Способы задания плоскостей Тремя точками, не лежащими на одной прямой Σ(АВС) Прямой и точкой вне ее Σ(А; m) Двумя пересекающимися прямыми Σ(k ∩ n) Двумя параллельными прямыми Σ(a║b) Плоской фигурой Σ (∆ABC) Следами Σ (Σ 1 , Σ 2 )
Классификация плоскостей Плоскость общего положения – плоскость наклоненная ко всем плоскостям проекций. Ни на одну из них не проецируется в натуральную величину. Плоскость уровня – плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций. Проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций.
Плоскость общего положения z Z РZ П 2 РX х Р 2 П 3 Р X 0 П 1 Р 3 PX Р 3 РY PZ РY Р 1 y РY Y Y
Плоскость уровня Z z П 2 РZ Р 2 П 3 X 0 П 1 Р 3 Р х PZ Y НВ y Y Р ║П 1 , следовательно: на П 1 – натуральная величина; Р 2 ║П 1 и Р 3 ║П 1
Проецирующая плоскость Z z Р 2 П 3 Р 2 PX Р РX х Р 3 Р 1 γ X 0 П 1 β Р 1 РY Р ┴ П 1, следовательно: Р 2 ┴ П 1 ; Р 3 ┴ П 1 ; y РY РY Y β=<(Р; П 2); γ = <(Р; П 3) Y
Принадлежность прямой плоскости Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат этой плоскости m(m 1, m 2) Є P (a║ b) m 2 A 2 B 2 b 2 a 2 X a 1 A 1 b 1 B 1 m 1
Принадлежность точки плоскости Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в плоскости m 2 b 2 C 2 a 2 12 A 2 11 A 1 Р 2 PX X a 1 X C 1 b 1 m 1 Р 1
Главные линии плоскости Горизонталь (h 2 ║ x, h 1 ║ P 1) C 2 h 2 A 2 C 1 11 h 1 PX X Р 1 B 1 A 1 h 2 Р 2 B 2 X 12
Главные линии плоскости Фронталь (f 1 ║ x, f 2 ║ P 2) f 2 C 2 Р 2 A 2 B 2 X f 2 PX f 1 X C 1 f 1 B 1 A 1 Р 1
Главные линии плоскости Профиль (p 1 ║ y, p 2 ║ z, p 3 ║ P 3) C 2 Z A 2 X Р 3 Р 2 p 2 B 2 p 2 PX p 3 p 1 X C 1 Р 1 B 1 A 1 p 1 PZ РY РY Y Y
Главные линии плоскости Линия ската – линия, перпендикулярная главной линии плоскости (горизонтали, фронтали или профили) – n 1 ┴ h 1 C 2 h 2 A 2 Р 2 n 2 X B 2 C 1 A 1 12 h 1 n 1 B 1 h 2 n 2 PX 11 X Р 1 n 1 h 1
Определение угла наклона плоскости ОП к плоскостям проекций Дано: Р(∆АВС) – ОП Найти: α= (Р; П 1) - ? Алгоритм расчета: 1 Провести линию уровня 2 Провести линию ската 3 Определить НВ линии ската 4 Обозначить искомый угол C 2 A 2 B 2 X C 1 B 1 A 1
h 2 ║ x h 2 → h 1 1 C 12 1 ┴ h 1 21 → 22 2 C 2 12 h 2 A 2 B 2 X C 1 11 h 1 B 1 A 1 22 X C 1 B 2 h 1 B 1 A 1 21
