Специальные главы математики Преподаватель Филимонова Юлия Олеговна Контакты

Специальные главы математики Преподаватель: Филимонова Юлия Олеговна Контакты: jul 7788@mail. ru Новосибирск, 2017 1

Структура курса: 1. Матрицы 2. Теория поля 3. Аффинные преобразования 4. Численное интегрирование 2

Матрицы: Методы вычисления определителя матрицы: 1) Правило треугольника для вычисления определителя матрицы третьего порядка: Для матрицы 3× 3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали. 3

2) Правило Саррюса для вычисления определителя матрицы третьего порядка: Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус": 4

Вычисление определителя матрицы произвольного размера 3) Разложение определителя по строке или столбцу: Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения: - разложение по i-той строке Определитель матрицы равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения: - разложение по j-тому столбцу При разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов. где – алгебраическое дополнение элемента; - минор элемента – определитель порядка (n-1), полученный из определителя det. A вычеркиванием строки и столбца на пересечении которых находится элемент 5

Обратная матрица: Определение: Обратная матрица A− 1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E: A·A-1 = A-1·A = E Замечание. Обратная матрица существует только для квадратных, определитель которых не равен нулю. Свойства обратной матрицы: Ødet(A-1) = 1/det(A) Ø(A·B)-1 = A-1·B-1 Ø(A-1)T = (AT)-1 Ø(k. A)-1 = A-1/k Ø(A-1)-1 = A 6

Вычисление обратной матрицы: Теорема Для квадратной матрицы A существует обратная A− 1 тогда и только тогда, когда det. A не равен нулю; в этом случае обратная матрица может быть при помощи союзной матрицы : - союзная матрица, состоящая из алгебраических дополнений элементов матрица А 7

Теория поля: Градиент: Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в которых функция U(M) принимает постоянное значение, т. е U(x, y, z)=const 8

9

Поток векторного поля: Физический смысл потока : величина, равная объему жидкости, которая протекает через поверхность S за единицу времени Формула Остроградского-Гаусса означает, что поток векторного поля через замкнутую поверхность S (в направлении внешней нормали) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему, ограниченному данной поверхностью. 10

Циркуляция векторного поля: Физический смысл циркуляции : это работа силы поля при перемещении материальной точки вдоль кривой. Формула Стокса показывает, что циркуляция вектора вдоль замкнутого контура L равна потоку ротора этого вектора через поверхность S, лежащую в поле этого вектора и ограниченную контуром L (натянутую на контур). Формула Стокса 11

Классы векторных полей: - Соленоидальное поле: Векторное поле называется соленоидальным, если во всех точках его дивергенция поля равна нулю. - Потенциальное поле: Векторное поле называется потенциальным, если во всех точках поля ротор равен нулю. - Гармоническое поле: Векторное поле называется гармоническим, если оно одновременно является и потенциальным и соленоидальным 12

Аффинные преобразования Определение. Преобразование плоскости называется аффинным, если оно взаимно однозначно; образом любой прямой является прямая. Преобразование называется взаимно однозначным, если разные точки переходят в разные; в каждую точку переходит какая-то точка. Свойства аффинных преобразований: 1) По свойствам координат аффинное преобразование является взаимно однозначным отображением плоскости на плоскость: - каждая точка имеет образ и притом только один; - разные точки имеют разные образы; - каждая точка области значений имеет прообраз. 2) Так как аффинное отображение сохраняет координаты точек, то оно сохраняет уравнения фигур. Отсюда следует, что прямая переходит в прямую. 3) Преобразование, обратное к аффинному, есть снова аффинное преобразование. 13

4) Точки, не лежащие на одной прямой, переходят в точки, не лежащие на одной прямой, а, значит, пересекающиеся прямые - в пересекающиеся прямые, а параллельные – в параллельные. 5) При аффинных преобразованиях сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной или параллельных прямых. 6) Отношения площадей многоугольников также сохраняются. 7) Не обязательно сохраняются отношения длин отрезков непараллельных прямых, углы. 14

15

16

Преобразование прямых линий Прямую линию можно определить с помощью двух векторов, задающих координаты ее конечных точек. [А] = [0 1] и [В] = [2 3]- положение векторов точек 17

Численное интегрирование: 18