СПб ГУТ ))) Кафедра ИКС Курс лекций по дисциплине Теория телетрафика
Содержание: Основные понятия теории телетрафика Модель обслуживания общего вида Дисциплины обслуживания в инфокоммуникационных сетях Потоки вызовов ( ПВ) Характеристики потоков вызовов Простейший поток вызовов Другие потоки вызовов Время обслуживания Нагрузка Характеристики качества обслуживания
Элементарные системы теории телетрафика Система M/M/1 Система M/M/∞ Система M/M/V/K, K=V+S Система M/M/V/K/N, V=K Графические методы построения инфокоммуникационных сетей и систем Имитационное моделирование
Введение В данном курсе будут рассматриваться методы, предназначенные для планирования перспективных сетей и систем связи, методы прогнозирования, выбора структуры сетей и систем, а также методы оценки качества обслуживания Структура курса: • математические модели, используемые для изучения процессов в системах массового обслуживания • математические модели для изучения структуры сетей и систем ( графовые модели) • имитационные модели • методы для определения качества обслуживания
Основные понятия теории телетрафика ( ТТТ) Всякая система или сеть связи выполняет задачи передачи информации(хранение, передача, тиражирование, извлечение). Для выбора оптимальных вариантов реализации этих процессов часто используются методы теории передачи информации (ТПИ), теории обработки информации( ТОИ), теории распределения информации (ТРИ) Теория телетрафика (ТТТ) является частью ТРИ. Теория распределения информации разрабатывает методы построения расчета и функционирования сетей и систем связи(распределяет ресурсы между пользователями).
В качестве ресурсов подразумевается: -Элементы коммутации; - Средства управления; - Каналы связи. ТРИ имеет 3 основных раздела: Øтеория структур; Ø теория управления; Ø ТТТ ( теория телетрафика). ТС (теория структур): ТС – конструирование систем распределения информации ( связана с применением теории графов). Использование алгебраических методов, связанных с теорией матриц, и другие методы, относящиеся к математической кибернетике.
ТУ (теория управления): ТУ – обеспечивает управление различными системами и сетями. Методы связаны с решением вариационных задач, в том числе и управление распределением информационных потоков. ТТТ (теория телетрафика): ТТТ – это исследование вероятностных процессов функционирования систем и сетей связи. (включает методы теории вероятностей и математической статистики) ТТТ включает в себя 4 группы задач: Ø изучение потоков информации в инфокоммуникационных сетях и систем обычно полезный эффект работы систем и сетей заключается в доставке информации. Информационное сообщение передается или в случайный или в детерминированный момент времени. Если рассматривать только моменты поступления, то можно говорить о потоках вызова. Поток вызова(требования, заявок) может иметь различную структуру и интенсивность. Большинство потоков вызовов подвержены случайным колебаниям сложного характера.
Ø изучение нагрузки, создаваемой потоком вызова. * доставка информации влечет за собой выполнение определенной работы. Независимо от исхода, каждая попытка обработки информационного сообщения приводится к занятию определенных ресурсов. При этом создается нагрузка, которая характеризует интенсивность обмена информации. Нагрузка характеризуется как интенсивностью, так и длительностью занятия каждого вызова сетей и систем. Ø расчет необходимого объема ресурсов сетей и систем о поступающей нагрузке с учетом требуемого качества обслуживания. Ø установление закономерностей между потоком вызовов, нагрузкой и объемом необходимого оборудования с целью обеспечить удовлетворительное качество обслуживания при наименьших затратах (необходимость решения задачи оптимального построения сетей и систем)
Модель обслуживания общего вида Система распределения информации может быть представлена следующим образом: А - процесс поступления вызовов В – процесс обслуживания вызовов S - ОЧЕРЕДЬ V – число обслуживающих приборов N – источники вызовов S + V = K емкость накопителя системы ПОВ Поток обслуженных вызовов
Удобно описывать характеристики любой системы в краткой форме в виде пяти символов по классификации Кендалла: A/B/V/K/N A – характеризует закон поступления вызовов в систему. Обычно этот закон записывается в виде функции распределения промежутков между вызовами. А(х) , где х – длина промежутка ( длительность) В – характеризует процесс обслуживания вызовов. Описывается через функцию распределения длительности обслуживания. В(х), где х – длительность обслуживания. V – количество обслуживающих приборов. min = 1 – однолинейная система обслуживания max = ∞ - немедленная система обслуживания K = S + V – ёмкость накопителя системы N – число источников ( заявок, вызовов, требований ) Некоторые позиции в классификации могут принимать значения ∞, либо отсутствовать, если этот символ последний.
