СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 1 Общие сведения 1 1

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

1. Общие сведения 1. 1. Задачи сопротивления материалов. Сопротивление материалов - это раздел механики, в котором изучается поведение твердых деформируемых тел при различных видах нагружения. В этой науке одинаково важную роль играют теоретические исследования и эксперимент. При этом для описания поведения конструкции выводятся математические формулы, а свойства материалов можно определить только экспериментальными методами. Задачами сопротивления материалов являются расчеты на прочность, жесткость и устойчивость.

Прочность – это способность конструкции или ее отдельных элементов выдерживать внешние нагрузки без разрушения. Жесткость - это способность конструкции или ее отдельных элементов сопротивляться изменению первоначальной формы и размеров. Устойчивость – способность тела сохранять первоначальную форму равновесия. В отличие от статики, тела не считаются абсолютно твердыми, то есть под действием сил расстояние между точками тела изменяется. Под действием внешней нагрузки внутри тела возникают силы, которые стремятся вернуть частицы тела в исходное положение. Эти силы называются внутренними силами или силами упругости.

1. 2. Допущения в сопротивлении материалов. Для упрощения расчетов на жесткость и прочность приходится прибегать к некоторым допущениям о свойстве материалов и характере деформаций. 1. Материалы, из которых изготавливаются элементы конструкций считаются однородными, сплошными и имеющими одинаковые свойства во всех направлениях. Следует отметить, что для некоторых материалов это свойство не выполняется, например, прочность дерева вдоль и поперек волокон неодинакова. 2. Перемещения, возникающие в упругих телах, малы по сравнению с размерами этих тел (допущение о малости деформаций). Это позволяет не учитывать изменения положения приложенных сил.

Например, если балка прогнется под действием силы F на достаточно большую величину (рис. 2. 1), то расстояние от точки приложения силы до заделки, а, следовательно, и момент ее, уменьшится. 3. Перемещения точек тела в известных пределах прямо пропорциональны приложенным нагрузкам. Так, если прогиб балки под действием силы F равен f, то под действием силы, равной 3 F, будет равен 3 f (рис. 2. 2, а и б).

4. Идеальная упругость - свойство тел принимать первоначальную форму и размеры после снятия нагрузки (рис. 2. 2, в). Эта способность также соблюдается только при определенном интервале нагрузок.

5. Принцип независимости действия сил. Если, например, перемещения конструкции вызывается несколькими силами, то конечная форма тел не зависит от порядка приложения сил. Например, если под действием двух сил перемещение точки А балки равно f, то это перемещение не зависит от того, какая сила была приложена первой, или они были приложены одновременно (рис. 2. 3). Некоторые другие гипотезы будут приведены в следующих разделах.

1. 3. Типы элементов. В сопротивлении материалов, как правило, рассматриваются не вся машина или строительная конструкция целиком, а их отдельные элементы, которые можно свести к простейшим типам. Стержнем (брусом ) называется элемент, длина которого значительно превышает поперечные размеры (рис. 2. 4, а). Ось стержня может быть прямолинейной или криволинейной. Балкой называют стержень, воспринимающий, в основном, поперечную нагрузку. Пластина - это тело, один из размеров которого (толщина) значительно меньше, чем два других, и срединная поверхность которого представляет собой плоскость (рис. 2. 4, б). Оболочки отличается от пластин лишь тем, что их срединная поверхность представляет собой криволинейную поверхность (рис. 2. 4. , в)

Массивные тела имеют соизмеримые все три размера. В основном курсе сопротивления материалов рассматриваются, в основном, стержневые элементы, а остальные изучаются в специальных разделах.

1. 4. Метод сечений. Для определения внутренних сил тело мысленно разрезается на две части, любая из которых отбрасывается, а вместо нее к сечению прикладываются внутренние силы, оставленная часть рассматривается как тело, находящееся в равновесии под действием внешних и приложенных к сечению внутренних сил. Если внешние силы лежат в одной плоскости, то внутренние силы в сечении приводятся к продольной силе N, поперечной - Q и паре сил с моментом М, называемым изгибающим моментом. Их величину можно определить из уравнений равновесия тела.

1. 5. Напряжения. При произвольной нагрузке внутренние усилия распределяются по сечению неравномерно и не перпендикулярны плоскости сечения. Выделим в сечении элемента бесконечно малую площадку площадью d. A, на которую действует внутреннее усилие d. R (рис. 2. 6). Разложим эту силу на две составляющие - d. N - осевую силу , которая направлена перпендикулярно плоскости сечения, и d. Q - поперечную силу, которая параллельна плоскости сечения.

Напряжениями в данной точке называется интенсивность внутренних сил. Они найдутся по формулам: (2. 1) (сигма) нормальное напряжение – составляющая напряжения, нормальная к плоскости сечения, (2. 2) (тау) касательное напряжение - составляющая напряжения, касательная к плоскости сечения. Напряжения имеют размерность силы, деленной на площадь. В системе СИ для измерения напряжений служит ньютон на квадратный метр, названный Паскалем - Па (Па=Н/м 2). Так как эта единица мала, в практических расчетах применяется мегапаскаль ( 1 Мпа = 106 Па = =1 Н/мм 2). Из других единиц чаще всего используется килограмм - сила на квадратный сантиметр (кгс/см 2), а также к. Н/см 2. Соотношения между этими единицами : 1 МПа 10 кгс/см 2.

Чтобы избежать разрушения элементов сооружений и машин возникающие в них напряжения не должны превышать допускаемых напряжений, то есть максимальных значений напряжений, обеспечивающих безопасную работу материала. Допускаемые напряжения [ ] и [ ] зависят от предельных напряжений пред и пред, при которых исчерпывается прочность материала, и коэффициента запаса - n, показывающего во сколько раз допускаемое напряжение должно быть меньше предельного: (2. 3) Значения коэффициентов запаса зависят от условий эксплуатации элементов, из которых они изготовлены.

1. 6. Деформации и перемещения. Под действием внутренних сил все тела деформируются, то есть изменяют свою форму и размеры. Изменение линейных размеров называется линейной деформацией, изменение угловых размеров, угловой деформацией. Отношение абсолютной деформации к первоначальному размеру l называется относительной деформацией (2. 4) эта величина является безразмерной. Деформации, исчезающие после разгрузки, называются упругими, а сохраняемые после разгрузки – остаточными. Зная деформации тела во всех его точках и зная условия закрепления, можно определить положения точек после деформации, то есть их перемещения.

