Сопротивление материалов сопромат Часть 4 1 Основные

Сопротивление материалов (сопромат) Часть 4

1. Основные положения 1. 1 Сопромат – раздел механики, изучающий методы расчета простейших элементов конструкций и деталей машин на прочность, жесткость и устойчивость. Прочность – способность элемента конструкции сопротивляться нагрузке не разрушаясь. Жесткость – способность элемента конструкции сопротивляться нагрузке, получая лишь малые упругие деформации. Устойчивость – способность элемента конструкции сохранять первоначальную форму равновесия под действием приложенных сил.

Понятие прочности Способность детали или конструкции сопротивляться действием внешних сил не получая значительных пластических деформаций и не разрушаясь (не распадаясь на две и более частей) называется прочностью. F F F Деталь разрушается, то есть распадается на две или более частей. Теряет прочность В детали возникают значительные пластические деформации, которые на исчезают после снятия нагрузки. Теряет прочность

Понятие жесткости Способность детали или конструкции сопротивляться изменению своих первоначальных форм и размеров называется жесткостью. Деформации, возникающие в конструкции под действием приложенных сил являются упругими, и не оказывают негативного влияния на ее работу.

Понятие устойчивости Конструкция или деталь называется устойчивой, если в результате действия на нее заданных нагрузок она сохраняет первоначальную форму упругого равновесия. Не устойчива F F Не устойчива F Устойчива

Основной задачей сопротивления материалов является разработка методов расчета на прочность, жесткость и устойчивость с целью получения надежных и экономически обоснованных размеров элементов конструкций Цели расчёта: Определение размеров деталей или внешних нагрузок, при которых исключается возможность разрушения деталей или появления недопустимых с точки зрения нормальной работы конструкции деформаций этих деталей

8

9

10

1. 2 Переход от реального объекта к расчётной схеме Условное изображение конструкции или детали принимаемое для выполнения расчета, называется расчетной схемой. Расчетная схема выбирается так, чтобы существенно упростить расчет, не искажая действительной картины работы конструкции или детали Схематизация свойств материала • Однородность - свойства материала во всех точках одинаковы. • Изотропность - свойства материала во всех направлениях одинаковы. • Сплошность – непрерывность пространства тела • Идеальная упругость – способность материала восстанавливать начальную форму и размеры после снятия нагрузки.

Схематизация формы элементов конструкций l h d брус или стержень l >> d b a пластинки h

13

Классификация сил: F A 1. Сосредоточенные и распределённые 2. Внешние и внутренние 3. Статические (не изменяются во времени) и динамические (изменяются во времени) 4. Постоянные и временные q=q(s) F s y F 1 F 3 My RRN x Mz z M 0 Rz Qy O Rx Qy Mx F 2 F 4 x

Внутренние силовые факторы • Под внутренними силами, в сопротивлении материалов, понимают силы взаимодействия между отдельными элементами конструкции или между частями элемента, возникающие под действием внешних сил.

1. 3 Метод сечений заключается в мысленном рассечении тела плоскостью и рассмотрении равновесия любой из отсечённых частей. F 3 z B Mz П F 1 Qz F 4 N A П F 2 Mx x Qy y My Внутренние силовые факторы: N – продольная сила Qy, Qy – поперечные силы Mx, My, Mz – моменты относительно осей Mx – крутящий момент, My, Mz – изгибающие моменты

Напряжения - мера, характеризующая распределение внутренних сил по сечению (аналогичны давлению) F 1 A – элементарная F 2 площадь – среднее напряжение A pср – полное напряжение на элем. площадке F Внешние силы Внутренние усилия Напряжения

Составляющие полного напряжения – нормальное напряжение, перпендикулярное рассматриваемой площадке x y x tyx tzx z A В плоскости полное напряжение раскладывается на две составляющих – касательные напряжение, касательны к рассматриваемой площадке

