Способ вспомогательных секущих сфер Концентрические сферические посредники. Данный способ применяется когда оси поверхностей вращения пересекаются и параллельны какой-либо плоскости проекций. Центр сфер – посредников берется в точке пересечения осей поверхностей вращения. Сферы пересекают поверхности вращения по окружностям. Эти окружности проецируются на одной плоскости проекций в виде окружностей, на другой плоскости проекций в виде отрезков прямых, перпендикулярных оси вращения.
Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка. Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, декартовы координаты, которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени. Две поверхности второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной линии четвертого порядка, которую называют биквадратной кривой. В некоторых случаях биквадратная кривая распадается на две плоские кривые второго порядка.
Теорема 1. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то существует и другая плоская кривая, по которой они пересекаются.
Теорема 2. (о двойном касании). Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках А и В, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Сфера и эллиптический цилиндр пересекаются по двум окружностям m и n . Точки касания и касательные плоскости обозначены соответственно А, В, α, β. Окружности, на которые распалась линия пересечения поверхностей, расположены во фронтально- проецирующих плоскостях γ и δ.
Теорема 3. (теорема Г. Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны вокруг общей сферы или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка.
Частные случаи пересечения поверхностей
Развертка цилиндрической поверхности. Выполняется аналогично развертке призмы. В цилиндр вписывают n-угольную призму. Чем больше углов в призме, тем точнее развертка.
Развертка конической поверхности. Выполняется аналогично развертке пирамиды, предварительно вписав данный в конус n-угольную пирамиду.
Проекции с числовыми отметками. Для изображения участков земной поверхности с различными сооружениями на ней: дорогами, плотинами, каналами строительными сооружениями применяется − метод с числовыми отметками. Теоретическое обоснование данный метод получил в XIX веке благодаря французскому военному инженеру – капитану Нуазе (1823 г. ).
В проекциях с числовыми отметками плоскость проекций называют плоскостью нулевого уровня П 0. На плоскость П 0 ортогонально проецируют точку и вместе с проекцией точки задают ее расстояние до плоскости П 0. Это расстояние называют числовой отметкой точки и задают в метрах с двумя десятичными знаками после запятой. Перед числовой отметкой ставят знак минус, если точка расположена ниже плоскости нулевого уровня. Плоскость нулевого уровня расположена горизонтально. На плане указывают линейный масштаб и дают ориентацию относительно сторон света.
Определение величины отрезка прямой и угла его наклона к нулевой плоскости. Эта метрическая задача решается методом совмещения. Проецирующую плоскость совмещаем с П 0 вращением вокруг проекции А 6 В 2 заданного отрезка АВ. При этом прямая совмещается с плоскостью нулевого уровня - А'В'.
Алгоритм решения задачи: 1. Перпендикулярно проекции отрезка из его вершин откладываем отрезки, соответствующие их высотам. 2. Отрезок, соединяющий полученные точки, равен натуральной величине данного отрезка, а угол a равен истинной величине угла наклона отрезка прямой к нулевой плоскости.
Интервал и уклон прямой. Длина проекции отрезка прямой называется его заложением - L. Разность расстояний концов отрезка до плоскости П 0 называется превышением - Н. Отношение превышения к заложению называется уклоном - i =H/L. Если превышение равно единице (Н=1), то соответствующее ему заложение называется интервалом - l (i=1/l).
Прямую линию в проекциях с числовыми отметками можно задать направлением ее проекции с проекцией одной точки и интервалом или уклоном.
Градуирование прямой. Определение точек прямой с отметками, выраженными целыми числами и отличающимися друг от друга на единицу длины. От конца отрезка откладывают, перпендикулярно к нему, значения разности отметок и проводят графическое градуирование.
Если концы отрезков имеют разные знаки. Построения отличаются лишь тем, что отметки начала и конца отрезка откладываются в противоположные стороны.
Определение взаимного положения отрезков. Отрезки могут пересекаться, скрещиваться и быть параллельны. Чтобы определить, пересекаются или скрещиваются отрезки, достаточно их проградуировать и определить отметки конкурирующих точек, если отметки этих точек одинаковы, то отрезки пересекаются. Если отметки конкурирующих точек различны , то отрезки скрещиваются.
Выяснение параллельности прямых сводится к проверке следующих условий: а) заложения отрезков параллельны между собой; б) направления возрастания и убывания отметок одинаковы; в) интервалы (уклоны) отрезков одинаковы. Отрезки A 4 B 10 и C 8 D 14 параллельны, интервал ℓAB равен интервалу ℓCD, так условия параллельности этих прямых выполнены.
Плоскость в проекциях с числовыми отметками задается градуированной линией наибольшего ската, которая называется масштабом уклона плоскости. Плоскость γi проходит под углом α к плоскости П 0. Плоскость представлена масштабом уклона, который обозначается двумя параллельными линиями, утолщенной и тонкой, и горизонталями плоскости. Горизонталь представляет из себя линию уровня, лежащую в плоскости и параллельную горизонтальной плоскости проекции, ее точки имеют одинаковые отметки. Горизонтали проводятся по всей поверхности с постоянным шагом по высоте.