2. Растяжение и сжатие 2. 1. Напряжения и деформация. Рассмотрим призматический стержень (рис. 2. 5), который растягивается двумя приложенными на концах силами F, вызывающими равномерное растяжение стержня. Мысленно проведем в произвольном месте сечение плоскостью mm, перпендикулярной его оси и рассмотрим равновесие отсеченной правой части. К правому концу его будет приложена внешняя сила F, а к левому - силы, с которыми левая часть стержня действует на правую- внутренние силы.

Предполагая, что эти силы распределяются по всей площади сечения равномерно, можно найти интенсивность этих сил – то есть нормальное напряжение: (2. 5) где А - площадь поперечного сечения стержня. Если стержень, как показано на рисунке, растягивается, то возникающие напряжения называются растягивающими, если силы имеют противоположное направление - то сжимающими. Увеличение длины стержня, нагруженного осевой силой, обозначим L. Относительным удлинение или относительная деформация будет равна: (2. 6)

При растяжении стержня возникает деформация растяжения, а при сжатии - деформация сжатия, при которой соседние поперечные сечения сжимаются.

2. 4. Закон Гука. Большинство конструкционных материалов, как пластичных, так и хрупких, имеют начальный участок диаграммы зависимостей напряжений от деформаций, где материал ведет себя упруго и линейно. Такие материалы называются линейно-упругими. Линейная зависимость между напряжением и деформацией выражается зависимостью: =E (2. 7) Величина Е носит название модуль упругости материала, а формула (2. 7) - закон Гука. Модуль упругости имеет ту же размерность, что и напряжение (для стали Е=2 105 МПа). Для большинства материалов модуль упругости при сжатии и растяжении одинаков.

Когда стержень нагружен только растягивающими силами, напряжения и деформации равны: s =F/A, e = DL/L. Подставляя эти соотношения в закон Гука получим формулу для вычисления удлинения стержня: (2. 8) Произведение модуля упругости на площадь сечения стержня - EA - называется жесткостью стержня при растяжении или сжатии.

2. 5. Коэффициент Пуассона. При действии на стержень растягивающей нагрузки одновременно с удлинением стержня наблюдается уменьшение размеров поперечного сечения (рис. 2. 8).

Относительная поперечная деформация будет равна: Отношение поперечной и продольной деформации называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона: Эксперименты показали, что коэффициент Пуассона для металлов имеет значения от 0, 25 до 0, 35.

2. 6. Построение эпюр продольных сил и напряжений при растяжении и сжатии. Рассмотрим стержень переменного сечения, нагруженный двумя осевыми силами F 1 = 1 КН и F 2 = 2 КН (рис. 2. 9, а). Диаметры участков стержня составляют: d 1 =20 мм и d 2 =30 мм, а длина участков одинакова и составляет 100 мм. Пренебрегая собственным весом, определить внутренние силовые факторы и максимальное напряжение в стержне. Определим внутренние силовые факторы во всех поперечных сечениях стержня. Для этого разделим стержень на два участка ВС и СD. Рассечем стержень на первом участке сечением 1 -1 и рассмотрим равновесие отсеченной части. Составим уравнение проекций всех сил на этом участке на ось Z: ΣFkz = 0; N 1 - F 1 = 0.

Отсюда внутреннее усилие в произвольном сечении первого участка N 1 = F 1 =1 KH = 1000 H.

Затем рассечем стержень в произвольном месте второго участка сечением 2 -2 и составим уравнение равновесия отсеченной части: ΣFkz = 0; N 2 - F 1 +F 2 = 0. N 2 =F 1 -F 2 =1000 -2000 = -1000 H. Знак "плюс" говорит о том, что на первом участке стержень испытывает деформацию растяжения, а знак "минус" показывает, что на втором участке стержень сжимается. Изменение продольной силы по длине стержня удобно представить в виде диаграммы, называемой эпюрой продольных сил. Эпюра продольных сил для рассматриваемого стержня показана на рис. 2. 9, б. Она показывает, что в каждом сечении одного участка продольная сила одинакова.

При растяжении или сжатии стержней из однородного материала поперечные сечения, достаточно удаленные от точек приложения сил, остаются плоскими и перемещаются поступательно в направлении деформации. Это положение называется гипотезой плоских сечений. На основании этого можно считать, что все точки одного сечения находятся в одинаковых условиях и напряжения по сечению распределены равномерно. Их значения можно найти, как отношение продольной силы к площади сечения. Так как площадь круга А= d 2/4, то на первом участке

На втором участке: Эпюра продольных напряжений показана на рис. 2. 9, в. Из эпюры видно, что максимальное напряжение в стержне равно 3, 18 Н/мм 2.

2. 7. Определение продольных перемещений. Найдем перемещение концевого сечения стержня, изображенного на рис. 2. 9, при условии, что он изготовлен из стали (Е=2 105 Н/мм 2). Для однородного стержня, нагруженного осевой силой, перемещение концевого сечения можно вычислить по формуле (2. 8). Для ступенчатого стержня, нагруженного несколькими осевыми силами, надо найти удлинение каждого участка и просуммировать их алгебраически. Тогда формула (2. 8) примет вид: (2. 9) где i - количество участков, - соответственно осевая сила, длина, модуль упругости и площадь каждого участка.

Для указанного стержня i=2, то есть Подставляя значения получаем: мм.

2. 8. Расчеты на прочность при растяжении и сжатии. Прочность стержня при осевом растяжении или сжатии обеспечивается, если для каждого его поперечного сечения наибольшее расчетное напряжение не превосходит допускаемого: (2. 10) C помощью формулы (2. 10) можно решать три вида задач. 1. Проверка прочности. При заданных продольной силе N и площади поперечного сечения А определяют расчетное напряжение и сравнивают его с допускаемым. Превышение расчетного напряжения над допускаемым не должно быть больше 5 %, иначе прочность детали считается недостаточной. Если рабочие напряжения значительно меньше допускаемых, то данные конструкции являются неэкономичными, с чрезмерным расходом материала.

Так, для конструкции, приведенной в предыдущем примере максимальной расчетной напряжение составило 3, 18 Н/мм 2, а допускаемое напряжения на растяжение для стали марки Ст2 составляет 140 Н/мм 2. 2. Подбор сечения (проектный расчет). Исходя из формулы (2. 10), можно определить размеры поперечного сечения, зная его форму, осевое усилие и допускаемое напряжение. Решив неравенство относительно площади сечения А получим: (2. 11) Для стержня, изображенного на рис. 2. 9, который имеет круглое поперечное сечение, A 1 = d 12/4, или то есть прочность стержня обеспечивается, если его диаметр составлял бы 3 мм.

