Скачать презентацию Справочник планиметрии. ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ. 7
Справочник по планиметрии.ppt
- Количество слайдов: 71
Справочник планиметрии. ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ. 7 -9 КЛАСС. СОЗДАТЕЛЬ ПРЕЗЕНТАЦИИ УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ АНКИНА Т. С. Г. ЕКАТЕРИНБУРГ МАОУ-ГИМНАЗИЯ № 13
Использованные ресурсы. 1. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов и др. Геометрия, 7 -9. М. : Просвещение, 2008. 2. Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский Геометрия в таблицах, 7 -11 кл. : Справочное пособие/М. : Дрофа, 2002.
Как пользоваться справочником. 1. После прочтения инструкции перейдите на следующий слайд «Основные темы» . 2. Выбрав тему, «кликните» по её названию. 3. Для продолжения просмотра выбранной темы «кликните» по стрелке «Далее» . 4. Для возвращения к списку тем «кликните» по кнопке «Вернуться»
Основные темы. Закрыть справочник. 1. Углы и параллельность. 2. Треугольник. 3. Параллелограммы. 4. Трапеции. 5. Окружность. 6. Площади. 7. Правильные многоугольники.
Углы и параллельные прямые. Вернуться 1. Углы и их виды. 2. Углы и параллельные прямые. 3. Аксиома параллельных. Свойства. 4. Теорема Фалеса.
1. Угол. В 2. Развёрнутый угол. ор она С ст А биссектриса А М ВАС=180˚ вершина 3. Виды углов. С BAD=90˚- ВАС D С АМ - биссектриса H прямой СAВ<90˚- ВАМ= САМ острый А В 4. Смежные углы. НAВ>90˚- С тупой 5. Вертикальные углы равны. D С В А А СAD и ВАС- В смежные H СAD + ВАС=180˚ D Вернуться
5. Угол между прямыми. 6. Углы при секущей. С c В А 1 <90˚ 4 2 а 3 5 H 8 6 7 D b 7. Параллельные прямые. Пары углов: (2; 8); (3; 5)-накрест лежащие, (1; 5); (4; 8); (3; 7); (2; 6)- а а||b соответственные, (3; 8); (2; 5)- односторонние. b 8. Признаки и свойства параллельных прямых. 1 а 3 5 а||b а 5 а||b b c а 2 5 а||b c <2+<5=180˚ Вернуться
9. Аксиома параллельных прямых. а А Через точку А, не лежащую на прямой b, в плоскости можно провести прямую а, параллельную b данной прямой b, и притом только одну. 10. Транзитивность параллельных прямых. а Если две различные прямые параллельны третьей, то они с параллельны между собой. b 11. Связь перпендикулярности с параллельностью. а b Если две различные прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой. с Вернуться
12. Теорема Фалеса. 13. Расширенная теорема Фалеса. А₅ А₄ А₃ А₄ А₂ А₃ А₁ А₂ А₁ В₁ В₂ В₃ В₄ В₁ В₅ В₂ В₃ В₄ Если на одной из двух прямых отложить несколько равных отложить несколько отрезков и через их концы и через их концы провести параллельные прямые до до пересечения с другой прямой, пересечения с другой прямой, то и на ней отложатся равные то и на ней отложатся отрезки. отрезки, пропорциональные данным. А₁А₂: А₂А₃: А₃А₄=В₁В₂: В₂В₃: В₃В₄ Вернуться
Треугольники. Вернуться 1. Треугольник, его элементы. 2. Признаки равенства. 3. Подобие. 4. Линейные элементы. 5. Площадь. 6. Теоремы синусов и косинусов. 7. Вписанная и описанная окружности. 8. Виды.
1. Треугольник. Вернуться вершина А Геометрическая фигура, состоящая из трёх сторо на точек, не лежащих на одной прямой, и трёх о ро отрезков, попарно их соединяющих, ст называется треугольником. М В сторона С вершина 2. Неравенство треугольника. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности. В противном случае треугольник не существует: ВС-АС<АВ<ВС+АС… 3. Внешний угол треугольника и его свойство. Угол АВМ, смежный с углом АВС треугольника, называется внешним углом треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме углов треугольника, не смежных с ним: АВМ= С+ А 4. Сумма углов треугольника. А+ В+ С=180˚.
5. Признаки равенства треугольников. А А₁ По двум сторонам и углу между ними. В А С В₁ А₁ С₁ По стороне и двум углам, прилежащим к ней. В С В₁ А₁ С₁ А По трём сторонам. Вернуться В С В₁ С₁
Подобие треугольников. Вернуться 1. Признаки подобия. 2. Примеры и свойства.