1. 4 Перемещения и деформации Перемещения – переход точек тела в новое положение вследствие изменения формы и размеров тела под действием нагрузки. Деформация в точке – изменение первоначального размера элемента. Как оценить деформацию? Рассмотрим параллелепипед со сторонами dx, dy, dz Пусть за счет деформации длины его ребер dy y получат абсолютные удлинения dx, dy и dz: dy Относительные линейные деформации в точке: z x dx dz dz

• Кроме линейных деформаций, связанных с изменением размеров линейных элементов, бывают угловые деформации или • углы сдвига, связанные с изменением формы. • Например, в плоскости xy могут возникать малые • изменения первоначально прямых углов параллелепипеда. x y xy dy x dx

Основные виды простых деформаций: • растяжение/сжатие, • сдвиг, • изгиб, • кручение, • срез.

1. 5 Растяжение и сжатие При растяжении-сжатии в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор – продольная сила N (направлена вдоль оси стержня) Участком нагружения считается часть бруса между внешними силами.

Три участка нагружения Y y X A B I II I x MB F 1 = 20 к. Н F 2 = 30 к. Н F 3 = 25 к. Н II X II 20 II X = F 1 - F 2 + F 3 = 15 к. Н 15 + 10 - + Эп N (к. Н)

Эпюра продольной силы – график распределения продольной силы вдоль оси бруса. • Ось эпюры параллельна продольной оси. • Нулевая линия проводится тонкой линией. Значения сил откладывают от оси, положительные вверх, отрицательные вниз. • В пределах одного участка значение силы не меняется, поэтому эпюра очерчивается отрезками прямых линий, параллельными оси Oz. • Правило контроля: в месте приложения внешней силы на эпюре должен быть скачок на величину приложенной силы. • На эпюре проставляются значения Nz. Величины продольных сил откладывают в заранее выбранном масштабе. • Эпюра по контуру обводится толстой линией и заштриховывается поперек оси.

Гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений): Поперечные сечения при деформации не искривляется, т. е. остаются плоскими при растяжении-сжатии все продольные волокна удлиняются на оду и ту же величину.

При растяжении/сжатии в поперечном сечении действуют только нормальное напряжение А x N нормальное напряжение в поперечном сечении стержня

При определении напряжений брус разбивают на участки нагружений, в пределах которых продольные силы не изменяются, и учитывают места изменений площади поперечных сечений.

Деформации при растяжении и сжатии «до» деформации b b 1 «после» деформации l l - удлинение стержня, l b = b 1 – b – сужение стержня Ведем относительные деформации: - продольная деформация - поперечная деформация 28

Коэффициент Пуассона (коэффициент поперечных деформаций) Пуассон заметил: - Const для каждого материала Коэффициент Пуассона – отношение относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации при растяжении или сжатии стержня Для изотропных материалов: Сталь: ~ 0. 25 … 0. 3 Медь: ~ 0. 4 Бетон: ~ 0. 15 Резина: ~ 0. 5

Закон Гука В 1676 году Роберт Гук в результате экспериментов с упругими телами установил связь напряжений и деформаций x = E E – модуль продольной упругости Сталь: E ~ 2· 105 МПа Медь: E ~ 1· 105 МПа Бетон: E ~ 104 … 105 МПа Алюминий: E ~ 7· 104 МПа ([E] = МПа)

• Закон Гука выполняется в зоне упругих деформаций, которая определяется при испытаниях на растяжение по диаграмме растяжения

закон Гука для удлинения жесткость стержня при растяжении Определение деформации бруса под нагрузкой и сравнение её с допускаемой называют расчётом на жёсткость

Условие прочности при растяжении: [ ] – допускаемое напряжение Разрывная машина – стандартное оборудование для испытаний на растяжение и сжатие Образцы для испытаний

• Материалы условно делятся на хрупкие (а) и пластичные (б)