3 2 12 0 ┴ С 12 1, 2 02 1 = ∆ Z C 120 – НВ линии ската 4 α = (С 121; С 120) α – искомый C 2 h 2 A 2 ∆Z B 2 22 C 1 X h 2 A 2 ∆Z h 1 B 2 22 C 1 X h 1 НВ линии ската A 1 20 21 ∆Z B 1 A 1 20 21 B 1
Взаимное положение прямой и плоскости Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости n Є P(∆ABC) n 1 ║ m 1 n 2 ║ m 2 C 2 D 2 m 2 n 2 A 2 B 2 X C 1 n 1 m 1 B 1 A 1 D 1
Взаимное положение прямой и плоскости Прямая перпендикулярна плоскости, если ее фронтальная проекция перпендикулярна f 2, а горизонтальная – перпендикулярна h 1 n ┴ P(∆ABC): f 2 C 2 h 2 A 2 B 2 X h 1 C 1 f 1 n 1 ┴ h 1 n 2 ┴ f 2 n 2 A 1 B 1 n 1
Пересечение прямой с плоскостью частного положения C 2 Дано: Р(∆АВС) – ГПП n(n 1, n 2) – ОП Найти: (·)К=n ∩ P -? n 2 K 2 A 2 p 2 B 2 X B 1 A 1 C 1 K 1 n 1 (·)К Є n : K 1Є n 1; K 2Є n 2 (·)К Є P(ABC) : К 1 Є A 1 B 1 C 1; К 2 Є A 2 B 2 C 2; K 1=n 1 ∩ A 1 B 1 C 1 K 2=n 2 ∩ A 2 B 2 C 2
Пересечение плоскостей частного и общего положения 12 Дано: Р(∆АВС) – ОП Σ(Σ 1) – ГПП Найти: 12 = Р ∩ Σ - ? C 2 A 2 22 X B 2 C 1 11 A 1 B 1 21 Σ 1 1 12 1 = А 1 В 1 С 1 ∩ Σ 1 ; 12 Є Р(АВС), значит 1 22 2 Є А 2 В 2 С 2 12 – искомая линия пересечения
Пересечение прямой с плоскостью ОП Дано: Р(∆АВС) – ОП n (n 1, n 2) – ОП Найти: (·)К= n ∩ P - ? C 2 n 2 A 2 1 2 3 4 Алгоритм решения: Заключить прямую в проецирующую плоскость Найти линию пересечения 2 -х плоскостей Искомая точка лежит на пересечении прямой n и линии пересечения Определить видимость прямой B 2 X C 1 B 1 A 1 n 1
1 2 n(n 1, n 2) Є Σ (Σ 1), ┴ П 1 11 21 = А 1 В 1 С 1 ∩ Σ 1 1121 → 1222 , 1222 – линия пересечения плоскостей К 2 = 1 2 22 ∩ n 2 K 2 → K 1 K – искомая точка n 2 C 2 12 3 C 2 12 К 2 A 2 B 2 22 X X C 1 A 1 C 1 B 1 11 21 n 1 B 2 22 11 Σ 1 A 1 B 1 К 1 21 n 1 Σ 1
Определяем видимость прямой на П 1 Определяем видимость прямой на П 2 C 2 12 К 2 A 2 32Ξ 32’ A 2 12 ’ B 2 22 X 11 X C 1 B 1 К 1 21 n 1 B 2 22 C 1 A 1 К 2 11 Σ 1 A 1 32 ’ B 1 К 1 21 32 n 1 Σ 1
Позиционные и метрические задачи 1 Определение расстояния от точки А(А 1, А 2) до прямой m(m 1 , m 2 ) 1 2 3 Алгоритм решения: Через точку проводим плоскость, перпендикулярную прямой Ищем точку пересечения прямой и плоскости Определяем НВ отрезка m 2 A 2 X A 1 m 1
1 Σ(h ∩ f): f 2 ┴m 2, f 1║x h 1 ┴ m 1 , h 2 ║ x Σ(h ∩ f) ┴ m 2 Є Ω 2 , Ω ┴ П 2 Ω 2 ∩ Σ 2 = 1222, 1222 → 1121 ∩ m 1 =K 1, K 1 →K 2 m 2 A 2 22 h 2 A 2 Σ 2 f 2 X Ω 2 h 2 12 m 2 K 2 21 h 1 f 2 h 1 X Σ 1 f 1 A 1 m 1 K 1 f 1 A 1 11 m 1