6. Признаки подобия треугольников. Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого, а сходственные стороны пропорциональны: А= А₁; В= В₁; С= С₁; АВ: А₁В₁=АС: А₁С₁=ВС: В₁С₁=k. В₁ В По двум углам. С А С₁ А₁ В₁ В ka По двум сторонам и углу a между ними. С b А С₁ kb А₁ В₁ В ka kc a c По трём сторонам. С b А С₁ kb А₁ Вернуться
7. Примеры и свойства подобных треугольников. А Прямая, параллельная стороне треугольника, В₁ С₁ отсекает от него треугольник, подобный данному. В С Сходственные биссектрисы, медианы и высоты треугольников пропорциональны сходственным сторонам. Отношение периметров подобных треугольников равно отношению cходственных сторон (коэффициенту подобия k). Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения cходственных сторон (квадрату коэффициента подобия k²). Вернуться
Линейные элементы. Вернуться 1. Медиана. 2. Высота. 3. Биссектриса. 4. Средняя линия.
8. Медиана треугольника. А С₁ В₁ Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой М противоположной стороны. В А₁ С Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести треугольника) и делятся ею в отношении 2: 1, считая от вершины: АМ: МА₁=ВМ: МВ₁=СМ: МС₁=2: 1. Медиана треугольника делит его на два равновеликих (с равными площадями) треугольника. Все медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников. Вернуться
9. Высота треугольника. А С₁ Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины Н В₁ треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону. В А₁ С А Все высоты треугольника или прямые, их содержащие, пересекаются в В₁ одной точке – ортоцентре треугольника. А₁ В С₁ Н r- радиус вписанной окружности. Вернуться
10. Биссектриса треугольника. Вернуться А Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, С₁ расположенный внутри него. О В₁ Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности. В А₁ С Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. 11. Средняя линия треугольника. А Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон N треугольника. Средняя линия треугольника параллельна В М С третьей стороне и равна её половине.
12. Площадь треугольника. А r- радиус вписанной окружности. c о₂ha b R- радиус oписанной окружности. о₁ R r В a С - формула Герона. Вернуться
13. Теорема синусов. А Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов с c коэффициентом пропорциональности, b равным диаметру описанной окружности. В a С 14. Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Вернуться
15. Описанная окружность. Вернуться А Около каждого треугольника можно С₁ В₁ описать окружность и притом только одну. О R Центром описанной окружности является В А₁ С точка пересечения серединных перпендику- ляров к сторонам треугольника. 16. Вписанная окружность. А В каждый треугольник можно вписать С₁ окружность и притом только одну. r О В₁ r Центром вписанной окружности является r С точка пересечения биссектрис треугольника. В А₁
Виды треугольников. Вернуться 1. Прямоугольный. 2. Равнобедренный. 3. Равностороний (правильный).
Прямоугольный треугольник. Вернуться 1. Определение и свойства. 2. Соотношения. 3. Вписанная и описанная окружности. 4. Площадь.
17. Прямоугольный треугольник. А Треугольник называется прямоугольным, сг ип если у него есть прямой угол. b катет от ену тс О за Теорема Пифагора. Квадрат длины гипотенузы равен сумме С а катет В квадратов длин катетов. Теорема, обратная теореме Пифагора. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник прямоугольный. Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна её половине: тс=с: 2. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный, и эта сторона является гипотенузой. Центр описанной окружности около прямоугольного треугольника совпадает с серединой гипотенузы. Вернуться
18. Тригонометрические функции острых углов в прямоугольном треугольнике. А Н с b С а В 19. Средние пропорциональные отрезки. Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным отрезком гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла является средним пропорциональным отрезком проекций катетов на гипотенузу: Вернуться
20. Вписанная и описанная окружности. А Н R О₁ с b r О₂ r R R r С а В 21. Площадь. Вернуться
22. Равнобедренный треугольник. Вернуться А вершина Равнобедренным называется треугольник, бок на у которого две стороны равны. оро ова Углы при основании равны. я ст Высота, проведённая из вершины, является биссектрисой и медианой. ова С₁ В₁ оро Высоты (биссектрисы, медианы), бок на проведённые к боковым сторонам В А₁ С равны. основание 23. Признаки равнобедренного треугольника. 1. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. 2. Если в треугольнике высота является биссектрисой или медианой, то этот треугольник равнобедренный. 3. Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой, то этот треугольник равнобедренный. 4. Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой, то этот треугольник равнобедренный. 5. Если в треугольнике 2 высоты (биссектрисы, медианы) равны, то этот треугольник равнобедренный. .