Пример : A / B / V / ∞ / N - система с бесконечной очередью A / B / V – бесконечное число источников с бесконечной очередью Если процессы А и В относятся к классу случайных марковских процессов, то в классификации это отражается символом «M» Пример: M / V / K /N Марковский процесс обладает свойством : будущее не зависит от прошлого и определяется только настоящим. Если функции распределения обладают марковским свойством, то она точно имеет вид показательного распределения : eµt Другим вариантом функции распределения является детерминированная функция: D / V С точки зрения обслуживания детерминированное распределение менее удобно, поэтому такие модели чаще рассчитываются с помощью численных методов. Если процесс определить трудно, то он считается процессом общего вида и обозначается G / V / K / N - наихудший случай для расчета ( самый сложный )
Дисциплины обслуживания в инфокоммуникационных сетях
Рассмотрим три дисциплины обслуживания: 1. Дисциплина обслуживания с отказами и повторными вызовами ПНВ ПВ Система РИ ППВ ПВ – поток вызовов ПНВ – поток не обслуженных вызовов ПОВ – поток обслуженных вызовов ППВ – поток потерянных вызовов ПОВ
Система распределения информации (РИ) предоставляет вызовам ресурсы. Обслуживание считается успешным, если оно заканчивается в ПОВ. Успешный поток образует ПОВ. Неуспешный поток – ППВ, который покидает систему. Однако часть вызовов, не получающих успешного обслуживания, может послать повторный вызов, который учитывается как ПНВ. Обычно абонент проявляет настойчивость предпринимает от двух до четырех попыток. Модель хорошо описывает реальные процессы, но на практике используется редко из-за сложности математического аппарата.
2. Дисциплина обслуживания с потерями ПВ Система РИ ПОВ ППВ Данная модель характеризуется тем, что вызов, поступивший в момент занятости ресурсов, получает отказ. В такой системе каждый вызов, в том числе и повторный, воспринимается как новый вызов. Модель удобна для расчета оборудования системы с ограниченными ресурсами. Многие реальные модели вполне соответствуют данной, а математический аппарат значительно проще.
3. Дисциплина обслуживания с ожиданиями ПНВ ПВ очередь Система РИ ПОВ В данной модели нет явных потерь вызовов, так как любой вызов будет ожидать обслуживания. Процесс обработки информации начинается с того, что вызов становится в очередь; по мере освобождения ресурсов, вызов получит обслуживание. В случае неуспешного обслуживания вызов возвращается на вход в систему, то есть в очередь.
Время пребывания такой модели вызовов: T=ɣ+t ɣ - время ожидания t – время обслуживания Такая модель хорошо соответствует процессам, связанным с управляющими устройствам систем сетей связи, а также процессам, происходящим при коммутации пакетов.
