Содержание предыдущей лекции Гипотеза де Бройля. Дифракция электронов. Соотношение неопределенностей. Волновая функция и ее статистический смысл. 1
Контрольный вопрос Электрон, протон и альфа-частица помещены в отдельные, но идентичные потенциальные ямы. Наивысшая энергия в основном состоянии будет соответствовать (a) электрону (б) протону (в) альфа-частице (г) энергия основного состояния для упомянутых частиц одинакова. Из указанных частиц минимальной массой обладает электрон. Следовательно, его энергия в основном состоянии будет максимальной. (a) 2
Содержание сегодняшней лекции Уравнение Шредингера Волновая функция и ее статистический смысл. Временное уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний. 3
Волновая функция и ее статистический смысл Одномерная волновая функция и вероятностные значения Важные математические свойства имеющей физический смысл волновой функции (x) системы: • (x) должна быть комплексной или действительной функцией в зависимости от системы; • (x) должна быть определенной и однозначной во всех точках пространства; • (x) должна быть нормированной; • (x) должна быть непрерывной в пространстве – в любой точке пространства скачки в значениях функции должны отсутствовать. 4
Волновая функция и ее статистический смысл Частица в потенциальной яме Проблема частицы в потенциальной яме – простая физическая проблема частицы, ограниченной в одномерном пространстве. Движение частицы массы m вдоль оси х со скоростью v между двумя непроницаемыми стенками, отстоящими друг от друга на расстоянии L. 5
Волновая функция и ее статистический смысл Частица в потенциальной яме Классическая физика отсутствие ограничений на величины импульса и энергии частицы. Квантово-механическое приближение – соответствие волновой функции условиям конкретной ситуации. Стенки непроницаемы: нулевая вероятность обнаружения частицы вне ямы: (x) = 0, если x < 0 и x > L. Удовлетворение требованиям непрерывности волновой функции в пространстве. Если (x) = 0 вне ямы, то на стенках ямы она должна быть равна нулю, (0) = 0 и (L) = 0. Физический смысл имеют только волновые функции, удовлетворяющие указанным граничным условиям. 6
Волновая функция и ее статистический смысл Частица в потенциальной яме Внутри ямы: Независимость потенциальной энергии системы «частица - окружающая среда» от положения частицы в яме. Возможность считать потенциальную энергию системы равной нулю. Вне ямы: Равенство нулю волновой функции. Отсутствие частицы. Бесконечно большая потенциальная энергия системы. 7
Волновая функция и ее статистический смысл Частица в потенциальной яме Волновую функцию частицы в яме можно представить в виде действительной синусоидальной функции - длина волны де Бройля частицы. Волновая функция должна удовлетворять граничным условиям на стенках ямы: æ ö (0) = A sinç 2 0 ÷ = 0 è ø æ ö (L ) = 0 = A sinç 2 L ÷ è ø выполняется всегда выполняется, если n = 1, 2, 3, … 8
Волновая функция и ее статистический смысл Частица в потенциальной яме Разрешены только определенные значения длин волн частицы !!! Каждой из разрешенных длин волн соответствуют квантовое состояние системы и квантовое число n. 9
Волновая функция и ее статистический смысл Частица в потенциальной яме Волновая функция в терминах квантовых чисел Графическое представление от х и от x для n = 1, 2 и 3. n=3 n=2 n=1 Возможные значения: плотность вероятности не имеет физического смысла 10
Волновая функция и ее статистический смысл Частица в потенциальной яме Длины волн частицы ограничены yсловием Импульс частицы - только определенные значения Потенциальная энергия системы U = 0, когда частица в яме. Разрешенные значения энергии системы, равной кинетической энергии частицы, n = 1, 2, 3, . . . Энергия частицы квантуется !!! 11
Волновая функция и ее статистический смысл Частица в потенциальной яме Соответствие минимальной разрешенной энергии состоянию n=1 E 1 = h 2/8 m. L 2 Энергия возбужденных состояний n=2 n=3 n=4 Энергия основного состояния > 0 E 2 = 4 E 1 E 3 = 9 E 1 E 4 = 16 E 1 . . . . En = n 2 E 1 Состояние с n = 0, при котором E должно было бы равняться нулю, не разрешено. Наименьшая энергия, которой может обладать частица, - энергия основного состояния (n = 1). 12
Волновая функция и ее статистический смысл Частица в потенциальной яме Квантово-механические представления: частица никогда не находится в состоянии покоя. Классические представления: состояние с E = 0 может существовать, также как и состояния со всеми другими значениями энергии E. Квантово-механическое утверждение противоречит классическим представлениям !!! 13
Уравнение Шредингера 1926: австрийский физик Эрнст Шредингер (1887 -1961) волновое уравнение, описывающее изменения волновой функции в пространстве и времени, – временное уравнение Шредингера m – масса частицы, U – потенциальная энергия, i – мнимая единица, – оператор Лапласа. В декартовой системе координат (x, y, z) 14
Уравнение Шредингера • фундаментальное уравнение нерелятивистской квантовой механики, • не может быть получено из других уравнений, • его справедливость доказана тем, что все его выводы полностью согласуются с экспериментальными результатами, • получено на основе оптико-механической аналогии (подобие между уравнениями, описывающими траектории лучей света и частиц в аналитической механике). 15