3. Определение допускаемой продольной силы. Решая неравенство (2. 10) относительно силы N, можно найти максимально допустимую осевую силу: [N] [ ]A. (2. 12) Так, при диаметре стержня на первом участке 20 мм, максимально допустимая осевая сила составляет: N = d 12/4 =140. 3, 14 202/4 = 4, 4 104 H.

2. 3. Механические испытания и свойства материалов. Свойства материалов, из которых изготавливаются элементы конструкций, можно определить из испытания образцов, изготовленных из этих материалов, на растяжение. Стандартные образцы имеют цилиндрическую форму. Концы образцов закрепляются в специальной разрывной машине. При растяжении образца фиксируется сила F, которой он растягивается, и его удлинение ΔL, затем вычисляются напряжение σ и относительная деформация e по формулам (2. 1) и (2. 2), а затем строится диаграмма зависимости напряжения от деформаций. Типичный вид диаграммы для конструкционной стали показан на рис. 2. 7, а. На диаграмме выделены характерные точки - F, B, C, D и Е. На первом участке от точки О до А напряжения прямопропорциональны деформациям, и диаграмма соответствует линейной зависимости.

Максимальное напряжение на этом участке обозначается σпц и называется пределом пропорциональности. Для обычных сталей он составляет 200 -250 Мпа, а для высокопрочных может быть больше. При дальнейшем увеличении нагрузки деформация растет быстрее, пока в точке В не начнут возникать значительные деформации без увеличения нагрузки (течение материала). Напряжение в точке В - σT называется пределом текучести. На участке ВС стержень удлиняется в 10 -15 раз больше, чем до предела пропорциональности. В точке С материал начинает упрочняться и появляется дополнительное сопротивление нагрузке, носящее нелинейных характер (участок СD). Точка D диаграммы определяет наибольшее напряжение, которое может выдержать материал и называется пределом прочности (временным сопротивлением)- σв.

На последнем участке - DE происходит резкое сужение образца (образуется шейка) и площадь его уменьшается. В точке Е образец обрывается. Снижение напряжений объясняется не потерей прочности, а именно уменьшением площади и действительные напряжения возрастают вплоть до разрыва. Наличие предела текучести характерно именно для стали, для алюминия имеет место плавный переход от линейной к нелинейной зависимости. Как в стали, так и в алюминиевых и медных сплавах, разрушению предшествуют большие деформации, поэтому такие материалы называются пластичными. Диаграмма растяжения хрупких материалов показана на рис. 2. 7, б. Как видно из рисунка они разрушаются при сравнительно низких деформациях. К таким материалам относятся чугун, керамика, бетон, некоторые сплавы металлов и стекло.

Для пластичных материалов в качестве предельного напряжения принят предел текучести, а для хрупких предел прочности. По результатам испытания можно определить модуль упругости материала. Из рис. . видно, что модуль упругости равен тангенсу угла наклона начального участка диаграммы: tg = / =E.

3. Срез и смятие 3. 1. Расчеты на срез Срезом или сдвигом называется деформация, возникающая под действием двух близко расположенных и противоположно направленных сил. При этом в сечениях, параллельных этим силам, возникают касательные напряжения (рис. 2. 10).

В первом приближении можно считать, что касательные напряжения распределяются по сечению равномерно, поперечная сила Q в сечении уравновешивается силой F. В этом случае касательные напряжения равны: τ = Q/Aср, где Аср - площадь среза. Условие прочности элементов, работающих на срез, имеет вид: τ = Q/Aср ср , (2. 13) где ср - допускаемое касательное напряжение. Величину допускаемого напряжения назначают на основании испытаний на срез. Обычно принимают ср =(0, 25 -0, 35)σт, где σт - предел текучести данного материала.

3. 2. Деформации при сдвиге. Квадратный элемент, выделенный из места деформации при сдвиге, после деформации принимает вид ромба (рис. ). Величина называется чистым сдвигом, а отношение - относительным сдвигом. Между напряжением и деформацией установлена зависимость, которая выражает закон Гука при сдвиге где G – модуль сдвига ( модуль упругости второго рода

3. 3. Расчеты на смятие. Смятием называется местная деформация сжатия на площадке передачи давления. При этом возникают нормальные напряжения, которые являются местными, их величина быстро уменьшается при удалении от площадки соприкосновения элементов (рис. 2. 11).

Напряжения смятия распределяются по поверхности неравномерно, однако поскольку закон их распределения неизвестен, то их считают равномерно распределенными по поверхности смятия. Проверку прочности элементов на смятие производят по формуле: см =Q/Aсм cм , (2. 14) где Aсм - площадь смятия, cм - допускаемое напряжение смятия. В машиностроении для различного рода крепежных деталей, изготовленных из стали, принимают cм =100 - 170 Н/мм 2.

2. 5. Кручение 2. 5. 1. Чистый сдвиг. Брус, на который действует пара сил, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси бруса, испытывает деформацию, называемую кручением. Рассмотрим кручение тонкостенной трубки (рис. 2. 12). При действии на нее крутящего момента образующие цилиндра поворачиваются на угол . При этом в элементе бруса возникают касательные напряжения, под действием которых этот элемент перекашивается, а прямые углы между гранями также изменятся на угол , то есть испытывают деформации сдвига Напряженное состояние элемента, при котором возникают только касательные напряжения, называется чистым сдвигом.

Касательные напряжения и угол сдвига связаны прямой пропорциональностью, то есть законом Гука: = G (2. 15)

Коэффициент пропорциональности G называется модулем сдвига или модулем упругости второго рода и имеет размерность напряжения, так как угловая деформация является величиной безразмерной. Между модулем упругости Е и модулем сдвига G существует зависимость, подтвержденная опытом: где m - коэффициент Пуассона. Для стали, например G=0, 8 105 МПа. (2. 16)

5. 2. Напряжения и деформации при кручении вала. При кручении валов круглого и кольцевого сечений их поперечные сечения сохраняют плоскую форму, а радиусы этих сечений, поворачиваясь, не искривляются, то есть для расчета их прочности и жесткости применима гипотеза плоских сечений. Рассмотрим элемент вала длиной L (рис. 2. 13, а). Учитывая малость деформаций длину дуг ВВ 1 и СС 1 можно найти как произведение радиусов вращения на углы поворота: BB 1 = max. L = r ; CC 1 = L = , откуда max = r/L; = /L или = max /r.

