Справочный материал ВЕРОЯТНОСТЬ Классическое определение вероятности Вероятностью

Справочный материал ВЕРОЯТНОСТЬ.

Классическое определение вероятности. Вероятностью события А называется отношение числа БЛАГОПРИЯТНЫХ для этого события исходов к ОБЩЕМУ ЧИСЛУ всех равновозможных между собой исходов испытания.

События. Достоверное событие - это событие, происходящее в любом случае. Вероятность достоверного события равна 1. Невозможное событие - это событие, никогда не происходящее. Вероятность невозможного события равна 0. Случайное событие - это событие, которое может как наступить, так и не наступить.

Несовместные и противоположные события. Определение 1. Определение 2. Теорема 1. Событие В называется противоположным Для нахождения вероятности событию А, если событие В происходитте противоположного события надо из 1 Несовместными событиями называют тогда и только тогда, когда несобытия: вычесть вероятность могут происходить события, которые не самого происходит событие А; обозначают В=А. Р(А)=1 -Р (А). одновременно. Если события А и В несовместны, то вероятность того, что наступит или событие А , или В равна сумме вероятностей А и В. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Элементарные события (исходы) – простейшие события, которыми может окончится случайный опыт. Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1. Р(А) равна сумме вероятностей благоприятствующих этому событию. элементарных событий, (объединение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А, В (пересечение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В. А называется противоположным событию А, если состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые не входят в А. Несовместные события – это события, которые не наступают в одном опыте.

Вероятности противоположных событий: Формула сложения вероятностей: Формула сложения для несовместных событий: Формула умножения вероятностей для независимых событий: Формула вероятности k успехов в серии из n испытаний Бернулли: р – вероятность успеха, q=1 -p вероятность неудачи в одном испытании

Правило нахождения геометрической вероятности. Х А Если фигура Х целиком содержит в себе фигуру А, то вероятность того, что точка, случайно выбранная из фигуры Х, принадлежит фигуре А равна отношению площади фигуры А к площади фигуры Х.

Схема решения задач: 1. Определить, в чем состоит случайный эксперимент и какие у него элементарные события. Убедиться, что они равновероятны. 2. Найти общее число элементарных событий (N) 3. Определить, какие элементарные события благоприятствуют событию А, и найти их число N(A). 4. Найти вероятность события А по формуле

Задача 1. Вася, Петя, Коля и Леша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что игру будет начинать Петя. Решение: Случайный эксперимент – бросание жребия. Элементарное событие – участник, который выиграл жребий. Число элементарных событий: N=4 Событие А = {жребий выиграл Петя}, N(A)=1 Ответ: 0, 25

Частотой события называют отношение m/n, где nобщее число испытаний, m- число появлений события А.

Примеры Пример 1. Наблюдения показывают, что 1. в среднем среди 1000 новорожденных детей 515 мальчиков. Какова частота рождения мальчика в такой серии наблюдений? Ответ: 0, 515

Примеры Пример 2. За лето на Черноморском 2. побережье было 67 солнечных дней. Какова частота солнечных дней на побережье за лето? Частота пасмурных дней? Ответ: 0, 728; 0, 272.

Примеры Пример 3. Отдел технического контроля 3. обнаружил 5 бракованных изделий в партии из 1000 изделий. Найдите частоту изготовления бракованных изделий. Ответ: 0, 005

Примеры Пример 4. Для выяснения качества семян 4. было отобрано и высеяно в лабораторных условиях 1000 штук. 980 семян дали нормальные всходы. Найдите частоту нормального всхода семян. Ответ: 0, 98

ПРОСТЫЕ ЗАДАЧИ О ВЫБОРЕ ОБЪЕКТОВ ИЗ НАБОРА.