Уравнение Шредингера Анализ поведения квантово-механической системы – нахождение решения уравнения Шредингера с учетом граничных условий. Решение уравнения – набор разрешенных волновых функций и энергетических уровней системы. 16
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Движение частицы в постоянном силовом поле. Постоянство U во времени. Постоянство общей энергии E частицы. Волновая функция где E – постоянная, равная общей энергии системы (частица и ее окружение). 17
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Временное уравнение Шредингера - независящее от времени уравнение Шредингера. 18
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Согласие между уравнением Шредингера и законом сохранения механической энергии: общая энергия изолированной системы остается постоянной. Кинетическая энергия свободной частицы или частицы в потенциальной яме, умноженная на волновую функцию Общая энергия постоянна constant Успешность применения уравнения Шредингера для описания поведения атомных и ядерных систем, где классическая физика терпит поражение. Возможность применения квантовой механики к макроскопическим объектам с результатами, аналогичными результатам, полученным в рамках классической физики. 19
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Частица в потенциальной яме (повторное рассмотрение) Применение уравнения Шредингера для случая частицы в одномерной потенциальной яме шириной L. Прямоугольная потенциальная яма – область, ограниченная направленной вверх кривой на диаграмме потенциальной энергии. Прямоугольная потенциальная яма с бесконечно высокими стенками 20
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Частица в потенциальной яме (повторное рассмотрение) 0 < x < L: U=0 где 21
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Частица в потенциальной яме (повторное рассмотрение) Общий вид решения A и B – постоянные, зависящие от граничных условий и условия нормировки. 1 ое граничное условие: выполняется, если B = 0. 2 ое граничное условие: A = 0 – тривиальное решение, при котором волновая функция везде равна 0. Другая возможность удовлетворить 2 ое граничное условие: k. L - целый множитель , а именно: k. L = n , где n – целое число. 22
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Частица в потенциальной яме (повторное рассмотрение) Каждое значение целой величины n соответствует определенному квантованному значению энергии Разрешенные волновые функции Из условия нормировки Нормированная волновая функция 23
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Частица в потенциальной яме конечной высоты Частице вне ямы - потенциальная энергия системы равна конечному значению U, частица в яме – U = 0. Классическая механика: общая энергия E системы меньше, чем потенциальная энергия U, - частица постоянно находится в яме. Квантовая механика: существует конечная вероятность обнаружения частицы вне ямы, даже если E < U – волновая функция 0 вне ямы. Принцип неопределенности: величина энергии системы имеет неопределенное значение. Частице разрешено находиться вне ямы до тех пор, пока любым возможным способом не будет обнаружено нарушение закона сохранения энергии. 24
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Частица в потенциальной яме конечной высоты Область II: U = 0, разрешены синусоидальные волновые функции, граничные условия не требуют, чтобы = 0 на стенках ямы. Области I и III: коэффициент при д. б. > 0. Следовательно, , где в областях I и III. Метод подстановки - общее решение 25
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Частица в потенциальной яме конечной высоты Общее решение - отправная точка для нахождения решений, соответствующих областям I, II и III. Область I (x < 0): во избежание бесконечного значения слагаемое Be-Cx должно быть приравнено нулю, отсюда В д. б. = 0. Волновая функция убывает экспоненциально. Область II (0 <x < L): U = 0 – разрешены синусоидальные волновые функции, поскольку они являются решениями уравнения Шредингера. где F и G - постоянные. Область III (x > L): во избежание бесконечного значения слагаемое Ae. Cx должно быть приравнено нулю, отсюда А д. б. равен 0. Волновая функция убывает экспоненциально. 26
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Частица в потенциальной яме конечной высоты Волновые функции и плотности вероятности для трех самых низких уровней энергии. и при x = 0 и Граничные условия: при x = L Этих граничных условий и условия нормировки достаточно для нахождения четырех коэффициентов A, B, F и G, а также разрешенных значений энергии E. 27
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Частица в потенциальной яме конечной высоты Квантовая точка, маленькая область на поверхности кристалла кремния, потенциальная яма. Возможность захвата электронов на квантованных энергетических уровнях. Хранение двоичной информации с помощью квантовых точек – направление активных исследований. Простая схема сохранения двоичной информации: «единица» - в квантовой точке находится электрон, «нуль» - квантовая точка пуста. 28
