Содержание: • понятие комплексного

Уравнения вида х2 + а = 0 (а >0) не имеют действительных корней. Решение

Комплексным числом называют упорядоченную пару (x, y) действительных чисел x и y.

Суммой двух пар называют упорядоченную пару z 1 + z 2 =(x 1, y

Упорядоченная пара О = (0, 0) играет роль нуля при сложении упорядоченных пар; называют

Рассмотрим упорядоченную пару i=(0, 1). Применяя формулу (2), получаем i 2=i ·i= (0,

Решим уравнение вида x 2+4 x+5=0. D=42+5·(-4)=16 -20=-4<0;

Упорядоченную пару i =(0, 1) , удовлетворяющую соотношению i 2 =-1 ,

Алгебраическая форма записи комплексного числа: (x, y) = x + yi.

Число x называют действительной частью, число y - мнимой частью комплексного числа x+yi.

Как известно, действительные числа можно изображать точками прямой линии. Комплексные числа можно изображать точками

Графическое изображение Комплексному числу z=x + yi сопоставим

• Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел

Если дано комплексное число z=x+yi, то число z= x - yi, отличающееся от

Графическое изображение сопряженного числа

Графическое изображение сопряженного числа Действительные числа, и только они, сопряжены сами

Какая линия на плоскости определяется уравнением zz+i(z-z)-8=0? Пусть z=x+iy, z= x -

Два комплексных числа x 1+ y 1 i, x 2+y 2 i называют равными,

Комплексное число равно нулю, когда равны нулю его действительная и мнимая части: (x +

Пример. Найти действительные решения уравнения (4+2 i)x+(5 -3 i)y=13+i • Решение: выделим в левой

Пример. Найти действительные решения уравнения: cosx+isinx=1/2+3 i/4 • Согласно равенству двух комплексных чисел

Пример. При каких x и y справедливо равенство Решение: используем условие равенства двух

Пример. Найти действительные x и y из уравнения Решение: используем условие равенства

Пример. При каких действительных значениях x и y числа z 1 и

Арифметические действия над комплексными числами: (x 1+y 1 i) +(x 2+y 2 i)=(x 1

Пример: Даны комплексные числа 10 + 8 i, 1 + i. Найти их

Пример: Даны комплексные числа 5 + 2 i, 2 -5 i. Найти их

Пример: найти z из уравнения: (2 -3 i)z=-1 -5 i Решение:

Возведение в степень комплексного числа z=x+yi • Бином Ньютона:

Пример: возвести комплексное число z=2 -4 i в третью степень. • Решение:

Пример: вычислить: i 10, i 33, (-i)21 • Решение. При четной степени i

Извлечение квадратного корня из комплексного числа z=x+yi • Квадратным корнем из комплексного числа

• Замечание. Знаки u и v выбирают так, чтобы они удовлетворяли

Пример: извлечь квадратный корень из комплексного числа z=5+12 i. • Пусть

Замечание. Знаки u и v выбирают так, чтобы они удовлетворяли уравнению y=2 uv.

Пример: Изобразить на плоскости Rez>3. Решение: Т. к. Rez=x, то x>3.

Пример: Изобразить на плоскости Rez>3. Решение: Т. к. Rez=x, то x>3. Имеем:

Изобразить на плоскости -1<Imz<2. Решение: Т. к. Imz=y, то-1<y<2. Имеем:

Пример. Представить в алгебраической форме а)1/i, б)(1 -i)/(1+i), в)2/(1 -3 i).

Модулем комплексного числа z=x+yi называют длину r отрезка ОМ, где О — начало координат,

Модуль комплексного числа z= x + yi обозначают символом r=|OM|,

Аргументом комплексного числа z=x+yi называют величину угла φ наклона отрезка ОМ к оси Ох.

Главное значение аргумента - одно и только одно значение, заключенное между -π и π,

Пример. Найти модуль и аргумент комплексного числа z = 2+2 i. Изобразим комплексное число

Так как - π <arg z ≤ π и tg φ=y /x, получаем:

Пример. Найти модуль и аргумент комплексного числа z = -2+4 i. Изобразим

Пример. Найти модуль и аргумент комплексного числа • Решение. Выделим действительную и мнимую

Пример: Изобразить множество точек на комплексной плоскости:

Пример: Изобразить множество точек на комплексной плоскости: Решение:

Пример: определить множество точек на комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству Решение.

