Содержание 1. Определители 2. Элементы теории матриц

Содержание 1. Определители 2. Элементы теории матриц 3. Системы линейных уравнений 4. Элементы векторной алгебры 5. Прямая на плоскости и плоскости

Определители

• Рассмотрим таблицу 2221 1211 aa aa

Числа – это элементы таблицы. ij a 22211211 , , , aaaa столбцаномерj строкиномерi ;

• Число строк – порядок таблицы. • Главная диагональ – диагональ идущая с левого верхнего угла в правый нижний. • Побочная диагональ – диагональ идущая с верхнего правого угла в левый нижний.

2221 1211 aa aa побочная главная

• Число называется определителем 2 -го порядка . 12212211 aaaa

12212211 2221 1211 aaaa aa aa

Определители третьего порядка

• Рассмотрим таблицу 333231 232221 131211 aaa aaa

• Число называется определителем третьего порядка 332112322311312213 322113312312332211 aaaaaaaaa

332112322311312213 322113312312332211 333231 232221 131211 aaaaaaaaa aaa aaa

Методы вычисления определителей третьего порядка

Правило треугольника

Три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников: берутся со знаком » «, а три произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух других треугольников: берутся со знаком » «.

Разложение по элементам какой-либо строки(столбца)

Минор

Опр. Минором элемента определителя 3 -го порядка называется определитель 2 -го порядка, получающийся из данного определителя вычёркиванием строки и столбца, в которых расположен элемент.

Обозначение минора Минор элемента , стоящего на пересечении i -й строки и j -го столбца определителя, обозначаютij M

Алгебраическое дополнение

Опр. Алгебраическим дополнением элемента определителя 3 -го порядка называется минор этого элемента, умноженный на (-1) в степени , где k. jik

ij ji ij MA 1 ij k ij M

Теорема разложения Определитель 3 -го порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения.

Таким образом, имеет место шесть разложений: . , , , 333323231313 323222221212 313121211111 333332323131 232322222121 131312121111 Aa. Aa. Aa

Свойства определителей 1. Определитель не меняет своего значения при замене каждой строки соответствующим столбцом. 2. Определитель изменит знак , если поменять местами любые две строки или столбца.

3. Общий множитель элементов какого-либо строки (столбца) определителя можно выносить за знак определителя. 4. Определитель равен нулю, если он имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки. 5. Определитель равен нулю, если элементы какой-либо строки (столбца) все равны нулю.

6. Значение определителя не изменится, если к элементам строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на одно число.

Определители высших порядков

434241 333231 232221 14 444241 343231 242221 13 444341 343331 242321 12 444342 343332 242322 11 44434241 34333231 24232221 14131211 aaa aaa aaa a aaaa

• С помощью свойства 6 добиваются того, чтобы в некоторой строке или в некотором столбце все элементы, кроме одного, были равны нулю. • Затем раскладывают определитель по элементам этой строки или столбца.

3121 3101 0123 2012 (-1) +

311 013 202 2 (-1) +

12325 31603 43119 21215 11213(-2) (-3)+ +

1112 2016 7713 3611 3 1132 2036 7733 3631 11 51 (-1) +++

473 165 412 113 4703 1605 4102 3611 3 21(-5) 2 3 2 + +

Метод приведения к треугольному виду Метод приведения к треугольному виду заключается в таком преобразовании данного определителя, когда все элементы его, лежащие над (под) главной диагональю, становятся равными нулю.

44332211 44434241 333231 2221 11 0 00 000 aaaa aaa aa a

44332211 44 3433 242322 14131211 000 00 0 аааа аааа