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Прохождение частицы через потенциальный барьер Потенциальный энергетический барьер – область, заключенная под кривой потенциальной энергии. Квадратный барьер: постоянное значение U (высота барьера) в пределах барьера шириной L и равное нулю за его пределами. Предположение: частица, обладающая энергией E < U, приближается к барьеру конечной высоты и ширины слева. Классическая механика: частица отражается барьером. Область II - кинетическая энергия частицы была бы отрицательной (E < U ) и, следовательно, области III запрещены для частицы. Квантовая механика: все области доступны частице независимо от ее энергии. 29
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Прохождение частицы через потенциальный барьер Низкая вероятность прохождения частицы в запрещенную с точки зрения классической физики область. Принцип неопределенности - частица может находиться внутри барьера в течение очень короткого временного интервала. Относительно узкий барьер – за счет неопределенности в энергии частица может пройти через барьер. 30
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Прохождение частицы через потенциальный барьер Существование имеющих физический смысл решений уравнения Шредингера во всех трех областях I, II и III. Области I и III: синусоидальный вид решений. Область II: экспоненциальный вид решения. Представление полного решения красной кривой. Область III: неравенство нулю вероятности обнаружения частицы за барьером. Прохождение частицы через барьер – туннелирование сквозь барьер или проникновение через барьер. 31
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Прохождение частицы через потенциальный барьер Коэффициент прохождения T и коэффициент отражения R – описание вероятности туннелирования через потенциальный барьер. T+R=1 Если T << 1 (очень широкий или очень высокий барьер, т. е. U >> E) , где Квантовая модель проникновения частицы сквозь барьер коэффициент T может отличаться от нуля. Экспериментальные наблюдения явления туннелирования частиц сквозь энергетические барьеры – дополнительные доказательства справедливости законов квантовой физики. 32
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Прохождение частицы через потенциальный барьер Одна из форм радиоактивного распада - -распад: эмиссия -частиц (ядер атомов гелия) из нестабильных, тяжелых ядер. Проникновение -частицы сквозь барьер, высота которого в несколько раз больше, чем энергия системы, состоящей из ядра и -частицы. 33
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Прохождение частицы через потенциальный барьер Ядерный синтез - основная реакция, которая разогревает Солнце и косвенно почти все вещество в Солнечной системе. Ядерный синтез - сближение протонов на маленькое расстояние – синтез и формирование ядра дейтерия с выделением энергии. Классическая физика: протоны не могут преодолеть барьер, существование которого вызвано их взаимным электростатическим отталкиванием. 34
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Прохождение частицы через потенциальный барьер Сканирующий электронный микроскоп – устройство, позволяющее ученым наблюдать изображения с горизонтальным разрешением до 0, 2 нм и вертикальным разрешением до 0, 001 нм. 35
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Простой гармонический осциллятор Излучение абсолютно черного тела Классический подход Стоячие э-м волны в полости в результате излучения, вызванного колеблющимися в ее стенках зарядами. Потенциальная энергия системы , где Колебания частицы между x = - A и x = A, где A – амплитуда колебаний. Общая энергия Любое значение E разрешено, включая E = 0, соответствующее общей энергии частицы в покое при x = 0. 36
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Простой гармонический осциллятор Излучение абсолютно черного тела Квантово-механический подход Уравнение Шредингера Решение для основного состояния и Остальные решения, относящиеся к возбужденным состояниям, более сложны, но также содержат экспоненциальный множитель 37
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Простой гармонический осциллятор Излучение абсолютно черного тела Квантово-механический подход Квантование уровней энергии гармонического осциллятора Добавка ½ к n по сравнению с уравнением Планка. 38
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Простой гармонический осциллятор Излучение абсолютно черного тела Квантово-механический подход ………………… Уровни энергии находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. 39
Уравнение Шредингера для стационарных состояний Простой гармонический осциллятор классический подход квантовомеханический подход Излучение абсолютно черного тела Квантово-механический подход Плотности вероятностей для трех первых состояний гармонического осциллятора. Улучшение соответствия между классическим и квантовомеханическим подходами по мере увеличения n. 40
Контрольный вопрос Частица совершает простые гармонические колебания в состоянии n = 0. Наиболее вероятным значением положения частицы согласно законам квантовой механики являются: (а) x = 0 (б) x = A (в) все значения x равновероятны. 41
Скачать презентацию Содержание предыдущей лекции Гипотеза де Бройля Дифракция электронов
ЛК 7 2013 Оптика двухсеместр.ppt