Предельные и допускаемые напряжения •

Три вида расчётов на прочность •

1. 6 Срез и смятие • Сдвигом называется нагружение, при котором в поперечном се чении бруса возникает только один внутренний силовой фактор поперечная сила. Она вызывает касательные напряжения • Изначально перпендикулярные площадки сдвигаются на угол , называемый углом сдвига а абсолютный сдвиг

Закон Гука при сдвиге •

Условие прочности при сдвиге (срезе) •

Смятие •

Детали, работающие на сдвиг (срез) и смятие: оси, болты, шпонки, заклёпки, сварные соединения

1. 7 Геометрические характеристики плоских сечений При растяжении, сжатии, смятии и сдвиге деталь сопротивля ется деформации всем сечением одинаково. Здесь геометрической характеристикой сечения является площадь. При кручении и изгибе сечение сопротивляется деформации не одинаково, при расчетах напряжений появляются другие геометрические характеристики сечения, влияющие на сопротивления сече ния деформированию. • Статический момент площади сечения • Центробежный момент инерции • Осевые моменты инерции • Полярный момент инерции сечения

Главные оси и главные моменты инерции • Главные оси это оси, относительно которых осевые момен ты инерции принимают экстремальные значения: минимальное и максимальное. • Главные центральные моменты инерции рассчитываются относительно главных осей, проходящих через центр тяжести.

1. 8 Кручение •

Эпюры крутящих моментов • Крутящие моменты могут меняться вдоль оси бруса. • Крутящий момент считаем положительным, если моменты внешних пар сил направлены по часовой стрелке, в этом случае мо мент внутренних сил упругости направлен против часовой стрелки. • Порядок построения эпюры моментов аналогичен построению эпюр продольных сил.

• При кручении возникает напряженное состояние, называемое чистый сдвиг. • При сдвиге на боковой поверхности элемента 1234 (а) возникает касательные напряжения, равные по величине (в), элемент деформируется (г). • Материал подчиняется закону Гука τ = G , • G — модуль упругости при сдвиге, Н/мм 2; — угол сдвига, рад.

Эпюра распределения касательных напряжений при кручении Мк — крутящий момент в сечении; ρВ — расстояние от точки В до центра; τВ — напряжение в точке В; max — максимальное напря жение

Условие прочности при кручении где [тк] — допускаемое напряжение кручения. Wp – полярный момент сопротивления сечения

Виды расчётов • Проектировочный расчет — определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении: • Проверочный расчет — проверяется выполнение условия прочности • Определение нагрузочной способности (максимального крутящего момента) • Расчет на жесткость – определяется деформация и сравнивается с допускаемой.

1. 9 Изгиб • Изгиб – вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникает внутренний силовой фактор изгибающий момент. • Брус, работающий на изгиб, называют балкой. • Если все силы лежат в одной плоскости, изгиб называют плоским (может быть прямой и косой)

• Чистый изгиб – в поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент. • Поперечный изгиб – в поперечном сечении бруса возникает изгибающий момент и поперечная сила.

Знаки поперечных сил и изгибающих моментов • Поперечная сила в сечении считается положительной, если она стремится развернуть сечение по часовой стрелке (а), если против, отрицательной (б). • Если действующие на участке внешние силы стремятся изогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент считается положительным (а), если наоборот отрицательным (б).

Дифференциальные зависимости прямом поперечном изгибе •

Основные правила построения эпюр • Для участка, где нет распределенной нагрузки, поперечная сила постоянна, а изгибающий момент меняется по линейному закону. • Если поперечная сила на участке равна нулю, изгибающий момент постоянен (чистый изгиб), график прямая линия, параллельная продольной оси. • В том месте, где к балке приложена внешняя сосредоточенная сила, на эпюре Q возникает скачок на величину приложенной силы, а на эпюре моментов излом. • В сечении, где к балке приложена пара сил (сосредоточенный момент), на эпюре Ми возникает скачок на величину момента этой пары. Поперечная сила при этом не изменяется. • В сечении на конце балки поперечная сила равна приложенной в этом сечении сосредоточенной силе или реакции в заделке. • На свободном конце балки или шарнирно опертом конце момент равен нулю, за исключением случаев, когда в этом сечении приложена пара сил (внешний момент).

