Специальные методы решения квадратных уравнений Выполнил

Специальные методы решения квадратных уравнений Выполнил. . .

Рассмотрим решение квадратных уравнений, коэффициенты которых обладают определенными свойствами. Установим связь между суммой коэффициентов уравнения и его корнями.

1)х²+4 х-5=0, а=1, b=5, с=-5, а+b+c=0, x=1, x=-5. 3)х²+6 х+5=0, а=1, b=6, с=5, а+c=b, x=-1, x=-5. 2)2 х²-5 x+3=0, a=2, b=-5, c=3, a+b+c=0, x=1, x=3/2 4)3 х²+2 x-1=0, a=3, b=2, c=-1, а+c=b, x=-1, x=1/3

При решении уравнения ax²+bx+c=0 (a≠ 0) можно пользоваться следующими правилами. 1. Если а+b+c=0, то х=1, х=с/а 2. Если a+c=b, то х=-1, х=-с/а

Докажем утверждение 1. Разделим обе части уравнения на(a≠ 0): x²+(b/a)х+(c/a)=0. По теореме Виета х1+х2=-b/a, х1*х2=c/a. Так как а+b+c=0, то b=-a-c, тогда х1+х2=-(-а-с)/а=1+c/a, х1*х2=1*c/a значит, х1=1, х2=c/a Утверждение 2 доказывается аналогично.

Задание (устно). Найдите корни уравнения: а) 3 х²-8 x+5=0; б) 2 х²+3 х+1=0; в) 5 х²-9 х-14=0; г) -х²+4 х-3=0. Другой метод решения квадратных уравнений – метод «переброски» старшего коэффициента. Умножим обе части уравнения ax²+bx+c=0 на (a≠ 0): a²x²+bax+ca=0. Пусть ах=у, тогда получим уравнение у²+by+ca=0. Корни у1 и у2 уравнения найдем по теореме, обратной теореме Виета. Так как ах1=у1, ах2=у2, то х1=у1/а, х2=у2/а

Пример. Решите уравнение 2 х²-11 х+15=0. Решение: Умножим обе части уравнения на 2: 2²*х²-2*11 х+2*15=0. Пусть 2 х=у, тогда у²-11 у+30=0. Корни уравнения: у1=5, у2=6. Тогда 2 х1=5, 2 х2=6, откуда х1=5/2, х2=3. Замечание. Данный метод подходит для квадратных уравнений с «удобными» коэффициентами. В некоторых случаях он позволяет решить уравнение устно.

Задание на дом. Решите уравнение, выбрав один из специальных методов решения квадратных уравнений: а) 3 х²-5 x+2=0 б) 1907 х²-101 x-2008=0