Таким образом, угол сдвига в поперечном сечение прямо пропорционален расстоянию от оси вала - r. Сдвиг отдельных элементов вала сопровождается возникновением в его поперечных сечениях касательных напряжений, которые могут быть определены по закону Гука для сдвига: = G max /r, max = G max, откуда = max /r, то есть касательные напряжения в поперечном сечении меняются по длине радиуса по линейному закону. Сдвиг в поперечных сечениях при кручении происходит по направлению касательных к окружностям, поэтому направление касательного напряжения в какой-либо точке перпендикулярно соответственному радиусу (рис. 2. 13, б).

Выделим элементарную площадку площадью d. A, которая находится на расстоянии от центра бруса. Элементарная внутренняя сила, действующая на нее d. Q = d. A, а момент ее относительно оси бруса d. M= d. Q = d. A. Cумма моментов всех внутренних сил, возникающих в поперечном сечении равна крутящему моменту в сечении Мk и определяется интегралом, взятом по площади: Так как

Интеграл - то есть представляет собой полярный момент инерции сечения. Таким образом, куда максимальное касательное напряжение (2. 17) Формулу (2. 17) можно представить в виде: (2. 18) где величина Wp = Jp/r называется полярным моментом сопротивления сечения.

Для сплошного кругового сечения Jp = pd 4/32, Wp = p d 3/16. Угол закручивания бруса: Подставляя (2. 19) получим: Угол , рассчитанный по формуле (2. 19), измеряется в радианах. Данная формула справедлива лишь для участка с постоянным поперечным сечением и крутящим моментом. В других случаях угол закручивания найдется как алгебраическая сумма углов поворота на различных участках вала.

4. 3. Построение эпюр крутящих моментов. При нагружении вала несколькими парами для расчетов на прочность и жесткость возникает потребность нахождения сечения с максимальным моментом. Для этого необходимо знать внутренние крутящие моменты в каждом сечении. Графики этих моментов, построенные на оси вала, называются эпюрами крутящих моментов. При равномерном вращении вала для построения эпюр можно воспользоваться уравнением равновесия системы пар: ΣMкz = 0. Этим уравнением следует воспользоваться для каждого характерного участка вала. Рассмотрим пример (рис. 2. 14). На вал действуют 4 пары сил с моментами М 1 = М 2 = 1000 Нм, М 3 =5000 Нм и М 4 = 3000 Нм, направление их указано на чертеже. Построить эпюру крутящих моментов.

Выделим у вала 3 участка с одинаковыми моментами внутренних сил. Сделаем сечение в произвольном месте первого участка и составим уравнение равновесия этого участка: ΣMкz = 0; M 1 k - M 1 = 0; M 1 k = M 1 =1000 Hм. Для второго участка: M 2 k - M 1 -M 2 =0; M 2 k =M 1 + M 2 = 1000 + 1000 = 2000 Hм. Для третьего: M 3 k - M 1 -M 2 +M 3 = 0; M 3 k = M 1 +M 2 - M 3 =1000 +1000 -5000 = - 3000 Нм. Величина крутящих моментов на каждом участке будет одинакова.

4. 4. Расчеты на прочность и жесткость при кручении. Прочность при кручении бруса круглого сплошного или кругового сечения определяется условием: (2. 20) Формула (2. 20) может служить основой для трех видов расчетов. 1. Проверочный расчет. При этом известен максимальный крутящий момент и размеры поперечного сечения и используется непосредственно формула (2. 20). 2. Подбор сечения (проектный расчет). Из формулы (2. 24) выражается Wp: Wp Mk/ k (2. 21) Для сплошного кругового сечения Wp =pd 3/16, подставляя в формулу (2. 21) получим:

3. Определение допускаемого крутящего момента, когда известны размеры поперечного сечения и допускаемое напряжение: (2. 22) Допускаемое напряжение для сталей марок сталь 40 и сталь 45 принимаются в пределах [ k]=30 -50 МПа. Кроме соблюдений условий прочности проектировании валов требуется, чтобы вал обладал достаточной жесткостью, то есть чтобы угол закручивания не превосходил некоторой предельной величины. Например, в зубчатых передачах при больших углах закручивания валов происходит перекос зубьев и заклинивание. Расчетный угол закручивания может быть найден по формуле (2. 19). Угол закручивания на единицу длины: (2. 23)

В зависимости от назначения вала допускаемый угол закручивания принимают [b]=(0, 45 -1, 75) 10 -2 рад/м, что соответствует (0, 25 -1, 0) град/м. С помощью формулы (2. 23) решаются три задачи, аналогичные задачам расчета на прочность- проверочный расчет, проектировочный и то такой изгиб называется поперечным, а если только изгибающий момент - то чистым. Элементы конструкций, работающих на изгиб, называются балками. Если нагрузки действуют в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей сечения, например через плоскость симметрии балки, то такой изгиб называется прямым (рис2. 16, а), а если плоскость действия сил не совпадает с плоскостью симметрии балки, то косым (рис. 2. 16, б).

2. 5. 2. Определение поперечных сил и изгибающих моментов в сечениях балки.

Для расчета балок на прочность необходимо знать внутренние силовые факторы в каждом сечении. Рассмотрим в качестве примера жестко - защемленную балку, нагруженную вертикальной силой F (рис. 2. 17, а). Выделим в балке на расстоянии Z от свободного конца сечение mn и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис. 2. 17, б). Действие отброшенной правой части должно быть таким, чтобы удерживать левую часть в равновесии. Распределение напряжений по сечению неизвестно, но результирующая напряжений должна уравновесить силу F. Все неизвестные внутренние силы в сечении можно заменить парой сил с моментом М (изгибающим моментом) и силой вертикальной силой Q (поперечной силой), которые должны быть направлены как указано на чертеже. Эти величины могут быть найдены из уравнений равновесия. Fky = 0; F -Q = 0; Q =F. m 0(Fk) = 0; F z - M = 0; M = F z.

Из уравнений равновесия следует, что поперечная сила в сечении будет равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих на отсеченную часть, а изгибающий момент , сумме моментов от этих сил относительно центра тяжести сечения Если рассмотреть равновесие правой части балки (рис. 2. 17, б), то внутренние усилия, действующие на нее в сечении mn, будут иметь ту же величину, что и на правую, но направлены в противоположную сторону. То есть знаки поперечной силы и изгибающего момента зависят от расположения их относительно сечения. Правило знаков для изгибающих моментов и поперечных сил изображено на рис. 2. 18.

Изгибающий момент считается положительным, если балка изгибается выпуклостью вниз, то есть растянутые волокна расположены снизу. Положительная поперечная сила направлена так, что она направлена слева от сечения вверх, а справа вниз.

