Список рекомендуемой литературы 1 А Н Тихонов А

Список рекомендуемой литературы 1. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения математической физики. Гос. изд-во техникотеоретической литературы. 1951. 2. Р. Курант, Д. Гильберт. Методы математической физики. М. : ГТТИ, 1951. Т. 1, 2. 3. Дж. Мэтьюз, Р. Уокер. Математические методы физики. М. : Атомиздат, 1972. 4. Я. Б. Зельдович, А. Д. Мышкис. Элементы математической физики. М. : Наука, 1973. 5. Д. Поттер. Вычислительные методы в физике. М. : Мир, 1975. 6. Е. И. Несис. Методы математической физики. М. : Просвещение, 1977. Н. Н. Калиткин. Численные методы. М. : Наука, 1978. Р. Рихтмайер. Принципы современной математической физики. М. : МИР, 1982. Т. 1, 2. 9. В. Я. Арсенин. Методы матфизики и спецфункции. М. : Наука, 1984. 10. Э. Маделунг. Математический аппарат физики. М. : Наука, 1984. 11. А. А. Самарский, А. В. Гулин. Численные методы. -М. : Наука, 1989. 12. В. Г. Багров, В. В. Белов, В. Н. Задорожный, А. Ю. Трифонов. Методы математической физики. Томск: НТЛ, 2002. 13. А. А. Самарский, А. В. Гулин. Численные методы математической физики. М. : Научный мир, 2003. 14. А. А. Самарский, А. П. Михайлов. Математическое моделирование. М. : Физматлит, 2005. 15. А. А. Самарский. Введение в численные методы. М. : Лань, 2005.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Метод прогонки применяется, когда система уравнений имеет трехдиагональный вид (1) Систему (1) лучше записать в виде: (2) Метод прогонки состоит из двух этапов Прямой ход. Устанавливается связь : (3) Величины Pi и Qi - прогоночные коэффициенты. Из уравнения (2) для i=1 следует, что

Подставляя (3) в (2), можно получить следующие рекуррентные соотношения: (4) Используя их, можно найти все Pi и Qi вплоть до Pn и Qn. Значит Следовательно, формально можно положить Обратный ход. Отыскав xn, с помощью (3) можно найти по очереди все xi с меньшими номерами и, таким образом, решить систему (1). В то время, как при решении системы уравнений методом Гаусса требуется произвести порядка n 3 арифметических операций, метод прогонки для системы вида (1) требует выполнения лишь порядка n операций.

Метод LU-разложения (факторизация) Представим систему уравнений в следующем виде: Решение СЛАУ находится в 2 этапа: 1 -й шаг: 2 -й шаг: Рассмотрим подробнее использование метода на примере системы 3 -х уравнений с 3 -мя неизвестными: Матрица системы может быть представлена в виде произведения двух (нижней L и верхней U) треугольных матриц:

Пусть исходная матрица представлена в форме (1) Тогда выражения для определения элементов матриц L и U будут иметь следующий вид: Таким образом, элементы матриц L и U можно выразить через элементы исходной матрицы A:

В качестве конкретного примера возьмем систему трех уравнений: Тогда матрицы A, L и U примут следующий вид: Далее, решая систему уравнений Из решения системы находим вектор z: находим корни исходной системы (компоненты вектора x):

Итерационные методы решения СЛАУ Якоби и Зейделя Пусть матрица A имеет обратную матрицу, тогда для построения итерационных методов предварительно преобразуем систему (1) к виду: При этом предполагается, что все aii 0. Условимся считать значение суммы равным нулю, если верхний предел суммирования меньше нижнего. Так уравнение (2) при i=1 имеет вид: В дальнейшем верхний индекс будет указывать номер итерации, например xn=(x 1 n, x 2 n, …, xmn), где xin – n-ая итерация j-й компоненты вектора x. В методе Якоби исходят из записи системы в виде (2), причем итерации определяются следующим образом: Начальные значения xi 0 задаются произвольно. Окончание итераций определяется либо заданием максимального числа итераций n 0, либо условием:

Итерационный метод Зейделя имеет вид: Чтобы понять, как находятся отсюда значения xin+1, запишем подробнее первые 2 уравнения системы (4): Первая компонента вектора x 1 n+1 находится из уравнения (5) явным образом, для ее вычисления нужно знать вектор xn и значение b 1. При нахождении x 2 n+1 из уравнения (6) используются только что найденное значение x 1 n+1 и известные значения xjn с предыдущей итерации. Таким образом, компоненты xin+1 вектора xn+1 находятся из уравнения (4) последовательно, начиная с i=1.

Математические методы моделирования физических процессов z U=U(x, y, z), r r M(x, y, z) y x Математическая задача, имеющая своей целью описать конкретный физический процесс или явление должна удовлетворять следующим условиям: –решение должно существовать; –решение должно быть единственным; –решение должно быть устойчивым (непрерывно зависеть от параметров задачи, т. е. малое изменение параметров может вызвать малые изменения условий)

Системы координат, используемые при численном моделировании z z M(x, y, z) r r y M(r, , z) y x x (б) Цилиндрическая система координат (а) Прямоугольная (декартова) система координат z r r M(r, , ) y x (в) Сферическая система координат

Дифференциальные операторы Скалярный оператор Лапласа а) в декартовых координатах: б) в цилиндрических координатах: в) в сферических координатах: Градиент а) в декартовых координатах: б) в цилиндрических координатах: в) в сферических координатах: 2 U= div (grad U)

Дивергенция (расхождение) а) в декартовых координатах: б) в цилиндрических координатах: в) в сферических координатах: Ротор (вихрь) а) в декартовых координатах: б) в цилиндрических координатах: в) в сферических координатах:

Основные тождества дифференциальных операторов

Классификация уравнений в частных производных 2 -го порядка Общий вид уравнений с частными производными (1) - квадратичная форма, связанная с (1) - определитель квадратичной формы Если aik=aki=f(x 1, x 2, …, xn) - g и изменяются в пространстве от точки к точке. Если aik= const - g и одинаковы во всей рассматриваемой области

Форма g – определенная (знакоопределенная), если она сохраняет свой знак при любых значениях Xi и Xk. Если g меняет знак, то такая форма называется неопределенной Если g имеет определенную форму при 0, то имеем дело с уравнением эллиптического типа. Обычно это статические состояния или стационарные процессы (уравнение Лапласа) 1. Если g имеет неопределенную форму при 0 - уравнение гиперболического типа (волновые или колебательные процессы – волновое уравнение) 2. При =0 - уравнение параболического типа (процессы, связанные с явлением переноса) Уравнения разных типов описывают разные явления и процессы в природе. При решении приближенных задач с помощью ЭВМ разные типы уравнений требуют разных подходов. Основные уравнения математической физики Волновое уравнение Уравнение теплопроводности Уравнение Пуассона c – скорость распространения волны в среде, м/с a – коэффициент теплопереноса среды, м 2/с

Примеры определения типов уравнений 1. Уравнение Пуассона – определенная форма эллиптический тип 2. Волновое уравнение – неопределенная форма гиперболический тип 3. Уравнение теплопроводности – определенная форма параболический тип Тип уравнения определяется старшими производными!

Классификация задач математической физики 3 типа задач: 1. С граничными условиями (нет зависимых условий) – краевые или граничные задачи. 2. С начальными условиями (нет граничных условий) – задача Коши. 3. С граничными и начальными условиями – смешанная задача. 1. При постановке граничных задач различают 3 типа граничных условий z S D Пусть D – некоторая конечная область в пространстве (x, y, z), ограниченная гладкой поверхностью S. Точки: M D, P S. M P x y Пусть уравнение U=0 справедливо в области D

1. 1. Задача Дирихле f (P) - непрерывная функция, 1. 2. Задача Неймана Условие разрешимости задачи Неймана: (производная на границе может принимать как положительные, так и отрицательные значения) 1. 3. Смешанная краевая задача 2. Задача Коши встречается при рассмотрении процессов в неограниченном пространстве (уравнения гиперболического или параболического типов). 3. Примером смешанных задач могут служить задачи о колебаниях струны или мембраны.

