Способы задания плоскостей Тремя точками, не лежащими на

Способы задания плоскостей Тремя точками, не лежащими на одной прямой Σ(АВС) Прямой и точкой вне ее Σ(А; m) Двумя пересекающимися прямыми Σ(k ∩ n) Двумя параллельными прямыми Σ(a║b) Плоской фигурой Σ (∆ABC) Следами Σ (Σ 1 , Σ 2 )

Классификация плоскостей Плоскость общего положения – плоскость наклоненная ко всем плоскостям проекций. Ни на одну из них не проецируется в натуральную величину. Плоскость уровня – плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций. Проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций.

Плоскость общего положения z Z PZ П 2 РZ Р 2 Р 2 Р 3 П 3 PX Р 3 РX X РY Y 0 Р 1 х РY П 1 Р 1 y Y

Плоскость уровня Z z PZ П 2 Р 2 Р 3 Р 2 РZ П 3 Р 3 Р X Y 0 НВ х П 1 y Y Р ║П 1 , следовательно: на П 1 – натуральная величина; Р 2 ║П 1 и Р 3 ║П 1

Проецирующая плоскость z Z Р 2 П 2 Р 3 П 3 Р 2 β PX Р Р 3 X γ Y РX РY 0 Р 1 х П 1 Р 1 РY y Y Р ┴ П 1, следовательно: Р 2 ┴ П 1 ; Р 3 ┴ П 1 ; β=<(Р; П 2); γ = <(Р; П 3)

Принадлежность прямой плоскости Прямая A 2 m 2 принадлежит B 2 b 2 плоскости, если a 2 две ее точки принадлежат этой плоскости X a 1 A 1 m(m 1, m 2) Є P (a║ b) b 1 B 1 m 1

Принадлежность точки плоскости Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в плоскости m 2 C 2 b 2 12 A 2 a 2 Р 2 PX X a 1 11 A 1 X C 1 Р 1 b 1 m 1

Главные линии плоскости Горизонталь (h 2 ║ x, h 1 ║ P 1) C 2 h 2 A 2 12 h 2 Р 2 B 2 PX X 11 h 1 C 1 h 1 X Р 1 B 1 A 1

Главные линии плоскости Фронталь (f 1 ║ x, f 2 ║ P 2) C 2 f 2 Р 2 A 2 f 2 B 2 PX X f 1 C 1 f 1 B 1 Р 1 A 1

Главные линии плоскости Профиль (p 1 ║ y, p 2 ║ z, p 3 ║ P 3) C 2 Z PZ A 2 Р 3 Р 2 p 2 B 2 PX p 3 X X p 1 Y C 1 РY Р 1 РY B 1 p 1 Y A 1

Главные линии плоскости Линия ската – линия, перпендикулярная главной линии плоскости (горизонтали, фронтали или профили) – n 1 ┴ h 1 C 2 h 2 A 2 12 Р 2 n 2 h 2 n 2 B 2 PX 11 X C 1 X h 1 Р 1 n 1 h 1 B 1 n 1 A 1

Определение угла наклона плоскости ОП к плоскостям проекций Дано: Р(∆АВС) – ОП C 2 Найти: α= (Р; П 1) - ? A 2 Алгоритм расчета: B 2 1 Провести линию уровня 2 Провести линию ската X C 1 3 Определить НВ линии ската B 1 4 Обозначить искомый A 1 угол

1 h 2 ║ x 2 C 12 1 ┴ h 1 h 2 → h 1 21 → 22 C 2 12 h 2 h 2 A 2 B 2 22 X C 1 X C 1 h 1 11 h 1 B 1 A 1 21 A 1

3 2 12 0 ┴ С 12 1, 4 α = (С 121; С 120) 2 02 1 = ∆ Z α – искомый C 120 – НВ линии ската C 2 A 2 h 2 ∆Z B 2 22 X C 1 h 1 НВ линии ската B 1 A 1 21 20 ∆Z 20

