Скачать презентацию Спецрозділи математики ч 1 Дискретна математика Лектор — Скачать презентацию Спецрозділи математики ч 1 Дискретна математика Лектор —

СРМлек1 множини.ppt

  • Количество слайдов: 40

Спецрозділи математики ч. 1 Дискретна математика Лектор - Ліхоузова Тетяна Анатоліївна Консультації – понеділок Спецрозділи математики ч. 1 Дискретна математика Лектор - Ліхоузова Тетяна Анатоліївна Консультації – понеділок 14. 00 431/18

Література l l l Бондаренко М. Ф. , Білоус Н. В. , Руткас А. Література l l l Бондаренко М. Ф. , Білоус Н. В. , Руткас А. Т. Комп’ютерна дискретна математика / Х. : Компанія СМІТ, 2004 – 480 с. Нікольський Ю. В. , Пасічник В. В. , Щербина Ю. М. Дискретна математика / К. : Видавнича група BHV, 2007. – 368 с. Белоусов А. И. , Ткачев С. Б. Дискретная математика, учебник / М/: МГУ, 2002 – 744 с.

Література Література

Література http: //tc. kpi. ua Розділ “Дисципліни” Дискретна математика Література http: //tc. kpi. ua Розділ “Дисципліни” Дискретна математика

Структура курсу Теорія множин l Теорія відношень l Алгебраїчні структури l Булеві функції l Структура курсу Теорія множин l Теорія відношень l Алгебраїчні структури l Булеві функції l Математична логіка l Теорія графів l Теорія автоматів l

Оцінювання роботи l Теорія множин – (к. р. ) 10 балів Теорія відношень – Оцінювання роботи l Теорія множин – (к. р. ) 10 балів Теорія відношень – (к. р. ) 10 балів Алгебраїчні структури Булеві функції – (д. к. р. ) 10 балів Математична логіка – (к. р. ) 10 балів Теорія графів – (к. р. ) 10 балів Теорія автоматів l Відповідь на практичному занятті – 3 бали l l l

Атестація l І атестація 24 жовтня набрати 20 балів l ІІ атестація 1 грудня Атестація l І атестація 24 жовтня набрати 20 балів l ІІ атестація 1 грудня здати домашню контрольну роботу

Екзамен l l Необхідною умовою допуску до екзамену є зарахування д. к. р. , Екзамен l l Необхідною умовою допуску до екзамену є зарахування д. к. р. , а також стартовий рейтинг (r. C) не менше 30 балів. Критерії екзаменаційного оцінювання: – максимальна кількість балів 40: по 10 балів за кожне теоретичне питання та 10 балів за виконання практичного завдання; – дано неповну відповідь – 1. . – 6 балів; – допущено несуттєву помилку – 1. . – 3 бали; – не обґрунтовано відповідь при виконанні практичного завдання – 3 бали.

Рейтинги Рейтинг до Рейтинг після Оцінка за екзамену шкалою r. C RD = r. Рейтинги Рейтинг до Рейтинг після Оцінка за екзамену шкалою r. C RD = r. C + r. E ECTS 57… 60 95… 100 А 50… 56 85… 94 B 40… 49 75… 84 C 35… 39 65… 74 D 30… 34 60… 64 E r. C< 30 RD < 60 Fx не виконані умови допуску F до екзамену Традиційна оцінка відмінно добре задовільно не допущений

Розділ 1. Теорія множин Розділ 1. Теорія множин

1. 1. Множини. Способи задання множин елементи множини l способи задання множин l скінченні 1. 1. Множини. Способи задання множин елементи множини l способи задання множин l скінченні та нескінченні множини l упорядковані множини l

Георг Кантор: Ø Множина - це сукупність деяких елементів, цілком визначених у випадку кожної Георг Кантор: Ø Множина - це сукупність деяких елементів, цілком визначених у випадку кожної конкретної задачі. Приклад. A={D, C}, D = {a, b}, C = {c, d, e}. При цьому D А, С А, але a А і с А. Приклад. Е = {{1, 2}, 3}. Цей запис означає, що множина E містить два елементи: множину {1, 2} і елемент 3.

Загальноприйняті позначення основних числових множин: N — множина натуральних чисел, N={1, 2, 3, . Загальноприйняті позначення основних числових множин: N — множина натуральних чисел, N={1, 2, 3, . . . }. Z — множина цілих чисел, Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . }. Q — множина раціональних чисел. Будь-яке раціональне число можна зобразити у вигляді дробу: а/b, де a, b Z, b 0. R — множина дійсних чисел. Будь-яке дійсне число можна зобразити у вигляді нескінченного десяткового дробу a, b 1 b 2 b 3. . . bn. . . із цілою частиною а Z і bк {0, . . . , 9}.