Методы решения задач математической физики 1. 2. Численные (алгоритмические) методы (конечно-разностные методы, метод конечных элементов) Аналитические методы (метод Фурье). Метод конечных разностей 1. Конечно-разностные сетки x x 1 x 2 x 3 xi-1 xi xi+1 xn-1 xn (а) (б) (в) Рис. 1. Координатные сетки: а – одномерная; б – двухмерная; в - трехмерная

2. Сеточные функции, конечные разности и шаблоны

правые разности: левые разности: центральные разности: xi, yj, zk – конечные разности координат, определяемые выражениями:

Производные второго порядка аппроксимируются следующим образом: В случае равномерной сетки эти выражения принимают более простой вид:

Аппроксимирующие выражения для смешанных производных могут быть получены следующим образом: Аналогичным образом могут быть получены аппроксимирующие выражения для производных более высоких порядков Для наглядного представления аппроксимаций частных производных используют шаблоны. Шаблон представляет собой граф, символически отображающий участок сетки, на котором производится аппроксимация функций и их производных. Вершины графа символизируют точки сетки с индексами (i, j, k), (i± 1, j± 1, k± 1), (i± 2, j± 2, k± 2) и т. д. в зависимости от вида аппроксимирующих выражений и изображаются, как правило в виде кругов, внутри которых указываются коэффициенты слагаемых числителя выражения.

Например, для правой разности: i+1 i i-1 1 -1 0 вычислительный шаблон имеет вид: для левой разности: i+1 i i-1 0 1 -1 для аппроксимации второй производной: i+1, j, k i-1, j, k 1 -2 1 для аппроксимации смешанной производной второго порядка : i+1, j+1, k i, j+1, k 1 -1 -1 1 i+1, j, k i, j, k

Метод кратного преобразования Фурье для решения уравнения Пуассона Собственные вектора и собственные значения оператора Лапласа Рассмотрим пятиточечную разностную аппроксимацию уравнения Пуассона в двумерной декартовой системе координат: при 0 < i < I и 0 < j < J, где ij и ij – заданное распределение источников и неизвестный потенциал соответственно. Обозначим пятиточечный оператор в левой части символом P. Сначала без рассмотрения граничных условий покажем, что двойная фурье-гармоника При целых k и l является собственным вектором оператора P: (4)

Последнее равенство в (4) получено с использованием формулы для суммы двух синусов. Преобразуя правую часть, получаем Это и есть уравнение для собственных векторов, причем собственному вектору sij(k, l) отвечает собственное значение Таким образом, мы можем решать уравнение Пуассона (1) отдельно для каждого собственного вектора оператора P. Поэтому метод двойного преобразования Фурье для решения уравнения Пуассона содержит пять шагов. Сначала заданное распределение источников i, j раскладывается в ряд Фурье по одной из координат – вдоль каждого столбца разностной сетки i. Для всех k, таких, что 0 < k < J и каждая гармоника Фурье имеет длину волны 2 J h / k. Затем проводится аналогичное разложение в ряд по другой координате. Для всех l, таких, что 0 < l < I

Теперь, зная собственные значения, можно отдельно определить амплитуду каждой фурье-гармоники потенциала И, наконец по каждой из координат выполняется суммирование ряда Фурье. Для всех i, таких, что 0 < i < I Для всех k, таких, что 0 < k < J Так выглядит общая процедура, но в зависимости от граничных условий нужно выбрать лишь частные гармоники. Так, например, разложение в ряд по синусам используется, если потенциал задан на границе нулем или постоянной. Если потенциал имеет на границе равную нулю производную, используется разложение в ряд по косинусам: где

При периодических граничных условиях нужно использовать полные ряды Фурье где В этом случае собственные значения двумерного уравнения Пуассона равны Следует отметить, что при использовании данного метода удается избежать вычисления синусов и косинусов с помощью метода быстрого преобразования Фурье, в котором значения гармонических функций вычисляются простыми рекуррентными соотношениями.