5. 3. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Внутренние силовые факторы в сечениях балок зависят от внешней нагрузки и изменяются по длине балки, то есть являются функцией координаты Х. Эти значения удобно представлять в виде эпюр, ординаты которых в любом месте балки равны значению поперечной силы и изгибающего момента. Для построения эпюр необходимо составить уравнения равновесия каждого характерного участка балки, отсеченного от остальной части. При этом для балки, закрепленной на шарнирах необходимо вначале определить опорные реакции из уравнений равновесия всей балки в целом. Для консольной (жестко заделанной) балки определять реакции заделки не обязательно, если рассматривать равновесие частей, отсеченных от свободного конца. Рассмотрим несколько примеров.

1. Консольная балка длиной L, нагруженная на конце парой сил с моментом М (рис. 2. 19).

Рассмотрим равновесие участка балки, отсеченного от свободного конца, сечением В, находящимся от свободного конца на расстоянии Z. Cумма проекций всех сил на ось У равна нулю, поэтому поперечная сила Q в любом сечении балки также равна нулю. Следовательно при таком нагружении балка испытывает чистый изгиб. Изгибающий момент в любом сечении равен внешнему моменту на свободном конце, он положителен, так как балка прогибается выпуклостью вниз. 2. Консольная балка, нагруженная двумя силами F 1 =10 КН и F 2=5 КН (рис. 2. 20). Разбиваем балку на два участка и делаем сечения в произвольных местах каждого участка.

Cоставляем уравнения равновесия. 1 участок: Fk = 0; Q 1 - F 1 = 0; Отсюда поперечная сила на первом участка постоянна и равна F 1, то есть 10 Кн. F 1 Z 1 - M 1 = 0; То есть изгибающий момент на первом участке меняется по линейному закону. В точке В Мв = F 1 BC = 10 0, 5 = 5 k. Н м. На втором участке уравнения равновесия имеют вид: Q 2 - F 1 - F 2 = 0; Q 2 = F 1 + F 2 = 10 + 5 = 15 k. H; F 1 Z 2 + F 2(Z 2 - 0, 5) -M 2 = 0; M 2 = F 1 Z 2 + F 2(Z 2 -0, 5); Ma = 10 1 5 0, 5 = 12, 5 k. H м. Эпюры изгибающих моментов показаны на рис. 2. 20. Знаки поперечной силы и изгибающего момента выбираем в соответствии с правилом знаков, отображенном на рис. 2. 18.

3. Консольная балка под действием распределенной нагрузки (рис. 2. 21). Составляем уравнения равновесия для участка, находящего на расстоянии Z от свободного конца: 1) Q - q Z = 0, Q = q Z. При Z=0 Q=0, а при Z=2 м Q=Qmax=4 к. Н. То есть эпюра поперечных сил носит линейный характер. 2) q Z Z/2 - M = 0, M = q Z 2/2. Отсюда видно, что изгибающие моменты изменяются по квадратичному закону, а максимальный момент возникает в заделке и равен 4 к. Н м.

На основе примеров можно сделать выводы о взаимосвязи между нагрузкой и формой эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Эти выводы сформулированы следующим образом. 1. На участках, где изгибающий момент постоянен, поперечные силы равны нулю. 2. На участках, где отсутствует распределенная нагрузка, поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону. 3. На участках, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой, поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент по параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. 4. В точках приложения сосредоточенных сил на эпюре поперечных сил имеют место скачки, равные по величине этим силам, а на эпюре моментов - переломы, направленные навстречу силам. 5. В точках приложения пар на эпюрах моментов имеются скачки, равные моментам пар. 6. В точках, где поперечная сила равна нулю, величина момента принимает минимальное или максимальное значения.

5. 4. Нормальные напряжения при изгибе. Рассмотрим балку, испытывающую чистый изгиб (рис. 2. 22). При нагружении двумя противоположно направленными моментами балка изогнется выпуклостью вниз. При этом линии, перпендикулярные оси балки, в ненагруженном состоянии останутся прямыми, но параллельность их нарушится. Продольные волокна изогнутся, их длина на вогнутой стороне балки уменьшится, а на выпуклой - увеличится. Слой, длина которого не изменилась, называется нейтральным слоем.

Нормальные напряжения при изгибе зависят от деформации продольных волокон и выше нейтральной оси они будут сжимающими, а ниже - растягивающими. Таким образом, при изгибе поперечные сечения, оставаясь плоскими, поворачиваются одно относительно другого и каждое вокруг его пересечения с нейтральной осью. Высказанное положение является гипотезой плоских сечений. Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения, поэтому и нормальные напряжения постоянны по ширине балки. Найдем величину удлинения волокна, отстоящего от нейтрального слоя на расстояние У (рис. 2. 23). Значения У, отложенные в сторону выпуклости считаем положительными. На этом рисунке обозначены: - радиус кривизны нейтрального слоя, L - длина волокна, лежащего в нейтральном сечении, L 1 - длина волокна после деформации, q - угол поворота сечения. Относительное удлинение волокна будет равно:

Из рисунка находим: L = rd. Q, L 1 =(r+y)d. Q. Отсюда Cогласно закону Гука : (2. 24)

Следовательно нормальные напряжения распределяются по оси балки по линейному закону, причем максимальные сжимающие напряжения будут в наиболее удаленной от нейтральной оси точке со стороны вогнутости, а растягивающие - со стороны выпуклости. Рассечем балку поперечным сечением и выделим в нем элементарную площадку площадью d. A, находящуюся на расстоянии У от нейтрального слоя (рис. 2. 24). Элементарная сила, действующая на площадку: Так как внутренние силы при чистом изгибе приводятся только к изгибающему моменту, то (2. 25)

где Sx - статический момент сечения относительно оси Х. Из формулы (2. 29) следует, что он будет равен нулю, следовательно, нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения.

Cуммарный изгибающий момент будет равен: где Jx - осевой момент инерции сечения относительно оси Х. Отсюда : Подставляя в формулу (2. 24) находим: (2. 26) Отношение осевого момента инерции к расстоянию до наиболее удаленных от нейтрального сечения волокон называется осевым моментом сопротивления: Wx = Jx/ymax. (2. 27)

Наибольшее по абсолютному значению нормальное напряжение в симметричном сечении (растягивающее или сжимающее) может быть найдено по формуле: σmax = M/Wx. (2. 28) Формула (2. 28) получена для чистого изгиба. Однако ей можно пользоваться и в случае прямого поперечного изгиба, когда в сечениях балки возникает не только изгибающий момент, но и поперечная сила, так как поперечные силы мало влияют на нормальные напряжения. Опасным сечением будет то, в котором изгибающий момент имеет наибольшее абсолютное значение.

