Справочное пособие построение сечений Учитель математики: Мишустина Е. В. Гимназии № 52 Приморского района Санкт-Петербург 2004 г.
Вступление Секущей плоскостью тетраэдра (параллелепипеда) называется плоскость, по обе стороны которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Сечением тетраэдра (параллелепипеда) называется многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки.
Задача № 1
Шаг № 1 На рёбрах AB 1, AD 1, AA 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 отмечены точки M, N, K. Построить сечение куба плоскостью MNK.
Шаг № 2 Точки M и N лежат в плоскости AA 1 B 1, поэтому их можно соединить отрезком MN.
Шаг № 3 Точки N и K лежат в плоскости ABC, поэтому их можно соединить отрезком NK.
Шаг № 4 Точки M и K лежат в одной плоскости AA 1 D 1, поэтому их можно соединить отрезком MK. Треугольник MNK-искомое сечение.
Задача № 2
Шаг № 1 На рёбрах AA 1, AD, BC куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 отмечены точки M, K, N. Построить сечение куба плоскостью MNK.
Шаг № 2 Точки M и K лежат в плоскости AA 1 D 1, поэтому их можно соединить отрезком MK.
Шаг № 3 Точки K и N лежат в плоскости ABC, поэтому их можно соединить отрезком KN.
Шаг № 4 Чтобы найти точку пересечения прямой KN и плоскости AA 1 B 1, необходимо провести прямую в плоскости AA 1 B так, чтобы она пересекала прямую KN. Для этого проведём прямую AB. Точка O-это точка пересечения прямых KN и AB. В точке O пересекаются прямая KN и плоскость AA 1 B 1.
Шаг № 5 Точки O и M лежат в плоскости AA 1 B 1, поэтому их можно соединить прямой. Прямая OM пересекает ребро BB 1 в точке £.
Шаг № 6 Точки £ и N лежат в плоскости BB 1 C 1, их можно соединить отрезком. Четырёхугольник M£NK - искомое сечение.
Задача № 3
Шаг № 1 На рёбрах параллелипипеда даны точки M, N, K. Построить сечение параллелипипеда плоскостью MNK. Точки M и N лежат в плоскости AA 1 B 1 , их можно соединить отрезком. Точки N и K лежат в плоскости BB 1 C 1 , их можно соединить отрезком.
Шаг № 2 Грань DD 1 C 1 C противоположна грани AA 1 B 1 B. Проведём KQ||MN. Точка Q-это точка пересечения KQ с ребром DC. Аналогично проводим. (отрезки лежащие на противоположных гранях параллелипипеда).
Шаг № 3 Точки F и Q лежат в плоскости ABCD, их можно соединить отрезком FQ. Пятиугольник MNKQF-искомое сечение.
Задача № 4
Шаг № 1 На рёбрах параллелепипеда даны точки M, N, K. Построить сечение параллелепипеда плоскостью MNK. Так как точки, M и N лежат в разных плоскостях, найдём их проекции на основание ABCD, назовём точки соответственно M 1 и N 1. Точка A совпадает в точке M 1.
Шаг № 2 Прямые N 1 M 1 и MN будут пересекаться в точке P. Точка P принадлежит плоскости сечения и плоскости основания.
Шаг № 3 Точки P и K , лежащие в плоскости ABC соединим прямой. PK пересекает ребро в точке F. Отрезок FK лежит в плоскости основания ABCD.
Шаг № 4 Грани A 1 B 1 C 1 D 1 и ABCD противоположные, проведём NE||FK. Соединим M и E отрезком, так они лежат в плоскости одной грани AA 1 B 1 B.
Шаг № 5 Точки M и F лежат в плоскости одной грани AA 1 D 1 D их можно соединить отрезком. Грани AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C противоположные, проведём NQ||MF.
Шаг № 6 Точки K и Q лежат в плоскости грани ВВ 1 С 1 С, их можно соединить отрезком. Шестиугольник MENQKF – искомое сечение.
Задача № 5
Шаг № 1 Точка K ежит на боковой грани ADB тетраэдра DABC. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку K параллельно основанию ABC.
Шаг № 2 Секущая плоскость параллельна плоскости ABC, следовательно она параллельна прямым AB, BC и CA. Через точку K проводим MN||AB.
Шаг № 3 Через точку M проведём MN||AB. Треугольник MKN - искомое сечение.
Над презентацией работали Евдокимов Константин и Мастеров Игорь
Скачать презентацию Справочное пособие построение сечений Учитель математики Мишустина Е
Сечения.ppt