Численные методы решения гиперболических уравнений в конечных разностях В качестве примера уравнения гиперболического типа рассмотрим волновое уравнение Если использовать скорость смещения и угловое отклонение, то волновое уравнение второго порядка можно записать в виде системы двух уравнений первого порядка, представляющих собой уравнения переноса: Рассмотрим общие гиперболические уравнения для случая одного измерения в пространстве: Любой явный метод устойчив, если на шаг по времени t наложено условие Куранта-Фридрихса-Леви: где v – наибольшая скорость распространения волн на сетке.

Метод Лакса. Рассмотрим простой способ интегрирования уравнения переноса (3) с помощью явной схемы первого порядка точности. Находя пространственную производную, и интегрируя в пределах одного шага по времени t с точностью первого порядка, получаем: Для иллюстрации более широкой применимости метода, рассмотрим использование метода Лакса для системы двух уравнений, описывающих одномерные электромагнитные волны. Плоскополяризованная волна в вакууме определяется дифференциальными уравнениями Вытекающими из уравнений Максвелла. Здесь электрическое поле E направлено по оси y, магнитное поле B – по оси x. Применяя алгоритм Лакса для вектора u(E, B) и потока F(c. B, c. E), находим новые компоненты поля на каждом шаге по времени Условие устойчивости удовлетворяется для обеих волн, если

Метод с «перешагиванием» При интегрировании гиперболических уравнений по времени с шагом t только с первым порядком точности по t (временная разностная производная не центрирована по времени) в уравнения вносится сильно дестабилизирующий член, и единственный путь улучшения устойчивости – добавить более сильный пространственный диффузионный член. Методы, примером которых может служить метод Лакса, дают сильно сглаженное решение. Преодолеть эти трудности можно посредством центрирования по времени уравнений, чтобы получить методы со вторым порядком точности по шагу t. В процессе счета потоки F вычисляются на промежуточных слоях по времени tn: Полученные таким образом искомые величины используются для нахождения промежуточных потоков, чтобы «перешагнуть» на следующий временной слой: Следует отметить, что значения зависимых переменных в промежуточных пространственновременных точках ujn не нужны и вообще не вычисляются. Если на сетке определены все точки, то на самом деле имеются две взаимопроникающие сетки, которые в схеме не связаны, так что решения на этих сетках могут смещаться по фазам.

Двухшаговая схема Лакса-Вендроффа Можно получить точность второго порядка по шагу по времени, избежав большой численной диффузии путем использования явного двухшагового метода, основанного на разложении в ряд Тейлора по времени. Этот метод обеспечивает центрирование по времени путем определения вспомогательных или промежуточных значений функции на полуцелых шагах по времени tn+1/2. Метод Лакса используется на первом шаге или для вспомогательных вычислений на каждом шаге по времени. Вспомогательный шаг: Эти значения теперь используются для нахождения потоков в промежуточных временных и пространственных точках: Наконец, на основном шаге вычислений используется центрированная по времени и пространству формула интегрирования. Основной шаг: После каждого основного шага промежуточные значения величин uj+1/2 n+1/2 оказываются ненужными и в дальнейшем формировании решения участия не принимают.