Пример: записать в комплексной форме • Решение.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = r ( cos φ + isin

Пример. Записать число в тригонометрической форме Решение.

Показательная (экспоненциальная)форма записи комплексного числа z= rе iφ

Пример. Записать комплексное число z=-1+i в тригонометрической и показательной формах. Решение:

Для записи комплексного числа z=-1+i в тригонометрической и показательной формах найдем его модуль и

Пример. Записать комплексное число z в тригонометрической и показательной формах.

Изобразим число z=1 -i на комплексной плоскости 1 -1 .

Найдем модуль и аргумент комплексного числа

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме: z 1=r (cosφ + i sinφ),

Формула Муавра-Лапласа для извлечения корня n-ой степени из комплексного числа

Выведем формулу нахождения корня степени n из комплексного числа z 1: z 2

Скачать презентацию Содержание: • понятие комплексного

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА.ppt

Количество слайдов: 88

> Содержание: • понятие комплексного числа; • алгебраическая форма записи Содержание: • понятие комплексного числа; • алгебраическая форма записи комплексного числа; • геометрическое изображение комплексных чисел; • арифметические действия над комплексными числами; • модуль и аргумент комплексного числа; • тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа.

>Уравнения вида х2 + а = 0 (а >0) не имеют действительных корней. Решение Уравнения вида х2 + а = 0 (а >0) не имеют действительных корней. Решение таких уравнений приводит к необходимости рассмотрения множества комплексных чисел, которое в качестве своего подмножества содержит множество действительных чисел.

>Комплексным числом называют упорядоченную пару (x, y) действительных чисел x и y. Комплексным числом называют упорядоченную пару (x, y) действительных чисел x и y. z 1=(x 1, y 1), z 2=(x 2, y 2). Эти пары называют равными, если x 1=x 2, y 1=y 2, т. е. (x 1, y 1)=(x 2, y 2) (x 1=x 2, y 1=y 2).

>Суммой двух пар называют упорядоченную пару z 1 + z 2 =(x 1, y Суммой двух пар называют упорядоченную пару z 1 + z 2 =(x 1, y 1) +(x 2, y 2)=(x 1 + x 2, y 1+y 2), (1) а произведением - упорядоченную пару z 1 z 2 =(x 1, y 1)(x 2, y 2)=(x 1 x 2 - y 1 y 2, x 2 y 1+x 1 y 2). (2)

>Упорядоченная пара О = (0, 0) играет роль нуля при сложении упорядоченных пар; называют Упорядоченная пара О = (0, 0) играет роль нуля при сложении упорядоченных пар; называют ее нуль—парой. Роль единицы выполняет упорядоченная пара ?

>Рассмотрим упорядоченную пару i=(0, 1). Применяя формулу (2), получаем i 2=i ·i= (0, Рассмотрим упорядоченную пару i=(0, 1). Применяя формулу (2), получаем i 2=i ·i= (0, 1)=(0 -1, 0+0)=(-1, 0). Поскольку (-1, 0)=-1, то i 2= -1, i= .

>Решим уравнение вида x 2+4 x+5=0. D=42+5·(-4)=16 -20=-4<0; Решим уравнение вида x 2+4 x+5=0. D=42+5·(-4)=16 -20=-4<0;

>Упорядоченную пару i =(0, 1) , удовлетворяющую соотношению i 2 =-1 , Упорядоченную пару i =(0, 1) , удовлетворяющую соотношению i 2 =-1 , называют мнимо единицей. С помощью мнимой единицы можно записать любое комплексное число z = (x, y), т. е. упорядоченную пару действительных чисел.

>Алгебраическая форма записи комплексного числа: (x, y) = x + yi. Алгебраическая форма записи комплексного числа: (x, y) = x + yi.