Потоки вызовов (ПВ)
ПВ – последовательность вызовов, поступающих в детерминируемые или случайные моменты времени, при непрерывном течении этого времени. t t 0 t 1 t 2 t 3 Существуют три способа задания потоков вызовов: 1. При помощи поступления промежутков вызовов ti t 0 , t 1 , t 2, . . . 2. При помощи промежутков между вызовами z 0, … zi = ti - ti-1 3. При помощи последовательности чисел k 1 , k 2 …, характеризующих количество вызовов, поступающих на отрезках времени: [ 0, t 1 ) , [ 0, t 2 ) , [ 0, t 3 )
Все способы эквивалентны. Реальные потоки вызовов обладают свойствами, которые помогают упростить описание этих потоков К их числу относятся : -Стационарность; - Ординарность; - Наличие или отсутствие последействия. 1. Стационарность Стационарный поток вызовов – это такой поток, в котором характер поступления вызовов на некотором промежутке времени зависит от длины промежутка, но не зависит где на оси времени промежуток расположен. t 0 ∆ t 1 ∆t 2
Пример. В поток вызовов, поступающих на телефонную станцию в течение суток У – уровень нагрузки Эрл Уmax ЧНН Суточное изменение нагрузки ЧНН – час наибольшей нагрузки 0 2 Ч Для практики можно считать такой поток стационарный.
2. Ординарность Ординарный поток вызовов – поток, если вероятность поступления двух вызовов одновременно есть величина бесконечно малая, то есть практически не может произойти. t t+Ƭ t Ƭ -> 0 Пk (t, t + Ƭ) – вероятность того, что на полуоткрытом промежутке t, t + Ƭ поступит k более вызовов. П 2 (t, t + Ƭ) = 0(Ƭ), t, Ƭ -> 0 Как правило, большинство потоков является ординарным.
3. Последействие Поток вызовов последействия существует тогда, когда характер поступления вызовов от момента начала наблюдения за потоком не зависит от того, что происходило до этого момента. t t = t 0 Примеры. -Поток вызовов на узел коммутации обычно является потоком без последействия, если количество источников вызовов достаточно велико. -вызовы от ограниченного числа источников - вызовы на перегруженное направление
Характеристики потоков вызовов
Характеристиками потока вызовов являются: 1. Ведущая функция потока Ʌ(t) 2. µ - интенсивность потока 3. ƛ (t) – параметр ƛ (t) определяется как математическое ожидание числа вызовов в интервале от 0 до t. ƛ (t): - Неубывающая - Неотрицательная - Имеет конечное значение µ различается для стационарных (средняя µ )и нестационарных (характеризуется мгновенной µ )потоков Ʌ(t) = µ*t ƛ (t) = lim [П 1 (t, t + Ƭ)]/ Ƭ при Ƭ->0 Рассмотрим разницу между ƛ и µ на следующем примере:
Пусть есть два потока вызовов, момент вызовов которых совпадает 1 – ординарный ПВ 2 – неординарный ПВ t t 1 2 1 2 Так как моменты вызовов совпадают, то ƛ 1 = ƛ 2 µ 1 = µ 2
Простейший поток вызовов
Основная математическая модель создается большим числом источников. Если ограничить наблюдения за потоком таким интервалом, где его характеристики стационарны, и считать, что один источник создает только один вызов в момент времени, то есть обладает свойством ординарности, то такой поток является простейшим. Простейший поток – это стационарный поток без последействия. Простейший поток вызовов можно описать двумя способами: 1 способ: А(х) – функция распределения промежутков между вызовами. 2 способ: описать при помощи функции распределения числа событий потока, которые происходят на отрезке t.
