Содержание предыдущей лекции Квантовая физика Тепловое излучение.

Содержание предыдущей лекции Квантовая физика Тепловое излучение. Спектральные характеристики теплового излучения. Закон Кирхгофа. Законы излучения абсолютно черного тела. Квантовая гипотеза Планка. Внешний фотоэффект и его законы. Уравнение Эйнштейна. Энергия, масса и импульс световых фотонов. Давление света. 1

Контрольный вопрос Универсальная функция Кирхгофа равна ………………………. . абсолютно черного тела. Лучепоглощательная способность абсолютно черного тела 2

Содержание сегодняшней лекции Гипотеза де Бройля. Дифракция электронов. Соотношение неопределенностей. Волновая функция и ее статистический смысл. 3

Гипотеза де Бройля Электромагнитное излучение (фотоны) обладает свойствами как волн, так и частиц. 1923: французский физик Луи де Бройль (1892 -1987): предположение: все формы материи обладают такими свойствами. Революционная идея, не имевшая экспериментального подтверждения в то время. Корпускулярно-волновой – свойство частиц вещества (электронам, протонам, атомам и т. д. ). Частицы: в некоторых случаях корпускулы, а в некоторых - волны. 4

Гипотеза де Бройля По аналогии с фотонами длина волны де Бройля частицы Частота частицы Длина волны e электрона (mэ = 9, 11 10 -31 кг, v = 1, 00 107 м/с) = 7, 28 10 -11 м. Длина волны камень летящего камня (m = 50 г, v = 40 м/с) = 3, 32 10 -34 м. камень << отверстия, через которое камень мог бы пролететь – невозможность обнаружения волновых свойств объектов большого размера. 5

Дифракция электронов 1926: К. Д. Дэвиссон (1881 -1958) и Л. Х. Джермер (1896 -1971) - измерение длины волны электрона. Рассеяние низкоэнергетических электронов (с энергией около 54 эв) никелевой мишенью в вакууме. Регулярно расположенные атомные плоскости никелевой мишени – дифракционная решетка для электронов. 6

Дифракция электронов Максимумы и минимумы интенсивности на определенных углах – результат дифракции электронов. 2 d sin = n Первое экспериментальное доказательство волновых свойств вещества. 7

Корпускулярно-волновой дуализм Двойственная природа вещества: Объединение корпускулярной (mv и E) и волновой концепций ( и f) Принцип дополнительности: волновая и корпускулярная модели взаимно дополняют друга как в случае вещества, так и в случае излучения. 8

Квантовая частица – новая модель вещества, учитывающая его двойственную природу. Понимание того или иного явления с участием квантовой частицы – либо корпускулярный подход, либо волновой подход. Идеальная волна: Идеальная частица: единственная частота, нулевой размер, неограниченная протяженность, локализована в пространстве. не локализована в пространстве. 9

Квантовая частица Демонстрация возможности конструирования произвольного объекта, обладающего свойствами частицы, путем суперпозиции бесконечно длинных волн. Совпадение максимумов Волна 1: обеих волн при x = 0. Волна 2: Амплитуды одинаковы, однако частоты отличаются. Суперпозиция Биения - результат суперпозиции этих двух волн. Введение некоторой локализации в пространстве путем суперпозиции двух волн. 10

Квантовая частица Наложение нескольких волн с различными частотами при совпадении максимумов при x = 0. Конструктивное сложение волн при x = 0 и деструктивное при x 0 (вероятность положительного значения волновой функции равна вероятности ее отрицательного значения при x 0). Волновой пакет – небольшая локализованная область конструктивной интерференции. 11

Квантовая частица Идентификация волнового пакета в качестве частицы. Локализованная природа волнового пакета – свойство, характерное для частицы. Соответствие положения волнового пакета месту расположения частицы. Масса, электрический заряд, спин и т. д. – свойства волнового пакета, характерные для частицы. 12

Квантовая частица Две волны с равными амплитудами, но различными частотами f 1 и f 2 Наложение волн друг на друга с использованием принципа суперпозиции 13

Квантовая частица Волна с волновым числом и частотой, равными соответствующим характеристикам отдельных волн. Конверт волн Распространение конверта волн в пространстве со скоростью, отличной от скоростей отдельных волн. 14

Квантовая частица Распространение отдельной волны с фазовой скоростью равной скорости перемещения точки волны с фиксированной фазой. Равенство фазовой скорости волны отношению коэффициента, стоящего перед параметром t, к коэффициенту, стоящему перед параметром x, в уравнении волны Соответствие множителя уравнению волны, движущейся со скоростью 15