5. 5. Расчеты на прочность при изгибе. Проверку прочности и подбор сечений балок производится из следующего условия: наибольшие нормальные напряжения в поперечных сечениях не должны превосходить допускаемых [ ] на растяжение и сжатие. Для балок, изготовленных из материалов одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, следует выбирать сечение, симметричное относительно нейтральной оси, чтобы наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения были равны между собой. В этом случае условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид σ max = Mmax/Wx [σ] Приведем формулы для вычисления моментов сопротивления некоторых сечений. (2. 29)

Для прямоугольника (стр. 32) Jx = bh 3/12, ymax = h/2, отсюда (2. 30) Для сплошного кругового сечения Jx = pd 4/64, ymax = d/2, (2. 31) Наиболее выгодны формы сечений, которые дают наибольший момент сопротивления при наименьшей площади. У таких профилей почти весь материал отнесен от нейтральной оси к верхней и нижним полкам. К ним относятся двутавр (рис. 2. 25, а), швеллер (рис. 2. 25, б) и т. п. Значение моментов сопротивления приводятся в сортаментах для этих профилей.

С помощью условия прочности по нормальным напряжениям при изгибе можно решать следующие три задачи: 1. Проверка прочности (проверочный расчет). При этом известны размеры и форма сечения балки, наибольший изгибающий момент и допускаемое напряжение. В этом случае используется непосредственно формула (2. 29).

2. Подбор сечения (проектировочный расчет) производится в том случае, когда заданы нагрузки и допускаемое напряжение. В этом случае строится эпюра изгибающих моментов, из которой определяется максимальный изгибающий момент Мmax. Из формулы (2. 29) находится необходимый момент сопротивления: Wx Мmax /[σ]. (2. 32) По необходимому моменту сопротивления, задавшись формой сечения, подбирают его размеры. 3. Определение наибольшего изгибающего момента производится если заданы размеры сечения и допускаемое напряжение: (2. 33)

Пример. По условиям примера 2 (стр. 56) подобрать сечение балки в трех вариантах: а) прокатный двутавр, б) прямоугольник с соотношением высоты к ширине h/b=2, в) круг. Сравнить массы балок с различной формой сечения. Допускаемое напряжение [σ] = 160 н/мм 2. Максимальное напряжение изгиба возникает в месте заделки балки и составляет 12, 5 к. Н м. Отсюда необходимый момент сопротивления Wx = Мmax/ [σ] = 12, 5 106/160 = 78, 1 103 мм 3 = 78, 1 см 3. 1. По таблице выбираем двутавр № 14 (момент сопротивления Wx =81, 7 cм 3, площадь сечения А 1 = 17, 4 см 2 ). 2. Для прямоугольника Wx =bh 2/6 = b 4 b 2/6 =2 b 3/3.

Отсюда h = 2 b = 9, 78 cм, 3. Для круга А 2 = h b = 9, 78 4, 89 = 47, 8 см 2. A 3 = d 2/4 = 3, 14 9, 272 = 67, 5 см 2. Массы балок пропорциональны площадям сечения. Таким образом, отношение масс балок прямоугольного и двутаврового сечений будет равно А 2/А 1 =47, 8/17, 4 = 2, 74, а круглого и двутаврового сечений А 3/А 1 = 67, 5/17, 4 =3, 88.

5. 6. Понятие о расчетах на жесткость при изгибе. При действии на балку нагрузки, ее сечения перемещаются перпендикулярно к оси балки и поворачиваются относительно своих нейтральных осей (рис. 2. 26). Балки должны удовлетворять не только условию прочности, но и должны иметь достаточную жесткость, то есть максимальные прогибы и углы поворота сечений не должны превышать допускаемых величин. Допускаемый прогиб балок, применяемых в строительных и машиностроительных конструкциях, обычно составляет 1/2000 - 1/1000 от пролета между опорами балки. Вывод формул для определения прогибов и углов поворота выходит за рамки настоящего пособия, поэтому можно воспользоваться готовыми формулами, приводимыми в справочниках. Так, например, для балки на двух опорах, нагружен ной посередине сосредоточенной силой, (рис. 2. 26) Уmax = FL 3/48 EJ,

для консольной балки, нагруженной силой на конце Уmax = FL 3/3 EJ и т. д.

6. Понятие о сложном деформированном состоянии и теориях прочности. Во многих случаях элементы конструкции подвергаются одновременно нескольким простейшим деформациям, например срез и смятие, изгиб и кручение и т. д. При этом возникают как касательные, так и нормальные напряжения. Определить опытным путем предельные напряжения для сложного напряженного состояния при всех возможных комбинациях силовых факторов невозможно из-за большого объема испытаний. Отсюда возникает задача составления условий прочности, пользуясь величинами предельных напряжений, полученных из опытов для простого напряженного состояния.

Эта задача может быть решена на основании некоторых предположений (гипотез) о том, какой фактор вызывает появление опасного состояния. На основании этих предположений рассчитывается эквивалентное напряжение, которое и сравнивается с допускаемым. В качестве первого критерия прочности, называемого первой теорией прочности, был принят критерий наибольших нормальных напряжений: экв = max. Условие прочности примет вид: экв [ max]. Данная теория не получила достаточного экспериментального подтверждения. (2. 34)

B качестве другого критерия, обычно называемого второй теорией прочности, был предложен критерий наибольших относительных удлинений: = /E [ ]. (2. 35) Вторая теория прочности также не всегда согласуется с опытом. Согласно третьей теории прочности критерием являются максимальные касательные напряжения. При этом выражение для эквивалентных напряжений примет вид: (2. 36) где и нормальное и касательное напряжение в опасной точке поперечного сечения.

По четвертой теории прочности, критерием которой является удельная потенциальная энергия изменения формы, эквивалентное напряжение вычисляется по формуле: (2. 37) Третья и четвертая теории прочности применяются при совместном действии изгиба и кручения, например, при расчете валов деталей резьбовых соединений.