Взаимное положение прямой и плоскости Прямая C 2 параллельна D 2 плоскости, m 2 n 2 если она A 2 параллельна какой-либо B 2 прямой, лежащей в X C 1 n 1 плоскости m 1 n Є P(∆ABC) B 1 D 1 n 1 ║ m 1 A 1 n 2 ║ m 2

Взаимное положение прямой и плоскости Прямая перпендикулярна C 2 плоскости, если ее f 2 n 2 фронтальная h 2 A 2 проекция перпендикулярна f 2, B 2 а горизонтальная – перпендикулярна h 1 X h 1 C 1 n ┴ P(∆ABC): f 1 B 1 n 1 ┴ h 1 n 2 ┴ f 2 A 1 n 1

Пересечение прямой с плоскостью частного положения n 2 Дано: Р(∆АВС) – ГПП C 2 n(n 1, n 2) – ОП K 2 Найти: (·)К=n ∩ P -? A 2 p 2 B 2 (·)К Є n : K 1Є n 1; K 2Є n 2 (·)К Є P(ABC) : X B 1 К 1 Є A 1 B 1 C 1; К 2 Є A 2 B 2 C 2; K 1=n 1 ∩ A 1 B 1 C 1 K 1 n 1 K 2=n 2 ∩ A 2 B 2 C 2 A 1

Пересечение плоскостей частного и общего положения 12 Дано: Р(∆АВС) – ОП C 2 Σ(Σ 1) – ГПП A 2 Найти: 12 = Р ∩ Σ - ? B 2 22 1 12 1 = А 1 В 1 С 1 ∩ Σ 1 ; X C 1 12 Є Р(АВС), значит 1 22 2 Є А 2 В 2 С 2 11 B 1 12 – искомая линия A 1 21 пересечения Σ 1

Пересечение прямой с плоскостью ОП Дано: Р(∆АВС) – ОП n 2 C 2 n (n 1, n 2) – ОП Найти: (·)К= n ∩ P - ? A 2 Алгоритм решения: B 2 1 Заключить прямую в проецирующую плоскость 2 Найти линию пересечения 2 X C 1 -х плоскостей 3 Искомая точка лежит на пересечении прямой n и B 1 линии пересечения A 1 n 1 4 Определить видимость прямой

1 n(n 1, n 2) Є Σ (Σ 1), ┴ П 1 3 К 2 = 1 2 22 ∩ n 2 2 11 21 = А 1 В 1 С 1 ∩ Σ 1 K 2 → K 1 1121 → 1222 , K – искомая точка 1222 – линия пересечения плоскостей n 2 12 C 2 К 2 A 2 22 B 2 22 X C 1 B 1 11 К 1 21 Σ 1 A 1 n 1 A 1 n 1

Определяем видимость прямой на П 1 прямой на П 2 C 2 12 К 2 32Ξ 32’ A 2 A 2 12 ’ 22 B 2 22 B 2 X C 1 X C 1 32 ’ B 1 11 К 1 11 К 1 21 Σ 1 21 n 1 Σ 1 A 1 n 1 A 1 32

Позиционные и метрические задачи 1 Определение расстояния от m 2 точки А(А 1, А 2) до прямой A 2 m(m 1 , m 2 ) Алгоритм решения: 1 Через точку проводим плоскость, перпендикулярную прямой X 2 Ищем точку пересечения прямой и плоскости 3 Определяем НВ отрезка A 1 m 1

1 Σ(h ∩ f): f 2 ┴m 2, f 1║x 2 m 2 Є Ω 2 , Ω ┴ П 2 h 1 ┴ m 1 , h 2 ║ x Ω 2 ∩ Σ 2 = 1222, 1222 → 1121 Σ(h ∩ f) ┴ m 1121 ∩ m 1 =K 1, K 1 →K 2 Ω 2 m 2 22 A 2 h 2 A 2 h 2 Σ 2 12 K 2 21 h 1 m 2 f 2 h 1 X Σ 1 X K 1 f 1 A 1 m 1 11 m 1