Квантовая частица Групповая скорость или скорость волнового пакета (группы волн) Идентичность групповой скорости волнового пакета скорости модельной частицы. Соответствие волнового пакета частице. 16

Пересмотр дифракционного эксперимента с двумя щелями Падение параллельного пучка моноэнергетических электронов на две щели. Формирование дифракционной картины, если ширина щелей мала по сравнению с длиной волны электрона. Отсутствие интерференционной картины, если электроны ведут себя как классические частицы. Число электронов, зарегистри- рованных за единицу времени d << L Электроны Эксперимент: обнаружена интерференция (волновые свойства) электронов. Детектор электронов 17

Пересмотр дифракционного эксперимента с двумя щелями } 28 электронов 1000 электронов Компьютерное моделирование 10000 электронов Результат дифракции электронов на двух Эксперимент щелях 18

Пересмотр дифракционного эксперимента с двумя щелями Классическая волновая теория: возможность расчета вероятностного углового расстояния между центральным максимумом и ближайшим соседним минимумом в случае дифракции отдельного электрона при достижении одной из щелей из уравнения Число электронов, зарегистри- рованных за единицу времени d << L Электроны Длина волны электрона Детектор Для малых электронов 19

Пересмотр дифракционного эксперимента с двумя щелями Двойственная природа электрона: • электроны как частицы достигают некоторой точки экрана в некоторый момент времени, • вероятность попадания электронов в эту точку экрана определяется интенсивностью двух интерферирующих волн. 20

Пересмотр дифракционного эксперимента с двумя щелями Открыта только одна из щелей: Наблюдение симметричных пиков – центральных максимумов дифракционной картины от каждой из двух щелей вокруг проекции изображения щели на экране. Вероятность попадания электронов на экран при закрытии одной из щелей. 2 1 Число импульсов в минуту 21

Пересмотр дифракционного эксперимента с двумя щелями Щели открывались последовательно (сначала только одна, потом только другая) Попеременное открытие щелей: щель 2 закрыта в первую половину времени, щель 1 закрыта во вторую половину времени. Вероятность обнаружения электрона при Число импуль- = 0 более не является максимальной. сов/мин 22

Пересмотр дифракционного эксперимента с двумя щелями Щели открывались последовательно (сначала только одна, потом только другая) Отсутствие интерференционной картины - простое суммирование интенсивностей отдельных волн. Локализация и индивидуализация электрона как возле щелей, так и возле экрана (прохождение электрона либо через щель 1, либо через щель 2). Результирующая дифракционная картина – результат суммирования Число импуль- электронов, прошедших через щель 1, и сов/мин электронов, прошедших через щель 2. 23

Пересмотр дифракционного эксперимента с двумя щелями Щели открыты одновременно Предположение: электрон проходит либо через щель 1, либо через щель 2, результирующая дифракционная картина - комбинация дифракционных распределений от отдельных щелей. Экспериментальные результаты противоречат этому предположению. Заключение: электрон взаимодействует с обеими Число щелями одновременно. импуль- сов/мин Волновые компоненты электрона присутствуют у обеих щелей одновременно. 24

Принцип неопределенности Наличие некоторой погрешности при измерении в рамках любого эксперимента! Классическая механика: предположение об отсутствии ограничений для усовершенствования аппаратуры и проведения экспериментальных измерений с неограниченно малой неопределенностью. Квантовая теория: существование принципиальных ограничений для проведения одновременных измерений положения частицы и ее импульса с неограниченно малой погрешностью. 25

1927: немецкий физик Вернер Гейзенберг (1901 -1976): Принцип неопределенности Если измерение положения частицы сделано с неопределенностью x и одновременно измерена х - компонента его импульса с неопределенностью px, то произведение этих неопределенностей никогда не может быть меньше, чем ħ/2: (Нобелевская премия по физике, 1932) 26

Принцип неопределенности Физическая невозможность одновременного измерения точного положения и точного импульса частицы. Причиной неопределенностей является квантовая природа материи. 27

Принцип неопределенности Предположение 1: длина волны частицы известна точно. импульс также известен точно. В этом случае в пространстве должна существовать волна с определенной и единственной частотой. Отсутствие вдоль волны какого-либо определенного места, которое можно бы было идентифицировать в качестве частицы – все точки волны одинаковы. Существование бесконечно большой неопределенности положения частицы – о ее положении ничего неизвестно. 28

Принцип неопределенности Предположение 2: импульс частицы неизвестен, (известен диапазон возможных значений импульса). Соотношение де Бройля частица обладает набором длин волн. Представление частицы определенной комбинацией длин волн. Формирование этой комбинацией волнового пакета Расположение частицы где-то в пределах пакета. Потеря некоторой информации об импульсе частицы - получение информации о ее положении. 29