Деформация при чистом изгибе • возникает только один внутренний силовой фактор — изгибающий момент. • Абсолютное удлинение слоя l=y d • Относительное удлинение =y/

Нормальное напряжение при изгибе •

Рациональные формы сечения деталей, работающих на изгиб • двутавровые (I), швеллерные (II), коробчатые (III), трубчатые (IV), несимметричный двутавр (V).

Касательные напряжения при изгибе • Появляются в продольных слоях балки. • Наибольшие значения достигаются на центральной оси. • Для длинных балок их величины незначительны. Расчёт по касательным напряжениям выполняется: для коротких балок , нагруженных значительными поперечными силами вблизи опор; для тонкостенных профилей (двутавр, швеллер)

1. 10 Сочетание основных видов деформаций • Напряженное состояние в точке характеризуется нормальными и касательными напряжениями, возникающими на всех площадках (сечениях), проходящих через данную точку. • Точку принято изображать в виде маленького параллелепипеда. • Обычно определяют напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через рассматриваемую точку.

Главные напряжения • Три взаимно перпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения называются главными, а нормальные напряжения, возникающие на них, называются главными напряжениями: σ1 , σ2 , σ3 • Максимальное обозначают σ1, минимальное — σ3.

Виды напряженного состояния: • объемное (трехосное) – все три главных напряжения не равны нулю (а); • плоское (двухосное) – одно из главных напряжений равно нулю (б); • линейное – если лишь одно из главных напряжений не равно нулю (в).

Понятие о сложном деформированном состоянии • Совокупность деформаций, возникающих по различным напра влениям и в различных плоскостях, проходящих через точку, определяют деформированное состояние в этой точке. • Сложное деформированное состояние возникает, если деталь одновременно подвергается нескольким простейшим нагружениям. • Сложность расчёта состоит в том, что отсутствуют экспериментальные данные о предельных напряжениях.

Теории прочности •

1. 11 Устойчивость сжатых стержней • Относительно короткие и массивные стержни рассчитывают на сжатие, т. к. они выходят из строя в результате разрушения или остаточных деформаций. • Длинные стержни небольшого поперечного сечения под действием осевых сжимающих сил изгибаются и теряют равновесие. Такие стержни работают на изгиб и сжатие.

• Равновесие считают устойчивым, если за счет сил упругости после снятия внешней отклоняющей силы стержень восстановит первоначальную форму. • Если упругое тело после отклонения от равновесного положения не возвращается к исходному состоянию, то говорят, что произошла потеря устойчивости, а равновесие было неустойчивым. • Потерю устойчивости под действием центрально приложенной продольной сжимающей силы называют продольным изгибом.

• На устойчивость равновесия влияет величина сжимающей силы. • Наибольшее значение сжимающей силы, при которой прямолинейная форма стержня сохраняет устойчивость, называют критической силой.

1. 12 Сопротивление усталости • Многие детали машин работают в условиях переменных во времени напряжений. • Совокупность последовательных значений переменных напряжений за один период процесса их изменения называется циклом. • Обычно цикл представляют в виде графика, в котором по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат — напряжения.

Напряжения • Цикл характеризуется максимальным σmах, минимальным σтin и средним напряжениями σ т. • Рассчитывается среднее σт, амплитуда цикла σа и коэффициент асимметрии цикла R • Все приведенные определения и соотношения аналогичны для касательных напряжений.

Симметричный, отнулевой и другие циклы • Цикл, при котором максимальное и минимальное напряжения равны по величине и обратны по знаку, называют симметричным циклом • Остальные циклы называют асимметричными. Часто встречается отнулевой, или пульсирующий, цикл, минимальное напряжение при этом цикле равно нулю, среднее напряжение равно амплитуде.

