Спецкурс Microsoft Excel в профильном обучении Раздел 12

Спецкурс «Microsoft Excel в профильном обучении» Раздел 12 Операции над матрицами

План понятие матрицы; математическое содержание основных операций над матрицами; выполнения операций над матрицами в Ms. Excel; применение матриц для решения прикладных задач.

Матрицы и основные операции над ними Матрица – прямоугольная таблица, в каждой ячейке которой записано число – элемент матрицы. Каждый элемент матрицы имеет два индекса: номер строки и номер столбца, на пересечении которых он расположен. Элементы матрицы обозначают маленькими латинскими буквами, у которых в виде подстрочных знаков записывают индексы. Матрица А имеет следующие элементы: а 11 = 5; а 12 = – 7; а 13 = 3; а 21 = 4; а 22 = 2; а 23 = 9. Размерность – одна из основных характеристик матрицы, количество строк и столбцов в ней.

Умножение матрицы на число На заданное число умножается каждый элемент матрицы.

Сложение матриц Складывают матрицы одинаковых размерностей. В результате получаем матрицу, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц.

Умножение матриц Пусть (аі 1, . . . , аіп) — і-я строка А, а — j-й столбец матрицы В. В матрице С = АВ элемент с индексами ij вычисляется по формуле Он равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы jго столбца матрицы В. Каждая строка первой «множиться» на каждый столбец второй матрицы.

Умножение матриц Матрицу А 2 3 умножим на матрицу В 3 2. В результате получим матрицу С 2 2. с11 =1 3 + 2 2 + 3 6 = 25; с12 = 1 1 + 2 5 + 3 0= 11; с21 = – 2 3 + 4 2 + 2 6 = 14; с22 = – 2 1 + 4 5 + 2 0 = 18 Количество столбцов А должно равняться количеству строк В

АВ – умножение слева ВА – умножение справа .

Квадратная матрица Квадратная – матрица, у которой количество строк равно количеству столбцов. С nxn диагональ Главная Побочная диагональ На главной диагонали расположены элементы, у которых номер строки равен номеру столбца: с11, с22 , с33 …

Единичная матрица Единичная – матрица, у которой на главной диагонали расположены единицы, а остальные элементы равны нулю. Е 3 3 Е 2 2 АЕ=ЕА=А

Обратная матрица Матрица А-1 называется обратной матрице А, если А-1 А=Е, т. е. их произведение, равно единичной матрице. Обратные:

Определитель матрицы Определитель – число, получаемое из матрицы по определенному правилу. Определитель показывает, существует ли обратная матрица. Если |А|=0, то обратная матрица не существует.

Обратная матрица

Операции с матрицами в Ms. Excel MMULT (МУМНОЖ) произведение матриц MINVERSE (МОБР) обратная матрица MDETERM (МОПРЕД) определитель матрицы Результат – диапазон значений Аргументами всех этих функций является диапазоны, содержащие элементы матриц по одному в каждой ячейке. Следует выделить весь диапазон, где содержатся результаты, ввести формулу функции и нажать клавиши

Операция умножения матрицы на число Если матрица умножается на число, то ссылка на ячейку, где это число размещено, должна быть абсолютной, поскольку все элементы матрицы умножаются на значение одной и той же ячейки.

Операция сложения матриц При сложении матриц следует использовать относительные ссылки.

Произведение матриц

Решение систем линейных алгебраических уравнений Систему можно записать как произведение матриц, матричное уравнение: АХ=В

Решение систем линейных алгебраических уравнений Умножив первую строку матрицы А на первый столбец матрицы X (он в этой матрице один), получим выражение а 11 х1 + … + а 1 nхn, Умножив вторую строку А на столбец X , получим выражение а 21 х1 +. . . + а 2 пхп и т. д. Каждое из этих выражений приравнивается соответствующему коэффициенту b 1 , b 2 … Получим заданную систему уравнений.

Правило решения системы линейных алгебраических уравнений. Для матричных уравнений выполняются те же тождества, и для обычных уравнений. В частности, обе части матричного уравнения можно умножить на одну и ту же матрицу (справа или слева). Умножим АХ = В на матрицу А-1, получим А-1 АХ = А-1 В ЕХ = А-1 В Х = А-1 В.

Алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений в MSExcel. 1. Найдем матрицу А-1 2. Вычислим определитель. 3. Если |А|≠ 0, то вычислим произведение А-1 В МОБР МОПРЕД МУМНОЖ !