Задача № 1. Чтобы определить, как часто встречаются в лесопарке деревья разных пород, ребята провели следующие эксперименты. Каждый выбрал свою тропинку и по пути следования записывал породу каждого десятого дерева. Результаты были занесены в таблицу: Породы Сосна Число деревьев 315 Дуб 217 Береза 123 Ель 67 Осина 35 Всего 757 Оцените вероятность того, что выбранное наугад в этом парке дерево будет: а) сосной; б) хвойным; в) лиственным. Указание. Ответ запишите в виде десятичной дроби с тремя знаками после запятой.

Задача № 1. Решение: а) A={выбранное наугад в парке дерево - сосна} NА = 315, N = 757, Р(А) = 315/757 0, 416; 0, 416 б) В ={выбранное наугад в парке дерево - хвойное} NА = 315 + 67 = 382, N = 757. Р(А) = 382/757 0, 505; 0, 505 в) C = {выбранное наугад в парке дерево - лиственное} NА = 217 + 123 + 35 = 375, N = 757. Р(А) = 375/757 0, 495

Задача № 2. По статистике, на каждые 1000 лампочек приходится 3 бракованные. Какова вероятность купить исправную лампочку? Решение: 3/1000 = 0, 003 1 – 0, 003 = 0, 997

Задача № 3. Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов равна 0, 012. в скольких случаях из 10 000 рождений можно ожидать появление близнецов? Решение: Ответ: в 120 случаях.

Задача 3. Из 50 шаров 17 окрашены в синий цвет, 13 - в оранжевый, остальные в другие цвета. Какова вероятность того, что случайным образом выбранный шар окажется: г)ни синим а)синим; ни оранжевым? в)или синим, или оранжевым; б)не , оранжевым;

Задача 2. В правильном 7 -угольнике ABCDEFG случайным образом провели одну из диагоналей. В б)Какова вероятность того, что по а)Какова г)Какова вероятность того, что в)Какова вероятность того, С одну сторону от от неё лежит А обе диагональ отрезает от один что стороны диагонали лежит одинаковое количество вершин? более двух вершин? из концов диагонали - вершина С, 7 -угольника какой-то или вершина F? 3 -угольник? Ответ: 1, достоверное событие 0, невозможное событие G D Из вершины С – 4 диагонали Начало диагонали 7 способов Конец диагонали– 4 диагонали 4 способов Из вершины F F E По правилу умножения всего- 7∙ 4=28 Всего – 4+4 -1=7 пар концов диагоналей Всего диагоналей- 28: 2=14, N=14 Всего диагоналей, отсекающих треугольник -7, N(A)=7 Ответ:

Реши самостоятельно! Дежурные по классу Алексей, Иван, Татьяна и Ольга бросают жребий - кому стирать с доски. Найдите вероятность того, что стирать с доски достанется одной из девочек. Алексей Иван Татьяна Ольга Ответ: 0, 5

Реши самостоятельно! Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три? 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 Ответ: 0, 3

Задача 6. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 – из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции. Решение: Всего спортсменов: N= 4 + 7 + 9 + 5 = 25 N=25 A= {последний из Швеции} N(А)=9 Ответ: 0, 36

Задача 7. В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор окажется исправным. Решение: N= 1000 A= {аккумулятор исправен} N(A)= 1000 – 6 = 994 Ответ: 0, 994

Задача 8. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США , остальные из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Решение: Проверка: A= {первой будет спортсменка Реши самостоятельно 1) Определите N 2) Определите N(A) из Китая} N = 20 N(A)= 20 – 8 – 7 = 5 Ответ: 0, 25

2 способ: использование формулы сложения способ вероятностей несовместных событий R={первая из России} A={первая из США} C={Первая из Китая} P(R) + P(A) + P(C) = 1 - P(R) - P(A)

Задача 9. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на 4 группы по 4 команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе. Решение: Множество элементарных событий: N=16 A={команда России во второй группе} С номером « 2» четыре карточки: N(A)=4 Ответ: 0, 25

Реши самостоятельно! В группе туристов 24 человека. С помощью жребия они выбирают трех человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдет в магазин? Ответ: 0, 125

2. ЗАДАЧИ НА ПОДБРАСЫВАНИЕ МОНЕТЫ.

