), в котором находят условное значение медианы по формуле: где Ме – медиана; ХНМе – нижняя граница медианного интервала; h. Ме – размах медианного интервала (разность между его верхней и нижней границей); f. Ме – частота медианного интервала; f. Ме-1 – сумма частот интервалов, предшествующих медианному.

Квартиль и дециль ¡ ¡ ¡ Квартили – это набор квантилей. Их оценками Квартили (квартилями эмпирического распределения) являются величины, делящие выборку данных на группы, содержащие (по возможности) одинаковые количества наблюдений. Когда говорят о квартилях, обычно имеют в виду верхний q 3 и нижний q 1 квартили; второй квартиль q 2 равен медиане. ПРИМЕР: 0, 25; 0, 75 Дециль характеризует распределение величин Дециль совокупности, при которой девять значений дециля делят ее на десять равных частей. Любая из этих десяти частей составляет 1/10 всей совокупности. Так, первый дециль отделяет 10% наименьших величин, лежащих ниже дециля от 90% наибольших величин, лежащих выше дециля.

заключение Средние величины используются на этапе обработки и обобщения полученных первичных статистических данных. ¡ Потребность определения средних величин связана с тем, что у различных единиц исследуемых совокупностей индивидуальные значения одного и того же признака, как правило, неодинаковы. ¡