4 Геометрические характеристики сечений 4. 1 Статический момент площади При дальнейшем изучении вопросов прочности, жесткости и устойчивости необходимо иметь представление о статическом моменте, осевых, полярных, центробежных моментах инерции. Статическим моментом Sx называется величина определяемая интегралом вида где у - расстояние от элементарной площадки d. A до оси х. Размерность см 2, может быть положительной, отрицательной и равной нулю. Рис. 4. 1

По известной из теоретической механики теореме о моменте равнодействующей можно написать: (4. 1) где А - площадь всей фигуры, ус - расстояние от центра тяжести сечения до оси X. Из формулы (4. 1) следует выражение для определения ординаты центра тяжести сечения аналогично другая ордината если оси проходят через центр тяжести, то статические моменты площади сечения относительно этих осей равны нулю. Такие оси мы будем называть центральными осями

4. 2 Моменты инерции площади сечения Осевым моментом инерции площади сечения называется геометрическая характеристика сечения, численно равная интегралу вида: - осевые моменты, центробежный момент, - полярный момент инерции. Из (рис. 4. 1) видно что Jp=Jx + Jy, 4. 3 Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей Момент инерции относительно любой оси (рис. 4. 1) равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояние между осями.

Рис. 4. 1 (4. 2) Из формулы (4. 2) видно, что момент инерции относительно центральной оси меньше, чем момент инерции относительно любой нецентральной оси. Момент инерции относительно центральной оси называется центральным моментом инерции.

4. 4 Моменты инерции простых сечений Для практических расчетов необходимо иметь простые выражения для определения моментов инерции простых (рис. 4. 2) сечений. Рис. 4. 2

1. Прямоугольник (рис. 4. 2. а) (4. 3) 2. Круг (рис. 4. 2 в) (4. 5) 3. Кольцо (рис. 4. 2. б) где (4. 6) (4. 7)

4. Треугольник (рис. 4. 2 г) (4. 8) 4. 5 Изменение моментов инерции при повороте осей При повороте осей на угол α (рис. 4. 3) моменты инерции определяются из следующих выражений: (4. 9) (4. 10) (4. 11)

Рис. 4. 3 Сумма моментов инерции (4. 12) относительно любых взаимно перпендикулярных осей не меняется при их повороте (4. 12) 4. 6 Главные оси и главные моменты инерции При повороте осей моменты инерции изменяются. Значение угла, при котором моменты инерции имеют эктремальное значение определяем по формуле (4. 13)

(4. 13) Относительно одной оси момент инерции максимален, относительно другой минимален. Такие оси называются главными, а моменты инерции -главными моментами инерции. Величину их находим по формуле (4. 14) Главные оси проходят через центр тяжести сечения, центробежный момент относительно их равен нулю, а осевые принимают экстремальное значения (относительно одной максимум, относительно другой - минимум). Пример. 1 Вычислить главные центральные моменты инерции площади сечения (рис. 4. 4) Решение. 1. Определяем координаты центра тяжести относительно вспомогательных осей х1 и y 1 и разбиваем сечение на

две фигуры: швеллер (1) и уголок (2), для которых все необходимые данные имеются в сортаменте (табл. 4. 1). Координаты центра тяжести определяем по формулам: По этим данным наносим точку О- центр тяжести сечения и проводим центральные оси х и у. Таблица 4. 1

Рис. 4. 4

2. 0 пределим моменты инерции относительно центральных осей х и у. 3. Определяем положение главных центральных осей по формуле:

отложим этот угол (против часовой стрелки) и проведем главные центральные оси X и Y. 4. Определяем главные центральные моменты инерции по формуле (4. 14) Следовательно Jmax =2570, 48 см 4, Jmin =461, 42 см 4. Для проверки используем соотношение: Jx+Jy=Jmax+Jmin, 2554, 4+477, 5=2570, 48+461, 42 11. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖИМАЕМОГО БРУСА. ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ БРУСА 11. 1. Понятие об устойчивости Известны понятия устойчивого, неустойчивого и безразличного равновесия. Они могут относиться как к положению тела, так и к форме тела. Однако имеется существенное различие между устойчивостью положения тела и устойчивостью формы равновесия тела. Классическим примером

равновесия положения тела является положение шарика на криволинейной поверхности (рис. 64). Шарик 1 занимает устойчивое положение равновесия: при выводе его из этого положения он будет стремиться вернуться в него. Шарик 2 находится в неустойчивом состоянии, так как при малейшем смещении утратит исходное положение равновесия. Шарик 3 на горизонтальной поверхности находится в положении безразличного равновесия. При рассмотрении устойчивости положения тела само тело считается абсолютно твердым. Рис. 64

Каждая конструкция под воздействием внешних сил деформируется, принимая ту или иную форму, которую называют формой равновесия конструкции, имея в виду равновесие, установившееся между внешними и внутренними силами системы. Принятая конструкцией равновесная форма для надежной эксплуатации должна быть устойчивой, т. е. при воздействии временных незначительных дополнительных нагрузок должна обладать способностью противостоять этим случайным воздействиям и восстанавливаться. Эксплуатация конструкции, форма равновесия которой не является устойчивой, весьма опасна, т. к. самая ничтожная причина вызовет нарушение формы, т. е. деформацию, которая приведет к разрушению конструкции. Устойчивость формы равновесия зависит от нагрузок, приложенных к телу. Прямолинейная форма равновесия сжатого стержня, круговая форма равновесия тонкостенного кольца, сжатого равномерно распределенной по его контуру нагрузкой, цилиндрическая форма равновесия скручиваемого тонкостенного цилиндра и др.

могут быть устойчивыми или неустойчивыми в зависимости от величины прикладываемой нагрузки. При определенных значениях нагрузки (критических нагрузках) исходная форма равновесия конструкции (прямолинейная, круговая, цилиндрическая и др. ) перестает быть устойчивой. Происходит потеря устойчивости. Достижение нагрузками критических значений приводит практически к неограниченному росту деформации, разрушению конструкции. 11. 2. Задача Эйлера Разрушение, вызываемое критическими нагрузками, носит внезапный характер. Отсутствуют внешние признаки приближающейся и потери устойчивости. При этом практически мгновенно происходит изменение характера нагружения, приводящего к разрушению конструкции. Так, например, продольно сжатый прямолинейный брус принимает изгибную форму равновесия. Поэтому явление потери устойчивости сжимаемого бруса называют продольным изгибом бруса.

Впервые задачу определения критического значения сжимающей силы прямолинейного призматического бруса решил Леонард Эйлер. Рассматривается последовательность состояний прямолинейного бруса, изображенного на рис. 65, а, под действием сжимающей силы различной величины. На рис. 65, б сплошной линией показана устойчивая прямолинейная форма равновесия при сжимающей силе меньше критической. Штриховой линией показана пробная изгибная деформация бруса, возникающая приложении дополнительной поперечной нагрузки и не сохраняющаяся после ее снятия, т. к. сжимающая сила для этого недостаточно велика.