Реши самостоятельно! В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадет ОРЕЛ, во второй РЕШКА) 1 О О Р 2 О Р Р Ответ: 0, 25

Равновозможными событиями называются события, вероятность появления которых «Орлянка» одинакова. Задача 1. Монету подбрасывают три раза. Какова вероятность того, что: а) все три раза выпадет «решка» ; б) «решка» выпадет в 2 раза чаще, чем «орёл» ; в) «орёл» выпадет в 3 раза чаще, чем «решка» ; г) при первом и третьем подбрасывании Какова вероятность того, что «орёл» результаты будут различны? выпадет в 3 раза чаще, чем «решка» ? ООО ООР ОРО ОРР РОО РОР РРО РРР Какова вероятность что все 3 и третьем Какова вероятность того, что «решка» Какова вероятность того, при первом раза 0 выпадет в 2 раза чаще, чем «орёл» ? подбрасывании результаты будут различными? выпадет «решка» ? 0, 125

Реши самостоятельно! Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза. Ф/1 ОР ОР РО РО Ф/2 ОР ОР РО РО Ф/3 ОР РО О – орел (первый) Р – решка (второй) Ответ: 0, 375

Задача 3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решение: Возможные исходы события: 1 бросок 2 бросок N=4 решка - Р орел - О N(A)=2 О О Р Р О Р 4 исхода Ответ: 0, 5

Реши самостоятельно! Монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы один ОРЕЛ. 1 О О Р 2 О Р Р Ответ: 0, 25

ЗАДАЧИ НА БРОСАНИЕ ИГРАЛЬНОГО КУБИКА.

Задача 4. Какова вероятность того, что при трёх Вероятность выпадения 6 последовательных бросаниях игрального кубика хотя бы один раз выпадет 6. Р(А)=91: 216≈0, 4213 Событие А- выпадение 6. Событие Абросании-6 возможных исходов в При первом : 6 не выпадает вообще, ни первый, ни бросании-6 возможных исходов При втором во второй, ни в третий раз. За три бросания всего 5∙ 5∙ 5=125 возможных Второй способ: При третьем исходов события А. исходов бросании-6 возможных За три бросания всего 6∙ 6∙ 6=216 возможных исходов. Число исходов события А N(A)=216 -125=91.

Задача 2. Игральный кубик бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, большее чем 4. Решение: Случайный эксперимент – бросание кубика. Элементарное событие – число на выпавшей грани. Всего граней: N=6 Элементарные события: 1, 2, 3, 4, 5, 6 N(A)=2 Ответ: 1/3

Реши самостоятельно! В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число, меньшее чем 4. 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ответ: 0, 5

Реши самостоятельно! В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число, отличающееся от числа 3 на единицу. 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ответ: 1/3

Реши самостоятельно! В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет четное число. 1, 2, 3, 4, 5, 6 Ответ: 0, 5

Задача 4. В случайном эксперименте бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Решение: Множество элементарных исходов: N=36 Числа на выпавших сторонах 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A= {сумма равна 8} N(А)=5 Ответ: 5/36

Реши самостоятельно! Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что первый раз и во второй раз выпадет одинаковое число очков. Числа на выпавших сторонах 1 2 3 4 5 6 Ответ: 1/6

Реши самостоятельно! Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А={сумма очков равна 5} Числа на выпавших сторонах 1 2 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 8 9 10 11 12 Ответ: 4

Реши самостоятельно! Игральный кубик бросают дважды. Какая сумма очков наиболее вероятна? Числа на выпавших сторонах 1 2 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 8 9 10 11 12 Ответ: 7

