Способы задания отношений Какими свойствами обладают следующие

Способы задания отношений

Какими свойствами обладают следующие отношения? R 1: x является столицей страны y R 2: x находится на территории y R 3: x является частью y R 4: x является студентом ВУЗа y R 5: x является преподавателем y R 6: слово x можно составить из букв слова y R 7: человек x такого же роста, как и человек y

Функция f есть бинарное отношение, заданное на множестве X Y) (т. е. множество упорядоченных пар <x, y> X Y), такое, что для любого x X существует единственный элемент y Y такой, что <x, y> f. Множество X называется областью определения функции f , а множество Y – областью значений функции f. Обозначение: f(x)=y, х – независимая переменная (или аргумент), y – зависимая переменная.

Функция с областью определения D и областью значений R

Какие из следующих отношений являются функциями? y=f(x) ’y - отец х‘, y=f(x) ’y=сын х‘, y=f(x) ’y=дедушка х со стороны матери, ‘ y=f(x) ’y=старшая дочь х‘ Укажите области определения и области значений этих функций

Два множества А и В, на первом из которых задано отношение R, а на втором – S называются изоморфными, если существует взаимно-однозначная функция f с областью определения А и областью значений В, сохраняющая отношение, то есть 1) для любых х, у А, связанных отношением R, соответствующие им элементы из В связаны отношением S, 2) и наоборот: для любых g, h В, связанных отношением S, соответствующие им элементы из А связаны отношением R.

Примеры: 1. Местность и карта этой местности, на которых заданы отношения «река х вдвое длиннее реки y» или «город х в два раза ближе к морскому побережью, чем город y» изоморфны. 2. Рассмотрим два варианта одной и той же мелодии, второй из которых получился в результате переноса первоначальной мелодии на октаву выше. Какой изоморфизм можно задать на множествах нот, составляющих эти две мелодии?

Матричный способ задания бинарного отношения Матрица – прямоугольная таблица, составленная из элементов некоторого множества. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то говорят, что она имеет размеры m n. Матрица размера n n называется квадратной.

), Пусть М – множество мощности n, R – заданное на М бинарное отношение Перенумеруем элементы М посредством целых чисел от 1 до n. Построим квадратную таблицу с n строками и n столбцами.

Пусть х, у М и х – элемент с номером i, у – элемент с номером j Построим матрицу, задающую отношение R. На пересечении i-й строки и j-го столбца поставим 1, если соотношение х. Rу выполнено, и 0, если соотношение х. Rу не выполнено. i-ая строка и i-ый столбец будут характеризовать i-й элемент множества М

Матрица для множества из четырёх элементов а 11 а 12 а 13 а 14 а 21 а 22 а 23 а 24 а 31 а 32 а 33 а 34 а 41 а 42 а 43 а 44

Пример. М={Россия, США, Франция, Англия} Перенумеруем эти элементы в том порядке, в каком они здесь записаны. Рассмотрим отношения: х. R 1 у: х больше у по площади, х. R 2 у: х больше у по численности населения, х. R 3 у: х больше у по плотности населения

Матрица отношения R 1 Россия США Франция Англия Россия 0 1 1 1 США 0 0 1 1 Франция 0 0 0 1 Англия 0 0

Матрица отношения R 2 Россия США Франция Англия Россия 0 0 1 1 США 1 0 1 1 Франция 0 0 0 1 Англия 0 0

Матрица отношения R 3 Россия США Франция Англия Россия 0 0 США 1 0 0 0 Франция 1 1 0 0 Англия 1 1 1 0

Задание бинарного отношения в виде графа Пусть М – конечное множество. Изобразим элементы множества М в виде точек плоскости. Если х, у М, х у и х. Rу, то проведём стрелку от х к у. Если х М и х. Rx, то нарисуем петлю, выходящую из х и входящую в ту же точку.

Получившаяся геометрическая фигура называется ориентированным графом Точки, соответствующие элементам множества М, называются вершинами (узлами), соединяющие их линии – дугами

Пример. Пятеро молодых людей при встрече обменялись рукопожатиями (каждый с каждым пожали другу руки один раз). Сколько всего рукопожатий было сделано? Пусть S - отношение «обменяться рукопожатиями» . Какими свойствами это отношение обладает?

Если отношение симметрично (для любых х, у выполняются отношения х. Rу и у. Rх), то иногда удобнее вместо стрелок использовать линии. Такой граф называется неориентированным. В неориентированном графе линии, соединяющие вершины, называют рёбрами

Примеры графов

Ориентированные графы с тремя вершинами

Неориентированные графы с четырьмя вершинами

Помеченные и непомеченные графы

Граф и два его подграфа

Путь от вершины х к вершине у - это такая последовательность рёбер, по которой можно перейти от х к у. При этом никакое ребро маршрута не встречается более одного раза. Вершина х называется начальной вершиной пути, вершина у — конечной вершиной. Количество рёбер, составляющих путь, называют расстоянием между вершинами х и у

Две вершины графа связаны, если в графе существует путь, в котором одна из этих вершин является начальной, а другая – конечной. Если такого пути не существует, вершины не связаны.

Граф называется связным, если любые две его вершины связаны.

Несвязный граф с 10 -ю компонентами

Цикл - путь, в котором начальная вершина совпадает с конечной. Граф Кёнигсбергских мостов

«Вокруг света»

Деревом называется любой связный граф, не имеющий циклов. Дерево может быть ориентированным или неориентированным

Вершина ориентированного дерева, в которую не входит ни одна дуга, называется корнем дерева Вершины ориентированного дерева, у которых нет выходящих дуг, называются висячими (или терминальными) вершинами или листьями.

Неориентированное дерево Ориентированное дерево

Двоичное (бинарное) дерево

Фрагмент родословного древа классификации индоевропейских языков

Есть ли среди этих графов одинаковые? А. В.

Генеалогическое древо английских королей

Задача о ходе коня (Л. Эйлер) Маршрут, найденный шахматным автоматом.

Сколько нужно красок для раски любой географической карты, при которой соседние страны раскрашены в разные цвета? Проблема четырёх красок