Метод квазивторого порядка точности Метод почти второго порядка точности можно получить, используя разложение в ряд Тейлора по шагу t до второго порядка. Найдем искомую величину на новом шаге по времени: или, с той же точностью, Применим этот прием для гиперболического уравнения (3) где - малое число. Таким образом, снова используется трехслойная формула со вторым порядком точности, но лишь потоки Fj+1 n-1 в отличие от зависимых переменных берутся с нижнего временного слоя. В процессе счета потоки нужно вычислять только один раз на каждом шаге по времени. Особое преимущество этой схемы заключается в том, что не нужно вводить сложные переменные сетки.

Численные методы решения параболических уравнений в конечных разностях В качестве примера рассмотрим простое уравнение диффузии в одном пространственном измерении Для наглядности коэффициент диффузии k будем считать постоянным, что не ограничивает применимости рассматриваемых методов к более сложным задачам. В реальных задачах параболические уравнения часто включают волноподобные свойства ( «гиперболические члены» ). Кроме того, параболические уравнения могут образовывать системы уравнений, которые нужно решать совместно. В правой части уравнения (1) могут быть члены, описывающие источники, а если коэффициент диффузии зависит от u, то уравнение становится нелинейным, k=k(u). Приемы и методы, которые будут рассмотрены ниже, пригодны и для более сложных систем. Явный метод первого порядка точности Множитель перехода и порог устойчивости для шага по времени определяется неравенством: Явные методы для параболических уравнений удовлетворяют критерию устойчивости, если шаг по времени ограничен квадратом шага по пространству в отличие от первой степени для гиперболических уравнений. Поэтому, удваивая точность по пространству, необходимо уменьшить в четыре раза шаг по времени, и следовательно, в параболических уравнениях зависимость шага по времени от условия устойчивости может оказаться особенно жесткой. Кроме того данный метод имеет только первый порядок точности по шагу t.

Неявный метод Кранка-Никольсона Метод Кранка-Никольсона для параболических уравнений аналогичен неявному методу второго порядка для обыкновенных дифференциальных уравнений и получается путем усреднения пространственного диффузионного члена по времени t. Для наглядности продемонстрируем выше сказанное на примере неявного метода для обыкновенного дифференциального уравнения: fn fn+1 f tn tn+1 t Аналогичным образом запишем выражение в конечных разностях для уравнения диффузии (1): Следует отметить, что метод Кранка-Никольсона безусловно устойчив. Кроме того, он имеет точность второго порядка как по временному, так и по пространственному шагам и благодаря этим достоинствам широко применяется.

Неустойчивый метод с «перешагиванием» В случае обыкновенных дифференциальных уравнений и гиперболических уравнений трехслойный метод с перешагиванием имеет ряд положительных свойств. На первый взгляд этот метод можно применять и для решения уравнения диффузии: Однако анализ устойчивости данного метода показывает, что, хотя он и согласованный, является безусловно неустойчивым. Метод Дюфора-Франкеля Используя трехслойную формулу и слегка измененный метод с перешагиванием, получаем метод решения параболических уравнений, который обладает необычным для явных схем свойством безусловной устойчивости: Зависимая переменная под оператором диффузии в центральном временном и пространственном узле получена усреднением по времени, так что промежуточные узлы на сетке вводить не нужно. Можно найти явное выражение для функции ujn+1 в каждом узле сетки

Метод конечных элементов предполагает дискретизацию дифференциальных уравнений на так называемых триангулярных координатных сетках, то есть на сетках, элементарные ячейки которых представляют собой треугольники для двух измерений или призмы (тетраэдры) для трех измерений. Разбиение Дирихле и триангуляция Делоне Пусть необходимо покрыть некоторую двухмерную область триангулярной координатной сеткой. Рассмотрим некоторый набор точек {pi | i = 1, 2, …, n} в области . Тогда i-я ячейка Дирихле i представляет собой множество всех точек области , лежащих ближе к точке pi, чем к любой другой точке pj (рис. 1). Такое множество ячеек { i | i = 1, 2, …, n} называется разбиением Дирихле. Оно полностью покрывает область без наложений (рис. 2).