Рассмотрим подробнее способы описания простейшего потока вызовов: 1 способ: А(х) : Р{ z <= x} , где Р – вероятность того, что интервал будет меньше, либо равен заданному числу х. А(х) : Р{ z <= x} = П 1(х) при t = х – поступает один или более вызовов Например: (-ƛ П 1(х) = П 0 (х) – Р 0 (х) = 1 – е (-ƛх) П 0 : 0 1 2 3. . . П 1 : 1 2 3. . . Р 0 = 0 вызовов (-ƛ А(х) = Р{z <= x} = 1 - е (-ƛх)
ƛ 3 ƛ 2 ƛ 1 < ƛ 2 < ƛ 3 ƛi характеризует частоту => интервалы потока вызовов (y) с большим ƛ будут меньше формула Пуассона: Pk (t) = ((ƛt)k / k! )*e(-kƛ), k = 0, 1, 2… Pk (t) – вероятность того, что к моменту времени t в систему поступило k вызовов 1)при объединении нескольких простейших потоков вызовов с параметром ƛ общ = ƛ 1 + ƛ 2 + … + ƛn 2) µ = ƛ для простейшего потока вызовов 3)k(среднее значение) = ƛ*t 4) Dk = ƛ*t
5) Исследуем функцию Пуассона 1 ƛ 3 ƛ 2 ƛ 1 0 1 2 3 4 Pk (t) является дискретным распределением, то есть имеет распределением смысл при k >= 0 При больших k Pk -> 0 C увеличением ƛ его максимальное Значение смещается вправо: ƛ 1 < ƛ 2 < ƛ 3 , а при ƛ*t > 10 огибающие уже в значительной мере соответствуют распределению, которое является законом распределения непрерывной случайной величины 6) Zср = 1/ƛ Dz = 1 / ƛ^2
Другие потоки вызовов
На практике встречаются потоки с последействием. Поток вызовов с последействием – это ординарный поток , для которого в любой момент времени t существует конечный параметр потока в этом состоянии t : ƛ s (t) Частные случаи – это симметричный поток вызовов Для симметричного потока вызовов величина : ƛ s зависит от числа вызовов, которые обслуживаются в системе в данный момент времени ƛ s (t) = : ƛ i Частный случай симметричного потока вызовов – это примитивный поток вызовов ƛ s (t) = α(N- i) α – коэффициент пропорциональности, численно равный первого источника i – число занятых источников N - i - число свободных источников Частный случай примитивного потока вызовов – простейший поток
Простейший поток вызовов : ƛ s (t) = ƛ Также к потокам с простым последействием относятся потоки с повторными вызовами: ƛ s (t) = ƛ s 1 (t) + ƛ s 2(t) ƛ s 1(t) – первичного потока ƛ s 2 (t) – повторного потока Если первичный поток вызовов – простейший, то: ƛ s (t) = ƛ +jβ, где j – число источников повторных вызовов β – интенсивность повторений Если первичный поток вызовов – примитивный, то: ƛ s (t) = α(N- i) + jβ
Время обслуживания
Время обслуживания может быть как случайным, так и детерминированным. Рассмотрим два важных распределения длительности обслуживания: 1) Показательное 2) Детерминированное (регулярное) Показательное распределение длительности обслуживания: В(х) = P{t <=x} = 1 – e(-βx) B(x) tcp- среднее время обслуживания (на графике отсекает равновеликие части) 1 В целях упрощения математических расчетов вводится tcp = 1 cp 0 tcp
Детерминированное распределение длительности обслуживания : B(x) = P{t<=x} = 0, 0 <= x <= t 1, x >= t B(x) 1 0 tcp = const
Нагрузка
Доставка информации характеризуется: 1) работой, вносимой в систему 2) работой, исполненной системой 3) работой, незавершенной системой (остаточная, избыточная работа) Каждый вызов вносит в систему работу, измеряемую временем. 1. Математическое ожидание: МА (t 1, t 2) = µ(t 2 – t 1) * t µ - интенсивность нагрузки 2. Для обслуженной нагрузки: МУ(t 1, t 2) = x *(t 2 -t 1) 3. U(t 1, t 2) = A(t 1, t 2) – y(t 1, t 2) Нагрузка измеряется в часозанятие Обычно рассматривают нагрузку в единицах времени, то есть интенсивность нагрузки. За единицу времени в России и европейских странах принимают 1 час, в США – 1 cекунда. 1 Эрл = часозанятие / час
Для интенсивности нагрузки : 1) y = µ* t 2) y 0 = x 3) u = y - y 0 y = N* c *t‾ c - среднее число вызовов от первого источника t - среднее время обслуживания первого вызова
Характеристики качества обслуживания
Дисциплины обслуживания различают явные и неявные(потерянные). Явные потери связанны с потерей конкретного вызова. Условные потери связанны с потерей времени на ожидании обслуживания. Виды потерь: а) Рt – доля времени, в течение которого поступающие вызовы не находят свободных обслуживающих приборов. б) Рв = Спот / С - вероятность безуспешного вызова. в) Рс = L*Pв(1 – α) – вероятность того, что поступивший вызов не будет успешного завершения. Вероятность измеряется в % или ‰ – промилле Пример: Пусть на систему в течении некоторого времени поступило 1000 вызовов. 5 из вызовов было потеряно. Тогда потеря по вызовам составила : Рв = Спот / С = 5/1000 = 0, 5 % = 5 ‰
Для систем с ожиданием ( то есть системы, по которым фиксируются условные потери) также используются следующие характеристики качества: P{ɣ > 0} вероятность того, что вызов придется ожидать * не дает картины того, как распределяется вызовы ожидания P{ɣ > t} вероятность того, что время начала обслуживания > t обычно ɣ, t измеряются в единицах длительности обслуживания ɣ - среднее время ожидания начала обслуживания j - среднее число вызовов, находящихся в ожидании ɣ з – среднее время ожидания обслуживания среди тех вызовов, которые будут ожидать ɣ <= ɣ з При малых потерях значения времени поступающих и обслуживающихся вызовов совпадают.