>Число x называют действительной частью, число y - мнимой частью комплексного числа x+yi. Число x называют действительной частью, число y - мнимой частью комплексного числа x+yi. Обозначения: x = Re z, y = Im z, где Re - действительный, Im - мнимый.

>Как известно, действительные числа можно изображать точками прямой линии. Комплексные числа можно изображать точками Как известно, действительные числа можно изображать точками прямой линии. Комплексные числа можно изображать точками плоскости.

>Графическое изображение Комплексному числу z=x + yi сопоставим Графическое изображение Комплексному числу z=x + yi сопоставим точку М(x, y) этой плоскости с координатами (x, y).

> • Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел • Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел и точками плоскости.

>Если дано комплексное число z=x+yi, то число z= x - yi, отличающееся от Если дано комплексное число z=x+yi, то число z= x - yi, отличающееся от z только знаком при мнимой части, называют числом, сопряженным числу z, и обозначают z.

>Графическое изображение сопряженного числа Графическое изображение сопряженного числа

>Графическое изображение сопряженного числа Действительные числа, и только они, сопряжены сами Графическое изображение сопряженного числа Действительные числа, и только они, сопряжены сами себе.

> Какая линия на плоскости определяется уравнением zz+i(z-z)-8=0? Пусть z=x+iy, z= x - Какая линия на плоскости определяется уравнением zz+i(z-z)-8=0? Пусть z=x+iy, z= x - yi, zz= (x+iy)(x – iy)= =x 2+y 2 Подставим все в уравнение zz+i(z-z)-8=0 Получим x 2+y 2 -2 y-8=0 или x 2+(y-1)2 =9

>Два комплексных числа x 1+ y 1 i, x 2+y 2 i называют равными, Два комплексных числа x 1+ y 1 i, x 2+y 2 i называют равными, когда x 1=x 2, y 1=y 2 : (x 1+ y 1 i=x 2+y 2 i) (x 1=x 2, y 1=y 2). (3)

>Комплексное число равно нулю, когда ? Комплексное число равно нулю, когда ?

>Комплексное число равно нулю, когда равны нулю его действительная и мнимая части: (x + Комплексное число равно нулю, когда равны нулю его действительная и мнимая части: (x + yi = 0) (x = 0, y=0).

>Пример. Найти действительные решения уравнения (4+2 i)x+(5 -3 i)y=13+i • Решение: выделим в левой Пример. Найти действительные решения уравнения (4+2 i)x+(5 -3 i)y=13+i • Решение: выделим в левой части уравнения действительную и мнимую части: (4 x+5 y)+(2 x-3 y)i=13+i • Согласно равенству двух комплексных чисел имеем Ответ: x=2, y=1

>Пример. Найти действительные решения уравнения: cosx+isinx=1/2+3 i/4 • Согласно равенству двух комплексных чисел Пример. Найти действительные решения уравнения: cosx+isinx=1/2+3 i/4 • Согласно равенству двух комплексных чисел имеем • cosx=1/2, sinx=3/4 • Уравнение не имеет решений, так как cos 2 x+sin 2 x=13/16

>Пример. При каких x и y справедливо равенство Решение: используем условие равенства двух Пример. При каких x и y справедливо равенство Решение: используем условие равенства двух комплексных чисел

> Пример. Найти действительные x и y из уравнения Решение: используем условие равенства Пример. Найти действительные x и y из уравнения Решение: используем условие равенства двух комплексных чисел

> Пример. При каких действительных значениях x и y числа z 1 и Пример. При каких действительных значениях x и y числа z 1 и z 2 будут комплексно сопряженными? Пусть используем условие равенства двух комплексных чисел

> Пример. Решить систему Решение: Пример. Решить систему Решение:

>Арифметические действия над комплексными числами: (x 1+y 1 i) +(x 2+y 2 i)=(x 1 Арифметические действия над комплексными числами: (x 1+y 1 i) +(x 2+y 2 i)=(x 1 + x 2)+(y 1+y 2)i, (x 1+y 1 i)-(x 2+y 2 i)=(x 1 - x 2)+(y 1 -y 2)i, (x 1+y 1 i)(x 2+y 2 i)=x 1 x 2+x 1 y 2 i+x 2 y 1 i+ +y 1 y 2 i 2=(x 1 x 2 -y 1 y 2)+ (x 1 y 2+x 2 y 1)i, (i 2=-1)

>Пример: Даны комплексные числа 10 + 8 i, 1 + i. Найти их Пример: Даны комплексные числа 10 + 8 i, 1 + i. Найти их сумму, разность, произведение и частное. (10+8 i)+(1+i)=?