24. Равносторонний (правильный) треугольник. А Правильным (равносторонним) называется треугольник, у которого все стороны равны. С₁ В₁ О 25. Свойства. 1. Все углы равны 60˚. 2. Точки пересечения медиан, биссектрис, В А₁ С высот, серединных перпендикуляров совпадают. Эта точка называется центром треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей. 3. Центр правильного треугольника делит его высоты в отношении 2: 1, считая от вершины. 4. Формулы. 5. Площадь. Вернуться
Параллелограммы. Вернуться 1. Параллелограмм. 2. Ромб. 3. Прямоугольник. 4. Квадрат.
Параллелограмм. Вернуться 1. Определение и свойства. 2. Признаки. 3. Свойства биссектрис и высот. 4. Метрические соотношения. Площадь.
26. Определение. Вернуться Параллелограммом называется В С четырёхугольник, у которого О противоположные стороны попарно параллельны. А 27. Свойства. D 1. Противоположные углы равны. 2. Односторонние углы в сумме составляют 180˚. 3. Противоположные стороны равны. 4. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. 28. Признаки. 1. Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник является параллелограммом 2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом. 3. Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник -параллелограмм.
29. Свойства биссектрис и высот. В А₁ С 1. Биссектриса угла (АА₁)отсекает К от параллелограмма М равнобедренный треугольник А D ( АВ=ВА₁). 2. Биссектрисы односторонних углов перпендикулярны (АА₁ и ВМ), а биссектрисы противоположных углов параллельны (ВМ и DК) или лежат на одной прямой (в ромбе) В С 3. Высоты параллелограмма обратно пропорциональны соответственным сторонам: А D 4. Высоты, опущенные из одной вершины, образуют угол, равный углу при соседней вершине: Вернуться
30. Периметр. Площадь. Вернуться В С А D 31. Соотношения. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов четырёх его сторон:
32. Ромб. Ромбом называется параллелограмм, В С у которого все стороны равны. 1. Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы его пополам. О 2. Высоты ромба равны. А D 3. В ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения диагоналей и радиусом, равным половине высоты. 4. Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма. 33. Признаки ромба. 5. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это ромб. 6. Если в параллелограмме диагонали делят углы пополам, то это ромб. 7. Если в четырёхугольнике все стороны равны, то это ромб. 34. Площадь ромба. Вернуться
35. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. В С 1. Диагонали прямоугольника равны. 2. Около прямоугольника можно описать окружность с центром в О точке пересечения диагоналей и радиусом, равным половине А D диагонали. 3. Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма. 36. Признаки прямоугольника. 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник. 2. Если в параллелограмме один угол прямой, то это прямоугольник. 3. Если в четырёхугольнике есть три прямых угла, то это прямоугольник. 37. Периметр и площадь прямоугольника. Вернуться
38. Квадрат. В С Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадратом называется ромб, у которого все углы прямые. 45˚ Квадрат обладает всеми свойствами А ромба, прямоугольника и D параллелограмма. Квадрат является правильным четырёхугольником. d-диагональ, R-радиус описанной окружности r- радиус вписанной окружности a- сторона Вернуться
Трапеции. Вернуться 1. Трапеция. 2. Свойства трапеции. 3. Вписанная окружность. 4. Равнобедренная и прямоугольная трапеции.
39. Трапеция. Трапецией называется четырёхугольник, В С две стороны которого параллельны, а две другие нет. M N BC и AD - верхнее и нижнее основания. АB и СD –боковые стороны. АС и ВD –диагонали. А Н D МN – средняя линия. ВН – высота трапеции, расстояние между основаниями. Площадь трапеции: Вернуться
40. Свойства трапеции. 1. Середины оснований , точка М пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых В L С сторон трапеции лежат на одной прямой. P О Q 2. Треугольники , образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей, подобны. А T D ~ 3. Треугольники , образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей, равновелики. 4. Отрезок , параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится ею пополам и Вернуться
41. Вписанная окружность. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон. В BC+AD=AB+CD. С Центром вписанной окружности О является точка пересечения биссектрис углов трапеции и радиус этой окружности А D Вернуться
42. Равнобедренная трапеция. Вернуться Равнобедренной называется трапеция, В у которой боковые стороны равны. С 1. Углы, прилежащие к одному основанию, равны. 2. Диагонали, равнобедренной трапеции А D равны. О 3. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность, центр которой, является точкой пересечения В С серединных перпендикуляров сторон. 4. Высоты трапеции, проведённые из вершин верхнего основания, отсекают А D от неё равные прямоугольные В₁ С₁ треугольники. Прямоугольной называется трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основанию.