Определение принадлежности прямой и точки к плоскости. Дана прямая A 4. 4 B 7. 2 и плоскость Pi. Для решения вопроса о принадлежности данной прямой к плоскости Pi продлим ее до пересечения с горизонталями плоскости. Предположив, что прямая принадлежит плоскости, имеем точки пересечения M и N с отметками 3 и 8 соответственно. Выполнив операцию градуировки прямой M 3 N 8, можно видеть, что отметки точек A и B, полученные в соответствии с данной градуировкой, совпадают с заданными, а это значит, что прямая A 4. 4 B 7. 2 принадлежит плоскости Pi. Для решения вопроса о принадлежности к плоскости точки, проводят через эту точку прямую лежащую в данной плоскости. Градуируя прямую, определяют отметку точки прямой совпадающей с заданной точкой. Если отметки точек совпадают, точка принадлежит плоскости.
Построение линии пересечения плоскостей в проекциях с числовыми отметками. Рассмотрим общий случай, когда масштабы уклона не параллельны. Для решения такой задачи достаточно провести горизонтали заданных плоскостей. Отметив точки пересечения горизонталей с одинаковыми отметками, убедимся, что они лежат на одной прямой. Данная прямая и является линией пересечения плоскостей.
Иначе обстоит дело в том случае, когда масштабы уклона рассматриваемых плоскостей параллельны. В этом случае, соединив на масштабах уклона прямыми произвольные пары точек с одинаковыми отметками, отметим точку их пересечения. Линия пересечения плоскостей также проходит через эту точку перпендикулярно масштабам уклона плоскостей.
Определение параллельности плоскостей. При определении параллельности плоскостей их параметры проверяют на соответствие следующим признакам: а) масштабы уклона параллельны; б) уклоны плоскостей равны; в) направления спуска одинаковы; Таким признакам заданные плоскости удовлетворяют и, следовательно, параллельны.
Определение точки пересечения прямой и плоскости. Дана плоскость αi и прямая A 13 B 9, требуется найти точку их пересечения. Для решения задачи предварительно проградуируем прямую.
Затем заключим ее в плоскость общего положения, для чего проведем горизонтали этой плоскости через произвольные отметки прямой. Найдя точки пересечения горизонталей плоскости общего положения и горизонталей заданной плоскости αi, определим точки через которые проходит линия пересечения плоскостей. В точке пересечения этой линии с заданной прямой A 13 B 9 находится искомая точка K пересечения прямой и плоскости. Какая часть прямой является видимой, а какая нет, определяем по соотношению отметок горизонталей плоскости αi и отметок точек A и B. Отметка точки A(13) находится между 11 и 12 горизонталями плоскости, следовательно, лежит выше плоскости и часть прямой от точки A 13 до точки К является видимой.
Поверхность в проекциях с числовыми отметками задаются своими горизонталями. Горизонтали поверхности можно представить как линии сечения этих поверхностей горизонтальными плоскостями, проведенными с постоянным шагом. Построение таких горизонталей является задачей градуировки поверхности. Линия ската применительно к поверхностям обычно рассматривается для конкретной точки и проводится перпендикулярно горизонталям, проходящим через нее.
Прямой конус. Сечения конической поверхности горизонтальными плоскостями дадут ряд окружностей. В случае прямого конуса, проецируя их на горизонтальную плоскость, получаем ряд концентрических окружностей. Линию наибольшего ската для прямого конуса можно получить, проградуировав образующую конуса.
Конус наклонный. Центры окружностей, получаемых при его рассечении параллельными плоскостями, не лежат на одной вертикальной оси. Для градуирования наклонного конуса градуируют его самую длинную и самую короткую образующую. Находят на образующих точки с одинаковыми отметками, они отмечают диаметр окружности являющейся горизонталью. Для отыскания центра этой окружности можно воспользоваться делением отрезка (диаметра) на две равные части или провести ось вертикальной проекции конуса, которой эти центры окружностей принадлежат.
Цилиндрическая поверхность Если ось цилиндра горизонтальна, то задача градуирования поверхности сводится к отысканию образующих, отметки которых выражены целыми числами. Для этого строим вертикальную проекцию цилиндра. Проградуировав ее по высоте, проведем вертикальные проекции горизонтальных плоскостей. Отметим точки их пересечения с вертикальной проекцией цилиндра и перенесем на проекцию с числовыми отметками проекции искомых образующих. Линия ската для любой точки такой поверхности представляет собой дугу окружности.
Сферическая поверхность Строится вертикальная проекция сферы, градуируется ее вертикальная ось, находятся точки пересечения вертикальных проекций горизонтальных плоскостей с вертикальной проекцией сферы. Затем на фронтальной проекции сферы отмечают радиусы окружностей, которые отсекают горизонтальные плоскости на поверхности сферы. Этими радиусами проводят искомые окружности являющимися горизонталями сферы на проекции с числовыми отметками. Линия ската для любой точки сферической поверхности представляет собой дугу окружности.
Скачать презентацию Способ вспомогательных секущих сфер Концентрические сферические посредники Данный
тема6-19-11-2012-НГ.ppt