k = ƛ * T - связь между показателями качества ( формула Литлла) k - среднее число вызовов в системе ƛ – параметр потока вызовов T – среднее время пребывания вызовов в системе T = ɣ + t k = ƛ (ɣ + t )= ƛ * ɣ + ƛ* t = k s + k v
Элементарные системы теории телетрафика (ТТТ)
A(x) B(x) M Рассмотрим идею статистического равновесия и получим основополагающее равенство теории телетрафика Эрланг предположил описывать переходы системы с помощью диаграммы состояния перехода. Состояние системы характеризуется числом вызовов. Это число записывается в овал(круг) ; каждое число соединяется направленными ребрами в соответствии с возможными переходами. К ребрам приписывают числа, которыми характеризуются процессы поступления и обслуживания вызовов. ƛ 0 0 ƛ 1 1 β 1 ƛ 2 i 2 β 2 ƛi ƛi-1 β 3 βi Βi+1
Эрланг предположил, что в стационарном состоянии системы ее переходы будут удовлетворять условия сохранения: для каждого состояния системы входной поток событий должен быть равен исходящему потоку событий. Пусть вероятность пребывания в системе равно Pi . В соответствии с условием сохранения, для состояния i: выходит ƛi Pi +βi Pi входит ƛi-1 Pi-1 +βi+1 Pi+1 (ƛi +βi )Pi = ƛi-1 Pi-1 +βi+1 Pi+1 равенство справедливо ∀i =0, 1, 2… Є N+ Исходя из этих рассуждений было получено выражение для определения вероятности нахождения в системе: основополагающее равенство теории телетрафика: ∃i = k =0, 1, 2. . Є N+ k-1 ∞ x Pk = П (ƛi /βi+1 ) /ƩП(ƛi /βi+1 ) i=0 x=0 i=0
Система M/M/1 Модель обслуживания простейшего потока однолинейным пучком при показательном законе распределения длительности обслуживания. Данная модель используется при расчете систем коммутации. Для простейшего потока вызовов ƛi = ƛ = const Pk= (1 -ƛ / β)*(ƛ/β)k ƛ < β Условие устойчивости системы: Рассмотрим график: k = (ƛ /β)/(1 -ƛ / β) T = (1/ β)/(1 -ƛ / β) – среднее время пребывания в системе ƛ / β=y
Pk k 0 1 2 3 4 5 k 0 1 ƛ / β=y T t=1/ β 0 1 ƛ / β
Система M/M/∞ Модель обслуживает простейший поток вызовов бесконечно линейным пучком при показательном законе распределения длительности обслуживания и с немедленным обслуживанием. Для данной модели ( получено из основополагающего равенства) Формула Пуассона Pk ƛ / β ƛ/β k = ƛ / β T = k / ƛ=1/ β= t 0 1 2 3 4 5 k
Система M/M/V Модель обслуживает простейший поток вызовов v- линейным пучком при показательном законе распределения длительности обслуживания и с неограниченным числом мест для ожидания. Изобразим диаграмму перехода состояний для простейшего потока вызовов и показательного закона распределения длительности обслуживания: ƛ 0 ƛ 1 β ƛ ƛ 3β Для данной системы основополагающее равенство: iβ ƛ v i 2 2β ƛ ƛ (1+i) β vβ vβ
Для данной модели главной характеристикой является: Pt=P{ɣ>0} -вероятность того, что ɣ>0 Формула Эрланга Рt – табулирована и находится в приложении 4 Более полной характеристикой является: Pt=P{ɣ>t} ɣ -время ожидания Pt=P{ɣ>t} = Pt=P{ɣ>0} *e -β(v-y)*t