НВ отрезка АК A 0 ∆Y 22 Ω 2 h 2 A 2 K 2 12 m 2 21 h 1 f 2 X K 1 A 1 11 3 АК – расстояние от точки А до прямой m ∆Y f 1 m 1 Из ∆А 2 К 2 А 0 : А 2 А 0 = ∆Y (A 1 K 1) A 2 K 2 – проекция АК, значит – А 0 К 2 – НВ АК
Позиционные и метрические задачи 2 1 2 3 Определение расстояния от точки А(А 1, А 2) до плоскости Р(А 1 В 1 С 1, А 2 В 2 С 2) общего положения Алгоритм решения: Через точку проводим прямую, перпендикулярную плоскости Определяем основание перпендикуляра, т. е. точку пересечения прямой и плоскости Находим натуральную величину полученного отрезка C 2 D 2 A 2 B 2 X C 1 B 1 A 1 D 1
D 2 C 2 f 2 n 2 h 2 1 n ┴ P(∆ABC) : n 1┴ h 1; n 2 ┴ f 2 A 2 B 2 X C 1 h 1 f 1 B 1 A 1 n 1 D 1
C 2 22 A 2 Σ 2 n 2 D 2 K 2 B 2 12 X C 1 2 n 2 Є Σ 2, Σ ┴ П 2 12= Σ ∩ Р(АВС); К 1=1121 ∩ n 1 K 1 → K 2 21 (·)K=n ∩ P(ABC) K 1 A 1 B 1 11 n 1 D 1
C 2 n 2 22 A 2 Σ 2 D 0 K 2 НВ КD 12 X C 1 B 2 21 B 1 K 1 A 1 11 n 1 D 1 ∆Y 3 Из ∆К 2 D 2 D 0 : D 2 D 0= ∆Y K 2 D 2 – проекция KD значит – K 2 D 0 – НВ отрезка KD
Позиционные и метрические задачи 3 1 2 3 4 Построить линию пересечения двух плоскостей NM = P ∩ Q - ? Алгоритм решения: Определить точку пересечения прямой, принадлежащей плоскости Р с плоскостью Q. То же самое проделать с другой прямой. Соединить полученные точки – это будет NM Определить видимость плоскостей C 2 D 2 F 2 A 2 E 2 B 2 X C 1 E 1 A 1 B 1 D 1 F 1
Σ 2 C 2 D 2 12 A 2 N 2 F 2 22 E 2 B 2 X 21 C 1 E 1 A 1 B 1 N 1 11 D 1 F 1 1 С 2 В 2 Є Σ 2 ; Σ (Σ 2 ) ┴ П 2 1 22 2 → 1 12 1 N 1=1121 ∩ C 1 B 1 N 1 → N 2
C 2 32 D 2 12 M 2 A 2 42 E 2 N 2 22 B 2 X Θ 1 E 1 21 C 1 B 1 N 1 31 A 1 F 2 M 1 41 11 D 1 F 1 2 E 1 D 1 Є Θ 1 ; Θ (Θ 1 ) ┴ П 1 3 14 1 → 3 24 2 M 2=3242 ∩E 2 D 2 M 2 → M 1
C 2 Линия взгляда 32 A 2 52 12 M 2 D 2 N 2 F 2 22 42 B 2 E 2 X E 1 21 C 1 N 1 51 Ξ 3 1 A 1 M 1 41 11 D 1 B 1 F 1 3 NM – искомая линия пересечения плоскостей 4 Видимость на П 1 : 5, 3 –конкурирующие точки
C 2 32 12Ξ 62 M 2 A 2 N 2 52 D 2 F 2 22 42 B 2 E 2 X 21 C 1 E 1 61 N 1 51 Ξ 3 1 A 1 M 1 41 Линия взгляда 11 D 1 B 1 F 1 Видимость на П 1 : 1, 6 –конкурирующие точки
Скачать презентацию Способы задания плоскостей Тремя точками не лежащими на
Лекция 2_Плоскость.ppt