НВ отрезка АК A 0 Ω 2 ∆Y 22 A 2 h 2 3 АК – расстояние от точки А до K 2 21 прямой m m 2 12 h 1 f 2 Из ∆А 2 К 2 А 0 : X А 2 А 0 = ∆Y (A 1 K 1) A 2 K 2 – проекция АК, ∆Y значит – K 1 f 1 А 0 К 2 – НВ АК A 1 11 m 1

Позиционные и метрические задачи 2 Определение расстояния от C 2 D 2 точки А(А 1, А 2) до плоскости Р(А 1 В 1 С 1, А 2 В 2 С 2) общего положения A 2 Алгоритм решения: 1 Через точку проводим B 2 прямую, перпендикулярную плоскости 2 Определяем основание X перпендикуляра, т. е. точку C 1 пересечения прямой и плоскости 3 Находим натуральную B 1 величину полученного A 1 отрезка D 1

C 2 D 2 f 2 n 2 h 2 A 2 1 n ┴ P(∆ABC) : n 1┴ h 1; n 2 ┴ f 2 B 2 X C 1 h 1 f 1 B 1 A 1 n 1 D 1

C 2 Σ 2 n 2 22 D 2 2 n 2 Є Σ 2, Σ ┴ П 2 A 2 K 2 12= Σ ∩ Р(АВС); 12 B 2 К 1=1121 ∩ n 1 K 1 → K 2 X C 1 21 (·)K=n ∩ P(ABC) K 1 B 1 A 1 11 n 1 D 1

C 2 Σ 2 n 2 D 2 22 D 0 A 2 K 2 НВ КD 12 B 2 3 Из ∆К 2 D 2 D 0 : D 2 D 0= ∆Y X C 1 21 K 2 D 2 – проекция KD B 1 значит – K 1 ∆Y K 2 D 0 – НВ отрезка A 1 11 n 1 KD D 1

Позиционные и метрические задачи 3 Построить линию C 2 пересечения двух D 2 плоскостей NM = P ∩ Q - ? A 2 F 2 Алгоритм решения: 1 Определить точку E 2 пересечения прямой, B 2 принадлежащей плоскости Р с плоскостью Q. X C 1 2 То же самое проделать с другой прямой. E 1 B 1 F 1 3 Соединить полученные точки – это будет NM 4 Определить видимость A 1 плоскостей D 1

Σ 2 C 2 D 2 12 1 С 2 В 2 Є Σ 2 ; A 2 F 2 N 2 22 Σ (Σ 2 ) ┴ П 2 E 2 1 22 2 → 1 12 1 B 2 N 1=1121 ∩ C 1 B 1 X 21 N 1 → N 2 C 1 F 1 E 1 N 1 B 1 A 1 11 D 1

C 2 32 D 2 12 2 E 1 D 1 Є Θ 1 ; M 2 A 2 N 2 22 F 2 Θ (Θ 1 ) ┴ П 1 E 2 42 3 14 1 → 3 24 2 X B 2 M 2=3242 ∩E 2 D 2 Θ 1 C 1 21 M 2 → M 1 E 1 F 1 N 1 B 1 31 M 1 A 1 41 11 D 1

C 2 Линия взгляда 32 D 2 12 A 2 M 2 N 2 F 2 52 3 NM – искомая 42 22 линия E 2 B 2 пересечения X плоскостей C 1 21 4 Видимость E 1 F 1 на П 1 : N 1 B 1 51 Ξ 3 1 5, 3 –конкурирую- M 1 A 1 щие точки 41 11 D 1

C 2 32 12Ξ 62 D 2 A 2 M 2 N 2 22 F 2 Видимость 52 42 на П 1 : B 2 E 2 1, 6 –конкурирую- X щие точки 21 E 1 C 1 61 F 1 N 1 B 1 51 Ξ 3 1 M 1 A 1 41 11 Линия D 1 взгляда