Принцип неопределенности Другой вид представления принципа неопределенности: t вместо x Подобие предположений сделанным ранее, но о длине волны (частоте) и положении волны в определенный промежуток времени. Частота f и время t - соответствующие переменные. Возможность нарушения закона сохранения энергии на величину E в течение короткого промежутка времени t согласно уравнению 30

Волновая функция и ее статистический смысл Поведение как вещества, так и э-м излучения в ряде случаев лучше всего описывается в рамках корпускулярной теории, а в ряде других случаев в рамках волновой теории в зависимости от анализируемого явления. Пониманию законов квантовой физики и взаимосвязи между частицами и волнами может способствовать использование еще одного концептуального понятия - понятия вероятности. 31

Волновая функция и ее статистический смысл Э-м излучение с корпускулярной точки зрения Пропорциональность вероятности обнаружения фотона в единице объема данной области пространства в данный момент времени числу N фотонов в единице объема данной области пространства в данный момент времени: Пропорциональность числа фотонов в единице объема интенсивности I излучения: Пропорциональность интенсивности I э-м излучения квадрату амплитуды E э-м волны Вероятност ь ¥E 2 V Пропорциональность для э-м излучения вероятности обнаружения связанной с ним частицы (фотона) в единице исследуемого объема квадрату амплитуды связанной с этим излучением э-м волны. 32

Волновая функция и ее статистический смысл Применимость аналогичного подхода и в случае материальной частицы – пропорциональность вероятности обнаружения частицы в единице объема квадрату амплитуды волны, представляющей частицу. Амплитуда волны, связанной с частицей, - вероятностная амплитуда или волновая функция . Зависимость полной волновой функции системы от расположения частиц в системе и от времени 33

Волновая функция и ее статистический смысл Возможность для многих исследуемых систем математического разделения волновой функция на пространственную и временную составляющие где угловая частота волновой функции и 34

Волновая функция и ее статистический смысл Важная информация в системе с постоянной во времени потенциальной энергией только в пространственной части волновой функции. - часто комплексная величина * - комплексно сопряженная - всегда действителен, положителен и пропорционален вероятности обнаружения частицы в данной точке единицы объема пространства в данный момент времени. 35

Волновая функция и ее статистический смысл Волновая функция – ВСЯ информация, которая только может быть известна о частице. 1928: вероятностная интерпретация волновой функции - немецкий физик Maкс Борн (1882 -1970) (1954 г. – Нобелевская премия за выдающиеся успехи в области квантовой механики). 36

Волновая функция и ее статистический смысл Идеальная свободная частица - точно известный импульс px. Волновая функция частицы – непрерывная синусоидальная волна длины = h / px. Одинаковая вероятность обнаружения частицы в любой точке на оси x. Волновая функция частицы, движущейся вдоль оси x, где k = 2 / - волновое число частицы и A – постоянная амплитуда. 37

Волновая функция и ее статистический смысл Невозможность измерить , но возможность измерить реальную величину - изолированная частица, - плотность вероятности – относительная вероятность обнаружения частицы в произвольной точке единицы объема пространства. Если d. V – малый элемент объема, окружающий некоторую точку, то вероятность обнаружения частицы в этом объеме равна 38

Волновая функция и ее статистический смысл Одномерная волновая функция и вероятностные значения Вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах бесконечно малого интервала dx около точки x, равна Вероятность обнаружения частицы в пределах произвольного интервала a x b равна 39

Волновая функция и ее статистический смысл Одномерная волновая функция и вероятностные значения Сумма вероятностей обнаружить частицу в целом где-либо на оси x должна быть равна 1, Любая функция, удовлетворяющая это уравнение, называется нормированной. Нормировка - свидетельство о том, что частица существует в некоторой точке пространства. 40

Волновая функция и ее статистический смысл Одномерная волновая функция и вероятностные значения Все измеряемые характеристики частицы, такие как энергия и импульс, могут быть получены, если известна . Вероятностное значение x - среднее положение, где можно ожидать обнаружения частицы после многочисленных измерений, используется для обозначения вероятностных величин. Вероятностное значение произвольной функции f(x), связанной с частицей, 41

Контрольный вопрос Электрон, протон и альфа-частица помещены в отдельные, но идентичные потенциальные ямы. Наивысшая энергия в основном состоянии будет соответствовать (a) электрону (б) протону (в) альфа-частице (г) энергия основного состояния одинакова для упомянутых частиц. 42