Координатная сетка, на которой удобно проводить дискретизацию уравнений математической физики, получается в результате триангуляции Делоне, которая определяется следующим образом. Пусть две точки сетки называются соседними в смысле Дирихле тогда и только тогда, когда многоугольники Дирихле, содержащие эти точки, имеют общую грань ненулевой длины. Триангуляцией Делоне называется граф, образованный соединением соседних в смысле Дирихле точек отрезками прямых линий (рис. 3), удовлетворяющий следующим условиям: 1) вершины любого элемента сетки (треугольника) лежат на некоторой окружности; 2) не существует точек сетки внутри окружности, описанной около любого элемента; 3) не существует двух элементов с общей описанной окружностью или, иными словами, не существует более 3 точек сетки, принадлежащих одной окружности. Из сопоставления приведенных определений видно, что соответствующие линии разбиения Дирихле и триангуляции Делоне взаимно перпендикулярны (см. рис. 3). Иными словами, построение перпендикуляров в серединах триангуляционных линий дает разбиение Дирихле. Это и лежит в основе процедуры дискретизации дифференциальных уравнений.

Если какое-либо из приведенных выше условий триангуляции Делоне не выполняется, возникают нежелательные проблемы. Например, если четыре или более точек сетки лежат на одной окружности, то они могут быть триангулированы произвольным образом (рис. 4). В этом случае триангуляция Делоне будет неоднозначной. Если при триангуляции образуются тупоугольные треугольники, это может приводить к наложению ячеек Дирихле (рис. 5), что вызовет локальное нарушение законов сохранения при дискретизации дифференциальных уравнений.

Существует много различных алгоритмов триангуляции Делоне. Все они являются рекурсивными, то есть точки сетки при построении добавляются по одной. Иными словами, на i-м шаге добавляется i-я точка и получается триангуляция Делоне для первых i точек. При этом предполагается, что предварительно получена триангуляция Делоне для первых i-1 точек. Как правило, используется метод искусственного ограничения, состоящий в том, что исходная область Θ (рис. 6), на которой предполагается проводить триангуляцию, покрывается искусственной областью Θ 1, имеющую размеры, значительно превосходящие Θ. Это делается для того, чтобы каждая последующая точка сетки, включая точки, принадлежащие границе области Θ, являлась внутренней, то есть попадала внутрь области, составленной по предыдущим точкам. Триангуляция Делоне для такой области Θ 1 является исходной для рекурсивного алгоритма. На первом этапе к искусственным угловым четырем точкам границы области Θ 1 добавляются последовательно реальные угловые точки границы области Θ (рис. 7).

На втором этапе граничные отрезки области Θ разбиваются на части в соответствии с заданными требованиями к точности (рис. 8). По мере последовательного добавления реальных точек сетки, исходная область Θ разобьется на части, как показано на рис. 9. После завершения рекурсивного алгоритма искусственные точки и все связанные с ними отрезки удаляются и получившееся построение считается триангуляцией Делоне для заданного множества точек (рис. 11).