Рис. 65

На рис. 65, в показан случай, когда сжимающая сила достигла критического значения. Прямолинейная форма равновесия теперь неустойчива и будет потеряна (пунктирная линия). Она будет заменена на изгибную форму равновесия (показана сплошной линией). Значение силы Ркр можно определить, используя уравнения теории изгиба бруса и рассматривая в равновесии отсеченную часть бруса (рис. 65, г). Из уравнений равновесия следует, что реакции УА и УВ равны нулю, а кривизна в произвольном сечении связана с действующим моментом в сечении при условии малых прогибов уравнением (11. 1) Изгибающий момент в сечении равен Ми = Ркр • у, где у — прогиб в рассматриваемом сечении 1 -1.

Можно показать, что у" и у имеют противоположные знаки, что и должно быть отражено в уравнении упругой линии, т. е. (11. 2) Принимая получаем линейное однородное дифференциальное уравнение решение которого имеет вид (11. 3) (11. 4)

Здесь А и В — постоянные интегрирования, определяемые из условий закрепления бруса, так называемых граничных или краевых условий. Прогиб у = 0 при х = 0. Подставляя эти данные в уравнение прогиба, получаем В = 0 и, следовательно, т. е. изогнутая ось бруса является синусоидой. При х = l также у = 0, поэтому Константа А, представляющая собой наибольший прогиб бруса, не может быть равна нулю, т. к. при А = 0 возможна только прямолинейная форма равновесия. Поэтому должно выполняться условие sin αl = 0. Отсюда следует, что криволинейные формы равновесия бруса могут существовать, если αl принимает значения π, 2π, . . . , пπ. Величина αl не может быть равна нулю, т. к. это решение соответствует случаю Ркр = 0.

Приравнивая αl = пπ и подставляя получаем (11. 5) Это выражение называется формулой Эйлера для определения критической силы Ркр при потери устойчивости прямолинейной формы равновесия сжимаемого бруса. Выпучивание происходит в плоскости наименьшей жесткости, если нет специальных приспособлений, ограничивающих изгиб бруса в этом направлении. Поэтому в формуле Эйлера нужно использовать Jmim — меньший из главных центральных моментов инерции поперечного сечения бруса. Величина критической силы зависит от коэффициента n. Выясним геометрический смысл этого коэффициента. Изогнутая ось бруса является синусоидой, уравнение которой после подстановки αl = пπ имеет вид

(11. 6) Синусоиды для п = 1 и п = 2 изображены на рис. 66. Видно, что величина п представляет собой число полуволн синусоиды, по которой изогнется брус. Брус всегда изогнется по наименьшему числу полуволн, допускаемому его опорными устройствами. Поэтому принимаем п = 1. Только эта первая критическая сила и имеет реальный физический смысл. Таким образом, для шарнирно опертого по концам бруса критическая сила определяется по формуле (11. 7) Рис. 66

11. 3 Влияние опорных закреплений бруса на критическую силу Вывод формулы Эйлера осуществлен для бруса с шарнирно закрепленными концами. Тем не менее эта формула имеет универсальный характер, не зависит от способа закрепления бруса и через коэффициент п учитывает число полуволн синусоиды, которые укладываются на его длине. Применим, например, эту формулу для определения критической силы бруса с заделанными концами (рис. 67). Как видим, число полуволн изогнутой оси в этом случае п = 2 и, следовательно, критическая сила при данных опорных устройствах равна (11. 8)

Рис. 67

Этот результат можно переписать в виде (11. 9) Рассмотрим пример определения критической силы в случае, когда брус изгибается не по целому числу полуволн синусоиды (рис. 68)

Рис. 68

брус, защемленный одним концом и шарнирно опертый другим. Данный случай представляет собой статически неопределимую систему. Со стороны шарнирной опоры возникает горизонтальная реакция опоры R. Изгибающий момент в произвольном сечении бруса будет равен М(х) = R*x - Ркр*у, а дифференциальное уравнение упругой линии будет иметь вид: или , Общее решение этого уравнения имеет вид: Используя условия на концах бруса, выразим постоянные А и В через R.

При х = 0 прогиб у = 0, следовательно, В = 0. При х = l угол поворота сечения равен нулю, поэтому y'(l) = 0. Из этого условия получаем и уравнение изогнутой оси приобретает следующий вид: Условие у (l) = 0 будет выполнено, если

Отсюда получаем следующее трансцендентное разрешающее уравнение для определения величины а: tg αl = αl. Наименьший корень этого уравнения определяет первую критическую силу. Это уравнение решается методом подбора или графически. Наименьший, отличный от нуля, корень этого уравнения αl = 4, 493 = 1, 43π. Принимая αl = 1, 43π, получаем следующее выражение для критической силы: (11. 10)

Рис. 69

Проведя подобный вывод формулы для критической силы применительно к брусу, защемленного с одной стороны (рис. 69), получаем следующее выражение: (11. 11) Сопоставляя формулы критической силы для бруса, закрепленного различным образом, легко видеть, что все они имеют одинаковое строение. Обобщая их, запишем формулу Эйлера в виде:

— величина, обратная числу полуволн п синусоиды, Здесь по которой изогнется брус. Постоянная μ называется коэффициентом приведения длины, а произведение μl — приведенной длиной бруса. Случай шарнирного закрепления концов бруса называется основным. Таким образом, критическая сила для любого случая закрепления бруса может быть вычислена по формуле для основного случая с заменой действительной длины бруса его приведенной длиной. 11. 4. Пределы применимости формулы Эйлера Формула Эйлера описывает упругое поведение материала под нагрузкой. Это следует из того факта, что в нее входит константа упругости Е. Таким образом, применение ее ограничено предельным напряжением σпц, т. е. лишь в тех случаях, когда потеря устойчивости наступает в упругой области деформирования материала.

Используя соотношение J = Fi 2, где i — наименьший радиус инерции поперечного сечения бруса, запишем это условие так: или Безразмерная величина λ называется гибкостью бруса и равна: (11. 13)

Гибкость бруса является обобщенной геометрической характеристикой бруса, учитывающая соотношение между его поперечными размерами и длиной. С учетом гибкости бруса условие применимости формулы Эйлера запишется так: Так для конструкционной малоуглеродистой стали с σпц = 210 МПа и Е = 2, 1 • 105 МПа формулой Эйлера можно пользоваться лишь при гибкости бруса большей, чем.

Скачать презентацию СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 1 Общие сведения 1 1

Лекц СОПРОМАТ (в 3 частях).ppt

Количество слайдов: 123