Пусть t|| > t| следовательно вероятность того, что время ожидания будет больше Pз=P{ɣ>t} P{ɣ>t||} < P{ɣ>t|} Если рассмотреть вероятность ɣ>t для задержанных вызовов, то вероятность того, что Pз{ɣ>t|} >= P{ɣ>t} ɣ – среднее время ожидания ɣ = P{ɣ>0} / β*(v- ƛ / β) ɣ з = 1 / β*(v- ƛ / β) Pз{ɣ>t} P{ɣ>t} t|| t j - = ɣ * ƛ - частный случай формулы Литтла. ƛ
Система M/M/V/K, где K=V K = V + S – длина очереди Система обслуживания простейшего потока вызовов V – линейным пучком при экспоненциальном законе распределения длительности обслуживания без мест для ожидания. Данная модель используется для расчета числа приборов, а также в других процессах системы коммутации каналов. ƛ 0 ƛ 1 β ƛ ƛ v 2 2β 3β vβ первая формула Эрланга( из основополагающ его равенства ТТТ)
Потери по времени, которые соответствуют вероятности пребывания по времени: Определение значения Pk удобно выполнять по рекуррентным формулам: Если v→∞, то следует, что первая формула Эрланга переходит в формулу Пуассона
M/M/V/K/N, где V=K Очередь в данной системе не предусматривается, так как N – конечно. Система обслуживает поток вызовов при экспоненциальному закону распределения длительности обслуживания v-линейным пучком без мест для ожидания(система с потерями). Данная модель описывает процессы обслуживания при ограничении количества источников вызова. Диаграмма состояний переходов: ƛ 0 = N*α ƛ 1 = (N-1)*α ƛ 0 = (N-2)*α ƛv-1 = (N-v+1)*α ƛ 0 1 β v 2 2β 3β vβ
ƛ 0 = N*α – отражает интенсивность первого источника Из основополагающего равенства ТТТ : Из основополагающего равенства ТТТ Формула Энгсета Для данной системы важной характеристикой является величина потерь по времени t, равная вероятности пребывания в системе. Эти величины связаны с вероятностью потери по вызовам следующим соотношением: Рв(N, a, v) = Pt(N+1, a, v)
Если N →∞ α→ 0 N*α = const →данная модель переходит в M/M/V/K, K=V Формула Энгсета переходит в первую формулу Эрланга а = (1/β)/(1/β+1/α) Пример расчетов: Дано: V=3, ƛ=2, β=1 Работает в режиме с явными потерями, обеспечивая обслуживание ППВ при экспоненциальному распределению длительности обслуживания. Определить: P 0 , P 1 , … Pt и математическое ожидание числа занятых линий Мv. Решение: 1. Определение модели M/M/V/K, K=V 2. определение формулы : первая формула Эрланга 3. определение таблицы: приложение 2 методическое пособие по дисциплине ТТТ
Графические методы построения инфокоммуникационных сетей и систем
Как известно, математические модели и методы, использующиеся для построения инфокоммуникационных сетей и систем, можно разделить на три группы: Первая группа : Системы массового обслуживания, которые базируются на результатах теории телетрафика. Теория телетрафика изучает вероятностно- временные характеристики процессов, которые происходят в таких системах и решает четыре задачи: 1) анализ входного потока 2)Нагрузка телетрафика 3) Качество обслуживания(потери) 4)Синтез новых систем с заданными параметрами Вторая группа: Графические модели, которые удобны для решения задач, связанных со структурами сетей. Третья группа: Имитационное моделирование. Оно связано со статистическими исследованиями процессов с использованием моделей.
