СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА Большой интерес к простым числам Мерсенна вызван их тесной связью с совершенными числами. Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих собственных делителей. Первый важный шаг в построении теории совершенных чисел был сделан еще Евклидом, который установил, что формула Pn=2 n-1·(2 n-1) дает совершенное число всякий раз, когда 2 n-1 оказывается простым (для этого необходимо, чтобы n было простым). Евклид 365 - ок. 300 до н. э
ИСТОРИЯ СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ Первым прекрасным совершенным числом, о котором знали математики Древней Греции, было число « 6» . Следующим совершенным числом было « 28» . 6=1+2+3 28=1+2+4+7+14 Третье совершенное число — 496 (при n=5), четвёртое — 8128 (при n=7).
ИСТОРИЯ СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ Проверим, что числа 496 и 8128 совершенные. Каноническое разложение числа а: , где - различные простые делители числа а, - кратности их вхождения в разложение числа а на простые сомножители. Т е о р е м а (о сумме делителей). Если – каноническое разложение числа а, то сумма всех натуральных делителей числа а вычисляется по формуле:
496=16*31=24*311 Сумма всех натуральных делителей: Сумма собственных делителей: 992 -496=496. 8128=64*127=26*1271. Сумма всех натуральных делителей: Сумма собственных делителей: 16256 -8128=8128.
ИСТОРИЯ СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ Пятое совершенное число 33 550 336 обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). Оно соответствует n=13. Ещё через двести лет Марен Мерсенн без всяких доказательств заявил, что следующие шесть совершенных чисел должны иметь также «евклидовскую» форму со значениями n, равными 17, 19, 31, 67, 127, 257. Современникам Мерсенна было совершенно очевидно, что сам Мерсенн никак не мог проверить. непосредственным вычислением своё утверждение, ведь для этого он должен был предварительно доказать, что числа 2 n-1 с указанными им значениями n являются действительно простыми.
ИСТОРИЯ СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ В XVI веке немецкий ученый Шейбель нашел еще два совершенных числа: 8 589 869 056 (шестое число), 137 438 691 328 (седьмое число). Оказалось, что оба эти числа совпадают с теми, на которые указывал Мерсенн: 216(217 -1) и 218(219 -1). Восьмое совершенное число, которому соответствует n=31 в формуле Евклида, равно: 2 305 843 008 139 952 128. Девятое совершенное число 2305843009213693951*260 – содержит 37 цифр (1883 г, И. М. Первушин).
ИСТОРИЯ СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ В начале XX века были найдены еще 3 совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX в. , когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, ранее превосходившие человеческие возможности. Так в 1952 году было найдено еще 5 совершенных чисел. 23216(23217 -1) – восемнадцатое совершенное число, около 2000 цифр ( сентябрь 1957 г). Поиски последующих совершенных чисел требовали все большего и большего объема вычислений. Но вычислительная техника непрерывно совершенствовалась.
ИСТОРИЯ СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ И в 1962 году было найдено два новых совершенных числа, а в 1965 году – ещё три. Этим числам соответствуют в формуле Евклида значения n, равные соответственно 4 253, 4 423, 9 689, 9 941 и 11213. Совершенное число 211212·(211213 -1) имеет 3376 цифр. Конечно, только благодаря такому помощнику, как вычислительная машина, человек сумел установить, что это огромное число является совершенным. На апрель 2010 года известно 47 чётных совершенных чисел.
ИСТОРИЯ СОВЕРШЕННЫХ ЧИСЕЛ Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также, бесконечно ли множество всех совершенных чисел. Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, имеет не менее 9 различных простых делителей и не менее 75 простых делителей с учетом кратности.
Некоторые свойства *Все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел. Например, 28=13+33. * Все чётные совершенные числа являются треугольными числами; кроме того, они являются шестиугольными числами, то есть могут быть представлены в виде n(2 n− 1). Например, 28=4*(2*4 -1). * Сумма всех чисел, обратных делителям совершенного числа (включая его самого), равна 2. Например, * Все чётные совершенные числа (кроме 6) заканчиваются в десятичной записи на 16, 28, 36, 56, 76 или 96.
ПРИМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ФАКТЫ v Шестое место считалось самым почетным на пирах у древних римлян. v В библейских преданиях утверждается, что мир создан был в шесть дней. v В Риме в 1917 году при выполнении подземных работ обнаружилось помещение одной из древнейших академий: вокруг большого центрального зала были расположены 28 келий - как раз по числу членов академии. v Луна совершает оборот вокруг Земли каждые 28 дней. v Руки человеческие можно объявить совершенным орудием по той причине, что в десяти пальцах насчитывается 28 фаланг.
Применение Числа Мерсенна долгое время были абсолютно бесполезными, как, впрочем, и совершенные числа. Но в настоящее время на простых числах Мерсенна основана защита электронной информации, а также они используются в криптографии и других приложениях математики. На практике простые числа Мерсенна применяются для построения генераторов псевдослучайных чисел с большими периодами, таких, как вихрь Мерсенна.
Открытые проблемы До сегодняшнего дня важнейшими остаются следующие вопросы: 1. существует ли нечетное совершенное число? 2. существует ли наибольшее четное совершенное число?
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ * Варпаховский А. С. Тайны совершенных чисел и дружественные пары. // Квант. – 1973. – № 10. – с. 71 -74. * Депман И. Я. Совершенные числа. // Квант. – 1991. – № 5. – с. 13 -17. * Мартынов Л. М. Элементы алгебры и теории чисел, 2 -е изд. – Омск: Сиб. АДИ, 2006. – 195 с. * Черемушкин A. В. Лекции по арифметическим алгоритмам по криптографии. – М. : МЦНМО, 2002. – 104 с. * * http: //dic. academic. ru/dic. nsf/ruwiki/5319 http: //hypatia. magomir. ru/ariph/lesson 17. html
Скачать презентацию СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА Большой интерес к простым числам Мерсенна
СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА.ppt