>Пример: Даны комплексные числа 10 + 8 i, 1 + i. Найти их Пример: Даны комплексные числа 10 + 8 i, 1 + i. Найти их сумму, разность, произведение и частное. (10+8 i)+(1+i)=(10+1)+(8+1)i=?

>Пример: Даны комплексные числа 5 + 2 i, 2 -5 i. Найти их Пример: Даны комплексные числа 5 + 2 i, 2 -5 i. Найти их произведение и частное.

> Пример: найти z из уравнения: (2 -3 i)z=-1 -5 i Решение: Пример: найти z из уравнения: (2 -3 i)z=-1 -5 i Решение:

> Возведение в степень комплексного числа z=x+yi • Бином Ньютона: Возведение в степень комплексного числа z=x+yi • Бином Ньютона:

>Пример: возвести комплексное число z=2 -4 i в третью степень. • Решение: Пример: возвести комплексное число z=2 -4 i в третью степень. • Решение:

> Пример: вычислить: i 10, i 33, (-i)21 • Решение. При четной степени i Пример: вычислить: i 10, i 33, (-i)21 • Решение. При четной степени i имеем

>Извлечение квадратного корня из комплексного числа z=x+yi • Квадратным корнем из комплексного числа Извлечение квадратного корня из комплексного числа z=x+yi • Квадратным корнем из комплексного числа называют комплексное число, квадрат которого равен данному числу. Обозначим:

>Возведем каждое из равенств в квадрат Возведем каждое из равенств в квадрат

> • Замечание. Знаки u и v выбирают так, чтобы они удовлетворяли • Замечание. Знаки u и v выбирают так, чтобы они удовлетворяли уравнению y=2 uv.

>Пример: извлечь квадратный корень из комплексного числа z=5+12 i. • Пусть Пример: извлечь квадратный корень из комплексного числа z=5+12 i. • Пусть

>Замечание. Знаки u и v выбирают так, чтобы они удовлетворяли уравнению y=2 uv. Замечание. Знаки u и v выбирают так, чтобы они удовлетворяли уравнению y=2 uv.

>Пример: Изобразить на плоскости Rez>3. Пример: Изобразить на плоскости Rez>3.

>Пример: Изобразить на плоскости Rez>3. Решение: Т. к. Rez=x, то x>3. Пример: Изобразить на плоскости Rez>3. Решение: Т. к. Rez=x, то x>3.

>Пример: Изобразить на плоскости Rez>3. Решение: Т. к. Rez=x, то x>3. Имеем: Пример: Изобразить на плоскости Rez>3. Решение: Т. к. Rez=x, то x>3. Имеем:

>Изобразить на плоскости -1<Imz<2. Решение: Т. к. Imz=y, то-1<y<2. Имеем: Изобразить на плоскости -1

>Пример. Представить в алгебраической форме а)1/i, б)(1 -i)/(1+i), в)2/(1 -3 i). Пример. Представить в алгебраической форме а)1/i, б)(1 -i)/(1+i), в)2/(1 -3 i).

>Модулем комплексного числа z=x+yi называют длину r отрезка ОМ, где О — начало координат, Модулем комплексного числа z=x+yi называют длину r отрезка ОМ, где О — начало координат, М(x, y) — точка, изображающая это комплексное число.

>Модуль комплексного числа z= x + yi обозначают символом r=|OM|, Модуль комплексного числа z= x + yi обозначают символом r=|OM|, r=|z|.