Рассмотрим модель фрагмента сети в виде графа: b 12 a 1 a 2 b 01 a 7 b 02 b 03 a 0 b 06 b 04 a 6 b 56 a 3 a 5 b 45 a 4 Количество вершин определяет количество узлов в сети. Местоположение вершины ai позволяет указать координаты той точки, в которой размещается узел. Длина ребра bij обычно обозначает протяженность линии связи или её ij пропускную способность или стойкость. Такой граф считается удобной моделью для различных характеристик телекоммуникационных сетей.
Данный граф имеет 8 вершин и 9 ребер и является неориентированным. В ориентированном графе каждое ребро будет иметь направление(к примеру направление передачи информации). Смешанные графы содержат направленные и ненаправленные ребра. В теории сетей и систем используются графы без петель. Иногда петля бывает полезной, если вершина графа представляет собой конденсатор, то наличие петли будет отражать тот факт, что часть трафика сосредоточена внутри узла. Обозначим ранг вершины R(ai) как число инцидентных ( входных и выходных ) ей ребер. Например: R(ai): min R(a 3) = 1 max R(a 0) = 6 Вершины, соединенные ребром, называются смежные. Обозначим µij – путь между двумя вершинами ai и aj, который представляет собой упорядоченный набор ребер, который начинается в ai и заканчивается в aj. В любом пути ни одна вершина не должна встречаться дважды. Между каждой парой может существовать несколько путей. Если эти пути содержат непересекающееся множество вершин и ребер, то их называют независимыми. Путь, который выбран для передачи информации, называется маршрутом. Различают также ранг пути: R(µij ) – число ребер между вершинами ai и aj. R(µij ) не может быть <1, если нет изолированных вершин.
Рассмотрим другой пример графа, который является моделью сетей доступа MBK 5 MBK 6 РТ 211 MBK 4 MBK 3 MBK 2 РТ 212 РК 21 РК 22 РТ 221 РТ 222 Созданные транспортные ресурсы могут использоваться и для других коммутируемых сетей. Изобразим данную сеть в виде графа:
a 5 a 6 a 211 a 212 a 1 a 4 a 3 a 21 a 221 a 222 Индексы, содержащие разное число чисел указывает на то, что ребро проложено на разных уровнях иерархии. Фрагмент графа между a 2 и a 211 является типичным примером древовидной топологии. При разработке модулей телекоммуникационных сетей используются графы со следующими структурами:
Полносвязная структура Сотовая структура Звездообразная структура Решетчатая
Полносвязная структура Все вершины соединены по принципу «каждая с каждой» . Число ребер с N вершинами будет M = N(N-1)/2 Сети с такой структурой отмечаются самой высокой надежностью, однако более затратны по числу линий. Используется для построения центральной части сети, а также при небольшом количестве узлов сети. Звездообразная структура Характеризуется тем, что одна из вершин – центральная. Такая структура имеет низкую надежность, но небольшое число ребер. Часто используется для построения сельских телефонных сетей. Сотовая структура и решетчатая похожи между собой. Сотовая известна по принципу создания современных сетей и систем с подвижными объектами. Сотовая и решетчатая используются для возможных построений транспортных сетей. Отличаются высокой подвижностью и высокой экономичностью, чем полносвязная структура. Каждая модель – базовая. Другие модели образуются из них различными способами Например: удаление некоторых ребер из полносвязной структуры. Этим способом можно получить кольцевую, звездообразную, древовидную структуры.