Множина називається скінченною, якщо вона містить скінченне число елементів, і нескінченною, якщо вона містить Множина називається скінченною, якщо вона містить скінченне число елементів, і нескінченною, якщо вона містить необмежене число елементів. Приклад. Множина А={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} цифр в десятковій системі числення скінченна, а множина цілих чисел нескінченна. Ø Упорядкованою вважається така множина, в якій важливі не тільки її елементи, але і їх порядок у множині. Позначають упорядковану множину або круглими, або трикутними дужками. Наприклад: А = <а 1, а 2, . . . , аn >, n N; В = <1, 2, 3>; С = (а, b, с). Ø

Способи задання множин ü перелік елементів А = {а 1, а 2, . . Способи задання множин ü перелік елементів А = {а 1, а 2, . . . , аn} В = {Іванов, Петров, Сидоров} ü визначення властивості елементів X = {х | Р(х)}, N 10={x | х N, х < 10} ü рекурсивно F={φ | φ1 = 1, φ2 = 2, φn = 3φn-2 + φn-1, n = 3, 4, . . . }

l Множина задана коректно, якщо для будьякого елемента можна визначити, належить він множині чи l Множина задана коректно, якщо для будьякого елемента можна визначити, належить він множині чи ні. Приклад. А - множина, що містить будь-які п'ять натуральних чисел. В - множина всіх простих чисел. С - множина всіх динозаврів, що жили на Землі.

l При заданні множин можуть бути неточності або збитковості, які необхідно усувати. Приклад. А l При заданні множин можуть бути неточності або збитковості, які необхідно усувати. Приклад. А - множина залишків, що одержуються при послідовному діленні натуральних чисел {3, 4, 5, 6, . . . } на 3: А = {0, 1, 2, 0, . . . }. Ця множина містить всього три елементи: 0, 1, 2. Тому її можна записати у вигляді А = {0, 1, 2}. Приклад. Нехай В — множина всіх видів шахових фігур, а С — множина всіх шахових фігур, що беруть участь в одній грі. |В| = 6 {пішак, тура, слон, кінь, ферзь, король}, |С| = 32 {16 білих і 16 чорних}.

1. 2. Основні поняття теорії множин рівність множин l включення множин l універсальна і 1. 2. Основні поняття теорії множин рівність множин l включення множин l універсальна і порожня множини l степінь множини l

Ø Дві множини рівні (А=В), якщо вони містять однаковий набір елементів. Число елементів скінченної Ø Дві множини рівні (А=В), якщо вони містять однаковий набір елементів. Число елементів скінченної множини |А|. Приклад. Нехай задані множини A= {1, 2, 3, 4, 5}; В — множина натуральних чисел від 1 до 5; С = {с | 1 с 5, с N}; D = {4, 1, 5, 2, 3}.

Ø Для множин А і В з нескінченним або великим числом елементів перевірка збігу Ø Для множин А і В з нескінченним або великим числом елементів перевірка збігу наборів всіх елементів може бути важкою. Більш ефективною виявляється логічна перевірка двостороннього включення: А = В тоді і тільки тоді, коли з х А виходить х В і з у В виходить у А. Ø Множини А і В називаються еквівалентними або рівнопотужними (А ~ В), якщо між ними можна встановити взаємно однозначну відповідність. Ø Взаємнооднозначною називається така відповідність між множинами А і В, при якій кожному елементу а А відповідає один і тільки один елемент b В, і кожному елементу b В відповідає один і тільки один елемент а А.

Для строгого визначення дискретних та неперервних нескінченних множин використовуються зіставлення дискретних множин натуральному Для строгого визначення дискретних та неперервних нескінченних множин використовуються зіставлення дискретних множин натуральному ряду чисел, а неперервних множин — відрізку [0, 1] дійсної вісі. Ø Множина А називається зчисленною, якщо вона еквівалентна натуральному ряду N (А~N). Термін «зчисленність» є точним замінником інтуїтивного поняття — «дискретність» . Ø Множина А називається континуальною (незчисленною), якщо вона еквівалентна відрізку [0, 1], а потужність цієї множини – континуум.

Ø Множина А, всі елементи якої належать множині В, називається підмножиною множини В. Ø Ø Множина А, всі елементи якої належать множині В, називається підмножиною множини В. Ø Нестроге включення позначається А В, означає, що А — підмножина множини В, що, можливо, співпадає з В. Ø Строге включення позначається А В і означає, що А — підмножина множини В, що не співпадає з В. У цьому випадку кажуть, що А — власна підмножина множини В. Виконання співвідношень А В і В А можливе тільки при А = В.