• Переменные напряжения возникают в осях вагонов, рельсах, рессорах, валах машин, зубьях колес и многих других случаях.

• Под действием переменных напряжений в материале возникает микротрещина, которая под действием повторяющихся напряжений растет в глубь изделия. Края трещины трутся друг о друга, и трещина быстро увеличивается. Поперечное сечение детали уменьшается, и в определенный момент случайный толчок или удар вызывает разрушение.

• Появление трещин под действием переменных напряжений называют усталостным разрушением. • Усталостью называют процесс накопления повреждений в материале под действием повторно переменных напряжений. • Характерный вид усталостных разрушений — трещины и часть поверхности блестящая в изломе. Такой характер излома вызван многократным нажатием, зашлифованностью частей детали. • усталостное разрушение происходит при напряжениях ниже предела прочности, а часто и ниже предела текучести

Выносливость материала • Способность материала противостоять усталостным разрушениям зависит от времени действия нагрузки и от цикла напряжений. При любой деформации нагружение с симметричным циклом наиболее опасно. • Опытным путем установлено, что существует максимальное напряжение, при котором материал выдерживает, не разрушаясь значительное число циклов. • Наибольшее (максимальное) напряжение цикла, при котором не происходит усталостного разрушения образца из данного материала после любого большого числа циклов, называют пределом выносливости.

• Для определения предела выносливости изготавливают серию одинаковых образцов и проводят испытания при симметричном цикле изгиба. Образцы имеют цилиндрическую форму, гладкую поверхность (полированную) и плавные переходы. • Образцы устанавливают на испытательную машину и нагружают так, чтобы напряжение составляло примерно 80% от предела прочности. После некоторого числа циклов образец разрушается. Фиксируют максимальное напряжение и число циклов до разрушения. • Испытания повторяют, постепенно снижая нагрузку на каждый последующий образец и фиксируя число циклов до разрушения образцов.

• По результатам испытаний строят график зависимости между максимальным напряжением и числом циклов нагружений до разрушения. График называют кривой усталости (рис). В большинстве случаев после числа циклов нагружений более 107 кривая приближается к прямой, параллельной оси абсцисс.

n — число циклов нагружения; σR — предел выносливости: σ 1 — предел выносливости при симметричном цикле (R=1); σ0 — предел выносливости при от нулевом цикле (R = 0); nбаз число циклов, при котором определяют предел выносливости (базовое число циклов). • Если провести испытания при асимметричном цикле, кривая ляжет выше, т. е. выносливость материала повысится. • Предел выносливости, определенный путем стандартных испытаний, является одной из механических характеристик материала. • • •

Факторы, влияющие на сопротивление усталости 1. • • Концентрация напряжений. Возникает в местах, где имеются резкие изменения размеров, отверстия, резьба, острые углы (большие местные напряжения). В этих местах возникают усталостные трещины, которые могут приводить к разрушению детали. Местные напряжения значительно выше номинальных напряжений, возникающих в гладких деталях. Влияние концентрации напряжений учитывается коэффициентом Ка. • 2. Размеры детали. • В деталях больших размеров возможны внутренняя неоднородность, инородные включения, незаметные микротрещины. Влияние размеров учитывается масштабным фактором Kd. • Kd — масштабный коэффициент, коэффициент влияния абсолютных размеров. 3. Характер обработки поверхности. • Поверхность может быть шероховатой, покрытой следами от резца, т. е. ослабленной, а может быть усиленной специальными методами упрочнения: азотированием, поверхностной закалкой, цементацией. При отсутствии специального упрочнения поверхностный коэффициент меняется от 0, 6 до 1. • При специальной обработке он может быть больше единицы: поверхность оказывается прочнее сердцевины.

• THE END