Окружность. Вернуться 1. Отрезки и дуги. 2. Прямая и окружность. 3. Углы в окружности. 4. Две окружности. 5. Вписанная окружность. 6. Описанная окружность. 7. Общие касательные двух окружностей. 8. Круг и его части.
Отрезки и дуги. Вернуться 1. Отрезки и дуги. 2. Свойства отрезков и дуг.
43. Отрезки и дуги. Вернуться N Q Окружностью называется множество точек плоскости, находящихся на P О одинаковом расстоянии от данной точки О А В (центра окружности). Радиусом называется отрезок (ОМ), соединяющий точку окружности с М центром. Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности (PQ и AB). Диаметром называется хорда, проходящая через центр (АВ). Дугой называется часть окружности, заключённая между двумя её точками. Две точки на окружности образуют на ней две дуги: PNQ и PMQ Любую из них стягивает хорда PQ. Длина окружности С=2πR. Длина дуги окружности l=πRα/180. α-градусная мера дуги l=Rα, α- радианная мера дуги.
44. Свойства отрезков и дуг. N Q Т Диаметр делит хорду, не являющуюся О P диаметром, пополам тогда и только тогда, когда он перпендикулярен к этой хорде. М N Q Если две хорды окружности пересекаются, то Т произведение отрезков одной хорды равно P произведению отрезков другой хорды: О MT·TN=PT·TQ М Вернуться
Прямая и окружность. Вернуться 1. Прямая и окружность. 2. Окружность и две прямые.
44. Прямая и окружность. Q ОМ- расстояние от центра окружности М до прямой. P О Если ОМ
46. Две прямые и окружность. Вернуться P М Если окружность касается сторон угла, то: О 1)центр окружности лежит на биссектрисе Q этого угла; МО-биссектриса, 2)отрезки касательных, заключённых между вершиной угла и точками касания, равны; МР=МQ 47. Касательные и секущие из одной точки. T A Если из точки вне окружности к ней проведены B X касательная и секущая, то квадрат длины О отрезка касательной равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть: АТ²=АВ·АС=АХ·АУ. Y Произведения длин отрезков секущих, C проведённых из одной точки, равны.
48. Цнтральный угол. Вернуться А К Если вершина угла находится в центре P 2 α˚/ окружности, а стороны его пересекают О окружность, то этот угол называется центральным (ВОС). α˚ М В Градусная мера дуги (ВС), заключённой внутри С центрального угла, равна градусной мере α˚ этого центрального угла. 49. Вписанный угол. Если вершина угла находится на окружности, а стороны его пересекают окружность, то этот угол называется вписанным в окружность (ВАС). Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, заключённой внутри его (на которую он опирается). Вписанный угол (РКМ), опирающийся на полуокружность Далее (диаметр) равен 90˚ (прямой).
50. Свойства вписанных углов. Вернуться К А D В₁ С₁ М Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. Т Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду или равны (ВАС и ВМС), или их сумма равна 180˚ (ВРС и ВМС). В С 51. Другие углы. Р Градусная мера угла (ВКС), стороны которого пересекают окружность, а вершина находится вне её, равна полу разности градусных мер дуг, заключённых внутри этого угла (В₁С₁ и ВРС). Градусная мера угла (СAD), между хордой и касательной равна половине дуги, заключённой внутри этого угла (дуги АМС). Градусная мера угла (ВТС), вершина которого лежит внутри окружности , а стороны пересекают её равна полу сумме градусных мер дуг, заключённых внутри этого угла и внутри вертикального ему угла (дуг ВРС и С₁АМ).
52. Две окружности. Вернуться R₁и R₂-радиусы окружностей, d- расстояние между их центрами. О₁ d О₂ Нет общих О₁ О₂ R₁ R₂ точек. R₁+R₂< d R₁-R₂> d d О₂ О₁ О₂ Касаются О₁ R₁ R₂ R₁+R₂=d R₁-R₂=d А Пересекаются О₁ d О₂ d О₁ О₂ M N M N В MN=R₂-R₁+d MN=R₂+R₁-d
53. Описанная окружность. Вернуться А Около каждого треугольника можно С₁ В₁ описать окружность и притом только одну. О В А₁ С Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда А суммы противоположных углов этого четырёхугольника равны 180˚. D В Около прямоугольника (квадрата)всегда О можно описать окружность, центр которой лежит в точке пересечения его диагоналей. Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендику- С ляров к сторонам многоугольника.