Ø Універсальною називається множина, яка містить всі можливі елементи, що зустрічаються в даній задачі. Ø Універсальною називається множина, яка містить всі можливі елементи, що зустрічаються в даній задачі. Універсальна множина U є індивідуальною для кожної задачі і визначається в її умові. Ø Порожньою називається така множина, яка не містить ніяких елементів. Порожня множина є підмножиною будь-якої множини. Приклад. Розглянемо деяку групу студентів. Нехай А — множина юнаків групи, В — множина відмінників. У цій задачі універсальною є множина студентів групи, а множини А і В є її підмножинами: A U, В U, А, В.

Ø Множину всіх підмножини X називають множиною-степенем, або булеаном множини X, і позначають 2 Ø Множину всіх підмножини X називають множиною-степенем, або булеаном множини X, і позначають 2 X. Для довільної множини X з n елементів кількість всіх її підмножин: |2 Х| = 2|Х| = 2 n Приклад. А = {а, b, с}. 2 A = { , {а}, {b}, {с}, {а, b}, {b, с}, {а, b, с}}, | 2 A | = 8.

1. 3. Геометрична інтерпретація множин діаграми Венна l круги Ейлера l 1. 3. Геометрична інтерпретація множин діаграми Венна l круги Ейлера l

Діаграма Венна U U А А x 1 x 2 В x 3 В Діаграма Венна U U А А x 1 x 2 В x 3 В x 1 x 4 Діаграма Венна для двох множин x 2 С Діаграма Венна для трьох множин

Круги Ейлера U А B B A={1, 2, 3} B={2, 3, 4} A={1, 2} Круги Ейлера U А B B A={1, 2, 3} B={2, 3, 4} A={1, 2} B={1, 2, 3, 4} A={1, 2} B={3, 4}

1. 4. Операції на множинах об'єднання l перетин l різниця l доповнення l 1. 4. Операції на множинах об'єднання l перетин l різниця l доповнення l

Ø Об'єднання (сума) A В є множина, що складається з тих і тільки тих Ø Об'єднання (сума) A В є множина, що складається з тих і тільки тих елементів, які входять або до А, або до В, або до А і В одночасно. U А В А = {а, b, m}, В = {m, c, p}, А В = {а, b, с, m, p}.

Ø Перетин (добуток) A В є множина, що містить тільки елементи, які належать до Ø Перетин (добуток) A В є множина, що містить тільки елементи, які належать до А і В одночасно. U А В А = {а, b, m}, В = {m, c, p}, А В = { m}.

Ø Різниця АВ є множина, що складається в точності з усіх елементів А, які Ø Різниця АВ є множина, що складається в точності з усіх елементів А, які не належать до В. U А В А = {а, b, m}, В = {m, c, p}, АВ = {а, b}.

Доповнення (заперечення) Ā (читається «не А» ) є множина UA. Ø U А Ā Доповнення (заперечення) Ā (читається «не А» ) є множина UA. Ø U А Ā Різницю множин можна виразити через операції заперечення та перетину таким чином: BA = B Ā.

1. 5. Алгебра множин пріоритет операцій l тотожності алгебри множин l доведення тотожностей l 1. 5. Алгебра множин пріоритет операцій l тотожності алгебри множин l доведення тотожностей l

Пріоритети операцій: 1) 2) 3) 4) Ā А В A В А В Пріоритети операцій: 1) 2) 3) 4) Ā А В A В А В

Тотожності алгебри множин ü Комутативні закони А В = В А ü Асоціативні закони Тотожності алгебри множин ü Комутативні закони А В = В А ü Асоціативні закони A (В С) = (A В) C А (В С) = (А В) С ü Дистрибутивні закони A (В C) = (А В) (A C) А (В С) = (А В) (A C)

Тотожності алгебри множин ü Властивості порожньої та універсальної множин А = А А U Тотожності алгебри множин ü Властивості порожньої та універсальної множин А = А А U = U А U = А А = . ü Закони ідемпотентності А А = А

Тотожності алгебри множин ü Закон інволюції ü Закон протиріччя А Ā = ü Закон Тотожності алгебри множин ü Закон інволюції ü Закон протиріччя А Ā = ü Закон виключеного третього A Ā = U

Тотожності алгебри множин ü Закони елімінації (поглинання) A (A В) = А А (А Тотожності алгебри множин ü Закони елімінації (поглинання) A (A В) = А А (А В) = А ü Закони де Моргана

Доведення тотожностей Доведення дистрибутивного закону А (В С) = (А В) (A C) Ліва Доведення тотожностей Доведення дистрибутивного закону А (В С) = (А В) (A C) Ліва частина (В С) А (В С)

Доведення тотожностей Доведення дистрибутивного закону А (В С) = (А В) (A C) Права Доведення тотожностей Доведення дистрибутивного закону А (В С) = (А В) (A C) Права частина (А В) (А С) (А В) (A C)