> Пример. Решить уравнение Решение: пусть Пример. Решить уравнение Решение: пусть

>Аргументом комплексного числа z=x+yi называют величину угла φ наклона отрезка ОМ к оси Ох. Аргументом комплексного числа z=x+yi называют величину угла φ наклона отрезка ОМ к оси Ох. Обозначается : Arg z. Аргумент комплексного числа z имеет бесконечное множество значений, отличающихся одно от другого на число, кратное 2π.

>Главное значение аргумента - одно и только одно значение, заключенное между -π и π, Главное значение аргумента - одно и только одно значение, заключенное между -π и π, включая последнее. Обозначается: arg z. Arg z = arg z+2 kπ (k = 0, ± 1, ± 2, . . . ), - π

>Пример. Найти модуль и аргумент комплексного числа z = 2+2 i. Изобразим комплексное число Пример. Найти модуль и аргумент комплексного числа z = 2+2 i. Изобразим комплексное число на плоскости:

>Решение: Решение:

>Так как - π <arg z ≤ π и tg φ=y /x, получаем: Так как - π

> Пример. Найти модуль и аргумент комплексного числа z = -2+4 i. Изобразим Пример. Найти модуль и аргумент комплексного числа z = -2+4 i. Изобразим комплексное число на плоскости:

>Пример. Найти модуль и аргумент комплексного числа • Решение. Выделим действительную и мнимую Пример. Найти модуль и аргумент комплексного числа • Решение. Выделим действительную и мнимую часть комплексного числа

>Главным значением аргумента будет Главным значением аргумента будет

>Пример: Изобразить множество точек на комплексной плоскости: Пример: Изобразить множество точек на комплексной плоскости:

>Пример: Изобразить множество точек на комплексной плоскости: Решение: Пример: Изобразить множество точек на комплексной плоскости: Решение:

>Пример: определить множество точек на комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству Решение. Пример: определить множество точек на комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству Решение.

>Пример: записать в комплексной форме • Решение. Пример: записать в комплексной форме • Решение.

>Тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = r ( cos φ + isin Тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = r ( cos φ + isin φ)

> Пример. Записать число в тригонометрической форме Решение. Пример. Записать число в тригонометрической форме Решение.

> Показательная (экспоненциальная)форма записи комплексного числа z= rе iφ Показательная (экспоненциальная)форма записи комплексного числа z= rе iφ

>Пример. Записать комплексное число z=-1+i в тригонометрической и показательной формах. Решение: Пример. Записать комплексное число z=-1+i в тригонометрической и показательной формах. Решение: • Изобразим комплексное число на плоскости . z=-1+i i -1

>Для записи комплексного числа z=-1+i в тригонометрической и показательной формах найдем его модуль и Для записи комплексного числа z=-1+i в тригонометрической и показательной формах найдем его модуль и главное значение аргумента.

>Пример. Записать комплексное число z в тригонометрической и показательной формах. Пример. Записать комплексное число z в тригонометрической и показательной формах.

>Изобразим число z=1 -i на комплексной плоскости 1 -1 . Изобразим число z=1 -i на комплексной плоскости 1 -1 . z=1 -i

>Найдем модуль и аргумент комплексного числа Найдем модуль и аргумент комплексного числа

>Действия над комплексными числами в тригонометрической форме: z 1=r (cosφ + i sinφ), Действия над комплексными числами в тригонометрической форме: z 1=r (cosφ + i sinφ), z 2 = ρ (cosψ + i sinψ). 1. z 1 z 2 = rρ (cos(φ+ ψ) + i sin(φ+ψ)), 3. формула Муавра: z 1 n=(r ( cosφ + i sinφ))n = r n ( cos nφ + i sin nφ),

>Формула Муавра-Лапласа для извлечения корня n-ой степени из комплексного числа Формула Муавра-Лапласа для извлечения корня n-ой степени из комплексного числа

>Выведем формулу нахождения корня степени n из комплексного числа z 1: z 2 Выведем формулу нахождения корня степени n из комплексного числа z 1: z 2 n = z 1, z 1=r (cosφ + i sinφ), z 2 = ρ (cosθ +i sinθ);

>Вычислить: Вычислить:

>Вычислить: z 3 Вычислить: z 3