54. Вписанная окружность. Вернуться А В каждый треугольник можно вписать С₁ окружность и притом только одну. r О В₁ r В А₁ С В В₁ С В четырёхугольник можно вписать А₁ окружность тогда и только тогда, когда О суммы противоположных сторон этого С₁ четырёхугольника равны. А АВ+CD=DC+AD. D₁ D Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис многоугольника.
55. Общие касательные двух окружностей. две внутренние касательные две вн Если одна окружность лежит ешние S вне другой, то у них 4 общих О₁ О₂ ы е касательных. т ельн каса d=O₁O₂>R₁+R₂ одна внутренняя касательная две вн ешние Если две окружности касаются О₁ О₂ внешним образом, то у них ьн ые 3 общих касательных. тел каса d=O₁O₂=R₁+R₂ Вернуться Далее
Вернуться M Если две окружности О₁ О₂ d касаются внутренним образом, то у них одна общая касательная. две вн ешни е О₁ Если две окружности е О₂ е льн ы пересекаются, то у них есть ат кас две общие касательные. О₂ Если одна окружность О₁ лежит внутри другой, то общих касательных нет.
56. Круг и его части. Вернуться О С - длина окружности, D=2 R - диаметр о р ект с α –градусная мера О сектор дуги сектора т сегмент В А О сегмент п
Площади. Вернуться 1. Площадь треугольника. 2. Отношения площадей. 3. Площадь четырёхугольника. 4. Площадь круга и его частей. 5. Площади правильных многоугольников.
57. Площадь треугольника. Вернуться В Далее а c С r - радиус вписанной А b окружности, р - полупериметр R - радиус oписанной окружности
58. Площадь прямоугольного треугольника. В c h а А С b 59. Площадь правильного треугольника. В 60˚ а А С а Вернуться
60. Подобные треугольники. ~ В М N А Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату С коэффициента подобия 61. Треугольники с равными высотами. В Отношение площадей треугольников h с равными высотами (общей высотой) равно отношению А С М N сторон, соответственных этим Вернуться Далее высотам
62. Треугольники с равными сторонами. Вернуться В Отношение площадей А Е₁ В₁ С треугольников с равными сторонами ( с общей стороной) Е равно отношению высот, проведённых к этим сторонам. 63. Треугольники с равными углами. В М Отношение площадей треугольников с равными углами( с общим углом ) А С N равно отношению произведений сторон, заключающих эти углы.
64. Площадь прямоугольника. Вернуться В С d₂ O d₁ α a А D b 65. Площадь параллелограмма. В С d₂ b h d₁ α А D a 66. Площадь ромба. В С d₁ a h d₂ r - радиус вписанной окружности, А a D р – полупериметр ромба. Далее
67. Площадь квадрата. Вернуться В С d Далее a d А a D 68. Площадь трапеции. В a С d₂ M h α N d₁ А b D 69. Соотношения площадей в трапеции. В a С S₁ O S₂ А b D
70. Площадь произвольного четырёхугольника. В С d₂ d₁ α А D 71. Площадь ромбоида. Ромбоидом называется четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны В d₂ А d₁ С D Вернуться
72. Круг и его части. Вернуться О С - длина окружности, D=2 R - диаметр о р ект с α –градусная мера О сектор дуги сектора т сегмент В А О сегмент п
73. Площадь правильного п-угольника через радиус вписанной окружности. А₁ А₂ Аn А₃ a. . . r |n π α =2 А₄ О . . . R . . . r - радиус вписанной Аk+1 Аk окружности, Далее P – периметр. Вернуться
74. Площадь правильного п-угольника через радиус oписанной окружности. А₁ А₂ Аn А₃ a. . . r |n π α =2 А₄ О . . . R . . . Аk+1 Аk. . . R - радиус oписанной окружности. Вернуться
75. Правильный п-угольник. Правильным называется А₁ А₂ п-угольник, стороны и углы Аn А₃ которого равны. a В правильный п-угольник. . . r |n π α =2 А₄ можно вписать и около О него можно описать . . . R окружность с центром в точке пересечения биссектрис его углов. . . . Аk+1 Аk. . . R - радиус oписанной Далее окружности, r-радиус вписанной окружности, а-сторона. Вернуться
76. Частные случаи правильных п-угольников. r О a R О О R r R a a Вернуться
Закрыть