В целом рекурсивный алгоритм реализуется в три этапа: - ранее построенный элемент остается неизменным при добавлении новой точки, если последняя не попадает в описанную около него окружность; - если новая точка попадает внутрь окружности, описанной около ранее построенного элемента, то новая точка соединяется со всеми его вершинами (при этом ранее построенный элемент рассекается на части); - существующая между двумя точками линия сетки устраняется тогда и только тогда, когда новая точка попадает внутрь всех окружностей, описанных около любого ранее построенного элемента, границе которого принадлежит данная линия сетки. На каждом этапе определяются элементы, подлежащие разбиению, то есть содержащие новую точку в описанных около них окружностях. Грань, общая для двух таких элементов, отбрасывается, а каждая из оставшихся граней и новая точка определяют новые элементы и линии сетки. Завершает процесс построение линий сетки по полученным элементам. Триангуляцию Делоне можно получить из любой другой триангуляции по тому же множеству точек, последовательно перестраивая пары соседних треугольников АВС и ВСD, не удовлетворяющих условиям Делоне, в пары треугольников АВD и АСD (рис. 11). Такую операцию перестроения часто называют флипом. Она позволяет получать триангуляцию Делоне, построив на начальном этапе некоторую произвольную триангуляцию, а затем последовательно улучшая ее в смысле Делоне. При проверке условий Делоне часто используют следующие теоремы. Теорема 1. Триангуляция Делоне обладает максимальной суммой минимальных углов всех своих треугольников среди всех возможных триангуляций. Теорема 2. Триангуляция Делоне обладает минимальной суммой радиусов окружностей, описанных около треугольников, среди всех возможных триангуляций.

Метод интегральных тождеств Дискретизация дифференциальных уравнений в частных производных на триангулярных координатных сетках может быть проведена с использованием метода интегральных тождеств. Суть данного метода состоит в следующем. Для дискретизации уравнений математической физики прежде всего в соответствии с условиями задачи строится множество точек координатной сетки, проводится триангуляция Делоне и разбиение Дирихле. Дальнейшие шаги рассмотрим на примере задачи о распределении электростатического поля в области Θ объемом V, ограниченной замкнутой поверхностью Ω площадью S, непроводящей среды при наличии электрических зарядов, описываемой уравнениями Пуассона. Интегрируя обе части уравнения по объему V, получим или в операторной форме Применив теорему Остроградского-Гаусса, перепишем уравнение в интегро-дифференциальном виде, фактически выражающем законы сохранения для области решения задачи. Аппроксимируя уравнение для некоторой внутренней ячейки Дирихле Θ 0 с внешней границей D, построенной вокруг точки p 0 сетки (рис. 13) в предположении, что все переменные в пределах данной ячейки Дирихле неизменны и триангулярная координатная сетка двухмерна (все ячейки разбиения Дирихле представляют собой призмы равной высоты H, которая может быть вынесена за знаки интегралов), получим: где dl – элемент контура D; d. S 0 – элемент площади ячейки Дирихле, построенной вокруг точки p 0 (см. рис. 13);

где M 0 – число граней ячейки Дирихле с контуром D; S 0 – площадь ячейки Дирихле, построенной вокруг точки p 0 (см. рис. 13); 0, m – значения электрического потенциала в точках p 0 и pm, соответственно; εP 0, εPm – значения диэлектрической проницаемости среды в точках p 0 и pm, соответственно; ρ0 – значение объемной плотности электрических зарядов в точке p 0; hm – расстояние между точками p 0 и pm; ζm – длина m-й грани ячейки Дирихле. Обобщая уравнение для всех внутренних ячеек Дирихле области Θ, можно записать где i – номер ячейки Дирихле; Nint – число внутренних ячеек Дирихле. Аппроксимация уравнений для граничных ячеек Дирихле (см. рис. 13) производится аналогичным образом, но с учетом соответствующих граничных условий Дирихле или Неймана. Например, если на границе заданы условия второго рода где n – нормаль к поверхности Ω; g(x, y, z) – некоторая функция координат.

Выражения для соответствующих граничных ячеек Дирихле могут быть записаны в виде где МΩ – число граней ячейки Дирихле, совпадающих с поверхностью Ω; Next – число граничных ячеек Дирихле, т. е. ячеек, у которых хотя бы одна грань совпадает с поверхностью Ω (см. рис. 13); gm – значение функции g(x, y, z) на m-й грани ячейки Дирихле. Нетрудно видеть, что полученная система алгебраических уравнений в результате дискретизации на триангулярной координатной сетке с использованием метода интегральных тождеств, является линейной. Число уравнений в системе определяется общим числом точек сетки N = Nint + Next