Граф может быть представлен матрицей: Ca = Ø 1 - 1 Ø Ø 1 1 Ø Ø Ø -
Имитационное моделирование
Имитационное моделирование – это метод построения такой модели, которая описывает процессы так, как они происходили бы в действительности. Такие модели можно реализовать однократно или многократно. Результат работы модели определяется случайным характером процессов. При многократном использовании модели можно получить достаточные статистические данные. Имитационное моделирование – частный случай математического моделирования, используется для таких объектов, для которых не разработаны аналитические модели и методы решения. Имитационные модели используются для экспериментирования с помощью вычислительных средств для проектирования, анализа и оценки качества функционирования системы. К имитационному моделированию прибегают в следующих случаях: 1. Дорого и невозможно экспериментировать на реальном объекте. 2. Невозможно построить аналоговую модель, в следствие нелинейности и случайности происходящих в системе процессов. 3. Необходимо сымитировать поведение системы во времени, то есть временем модели можно управлять: - замедлять при быстро протекающих процессах - ускорять при медленно протекающих процессах
Имитация как метод решения нетривиальных задач появилась в 50 -60 -е годы XX века Можно выделить две разновидности имитации: 1. метод Монте – Карло(метод статистических испытаний) 2. метод имитационного моделирования(статистическое моделирование) Метод Монте-Карло состоит из трех составляющих: 1)Моделирование случайных величин, подчиняющихся различным распределением: - равномерного - показательного - нормального и т. д. Существует множество способов получения случайных величин. Равномерно распределенную случайную величину на отрезке [0, 1] можно получить из дискретно-случайной величины, равновероятно принимающей значения 0 или 1 с помощью генератора псевдослучайных чисел. Затем с помощью требуемого закона распределения получим необходимую случайную величину. 2) Моделирование системы массового обслуживания. Обычно максимально упрощают процесс обслуживания, сохраняя лишь существенное. Часто можно заменять реальный процесс марковским с вероятностными свойствами реального, что приводит к большой экономии ресурсов. 3) Определение точности и достоверности результатов моделирования. Общее время моделирования разбивается на n равных отрезков(серий). В каждой серии проводится равное число испытаний m ( число поступающих вызовов).
Для каждой серии определяется экспериментальное значение исследуемой характеристики по формуле: xi = ri / m, где ri – число появлений исследуемого события После завершения моделирования определяется математическое ожидание: n x = Ʃх / n МО : i=1 D – дисперсия n Dx = (1/(n-1))* Ʃ(хi - x )2 i=1 Итог: оценка точности и достоверности результатов проводится по некоторому критерию( коэф. Стьюдента, Хи – квадрат и др. ) Вывод: использование статистического моделирования позволяет исследовать процесс и получить его характеристики со сколь угодно точностью, но при условии правильного отражения основных свойств системы в модели.
2. Метод имитационного моделирования(статистическое моделирование) Существует три подхода : -Агентное моделирование используется для исследования децентрализованных систем, динамика функционирования которых определяется не глобальными правилами и законами, а наоборот – какие правила и законы образуются в результате индивидуальной активности пользователей. Цель таких моделей – получить представление об общем поведении системы, исходя из предположений о частном поведении ее отдельных активных объектов и их взаимодействие в системе. Агент – некая сущность, обладающая активностью, которая может принимать решения в соответствии с некоторым набором правил. Может взаимодействовать с окружением и изменяться. -Дискретно- событийное моделирование предлагает абстрагироваться от непрерывной природы событий и рассматривать только основные события моделируемой системы. Например: ожидание, обработка, вход-выход в систему. -Системная динамика – метод моделирования, в котором исследуемые системы строятся практическими диаграммами причинных связей и влияния одних параметров на другие. Затем созданная на основе этих диаграмм модель имитируется на компьютере.
Имитационное моделирование наряду со своими достоинствами ( возможность описания процессов в системе на высоком уровне детализации, отсутствие ограничений между параметрами имитирующей модели и реальным процессом, возможность исследования во времени и пространстве)имеет недостатки: -Разработка хорошей имитационной модели стоит дорого и требует больших временных затрат. -Если имитационная модель не точна, то степень этой неточности оценить затруднительно. Вывод: Тем не менее имитационное моделирование является одним из наиболее широко используемых перспективных методов при решении задач синтеза и анализа в сложных процессах и системах.