Задача 5. В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова вероятность того, что орел выпал ровно два раза. Решение: Множество элементарных исходов: N=8 1 бросок 2 бросок 3 бросок О О Р Р О Р О Р A= {орел выпал ровно 2 } N(А)=3 8 исходов Ответ: 0, 375

Реши самостоятельно! Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что первый раз выпадет число 6. Числа на выпавших сторонах 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1 Всего вариантов 36 Комбинаций с первой « 6» 61, 62, 63, 64, 65, 66 Ответ: 1/6

Реши самостоятельно! Монету бросают три раза. Какова вероятность того, что результаты двух первых бросков будут одинаковы? 1 2 3 О О О Р Р Р О О Р Р Р Ответ: 0, 5

Реши самостоятельно! Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что результаты первого и последнего броска различны. 1 2 3 О О О Р Р Р О О Р Р Р Ответ: 0, 5

1 2 3 4 О О О О Р О Р Р О О О Р Р О Р О Р Р О О Р Р Р Р О Р Р Реши самостоятельно! Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, О О Р О что орел выпадет ровно О раза. Р три Р О Ответ: 0, 25

Задача 5. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства │x-1│≤ 3. Какова вероятность того, что оно окажется и решением неравенства │x-2 │ ≥ 3? х-2≤-3 х-2≥ 3 -3≤х-1≤ 3 -2≤х≤ 4 х≤-1 х≥ 5 х-1 -3 0 3 х-2 -3 0 3 х -2 -1 0 Ответ. 1/6 4 5

Геометрическая вероятность.

Задача 6. Графический редактор, установленный на компьютере, случайно отмечает одну точку на мониторе – квадрате АВСD со стороной 12 см. Какова вероятность того, что эта точка: C B А D б)а)в)будет удалена от окажется одновременно окажется в верхней в нижней и более, вершины D не левой половине монитора? частина 11 см ? чем монитора?

Реши самостоятельно! В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 7 спортсменов из России, 6 из Китая, 3 из Кореи, 4 из Японии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет выступать спортсмен из России. Ответ: 0, 35

Задача 10. Вероятность того, что шариковая ручка пишет плохо (или не пишет) равна 0, 1. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что ручка пишет хорошо. Решение: A={ручка пишет хорошо} Противоположное событие: Ответ: 0, 9

Задачи о пересечении независимых событий.

Задача 13. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0, 8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых. Решение: Вероятность попадания = 0, 8 Вероятность промаха = 1 - 0, 8 = 0, 2 А={попал, промахнулся} По формуле умножения вероятностей Р(А)= 0, 8 ∙ 0, 2 Р(А)= 0, 512 ∙ 0, 04 = 0, 02048 ≈ 0, 02 Ответ: 0, 02

Задача 14. В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0, 05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. Решение: А={хотя бы один автомат исправен} По формуле умножения вероятностей: Ответ: 0, 9975

Задачи об объединении несовместных событий.

Задача 11. На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность» , равна 0, 2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм» , равна 0, 15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение: А={вопрос на тему «Вписанная окружность» } B={вопрос на тему «Параллелограмм» } События А и В несовместны, т. к. нет вопросов относящихся к двум темам одновременно С={вопрос по одной из этих тем} Р(С)=Р(А) + Р(В) Р(С)=0, 2 + 0, 15=0, 35 Ответ: 0, 35

Задача 12. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0, 3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0, 12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение: А={кофе закончится в первом автомате} Р(А)=Р(В)=0, 3 B={кофе закончится во втором автомате} По формуле сложения вероятностей: Ответ: 0, 52

Найдите вероятность того, что, скатившись вниз вправо или влево, капля окажется а) в точке А; б) окажется на участке А-В. КАПЛЯ А В

Найдите вероятность того, что, скатившись вниз вправо или влево, капля окажется а) в точке А; б) окажется на участке А-В. 1 1/2 1/4 1/4 1/2 1/8 1/4 3/8 1/16 3/16 1/4 А 1/8 3/8 3/16 1/4 В 1/16