СМЫСЛ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА ПОЛУЧЕННОГО В РЕЗУЛЬТАТЕ ИЗМЕРЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ

СМЫСЛ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА, ПОЛУЧЕННОГО В РЕЗУЛЬТАТЕ ИЗМЕРЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ лекция

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: n Считают, что отрезок x состоит из отрезков х1, , х2, х3, …, хn, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы. n ОБОЗНАЧЕНИЕ: Х – длина отрезка х, Е - длина единичного отрезка е. n

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: n n n Если отрезок х состоит из а отрезков, каждый их которых равен единичному отрезку е, то натуральное число а называют численным значением длины Х данного отрезка х при единице длины Е. Пишут: Х = а · Е или а = m Е(Х). х. ______. е е 4 = m. Е(Х) Х=4·Е

Натуральное число как результат измерения длины отрезка (или как мера длины отрезка) показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется. n При выбранной единице длины Е это число единственное. n

Примечание: n n n n При переходе к другой единице длины численное значение длины данного отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным. Например, один и тот же отрезок х измерим с помощью разных единиц длины: е и е 1. Получим разные числа: 8 и 4. . ___. х Х = 8 · Е если. ___. Х = 4 · Е 1 если. ___. е е 1 (а = b) (х = у) х. ___. . е е а отрезков у. ___. . е е b отрезков

СМЫСЛ ЗНАЧЕНИЯ СУММЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, ПОЛУЧЕННЫХ В РЕЗУЛЬТАТЕ ИЗМЕРЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ n n n n n Теорема: Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков у и z выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер его частей. х. _______. / у z Доказательство: Х - длина х, Y - длина у, Z - длина z. Пусть е - единичный отрезок. Е - длина отрезка е. Тогда m Е (Y) = а, m Е(Z) = b. Так как m Е(Y) = а, то отрезок у состоит из а отрезков, равных е. Так как m Е(Z) = b, то отрезок z состоит из b отрезков, равных е. Тогда отрезок х состоит из а + b отрезков, равных е. Значит, m Е(Х) = а + b = m Е(Y) + m Е(Z).

Значение суммы натуральных чисел n n Из этой теоремы следует, что значение суммы натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру длины отрезка х, состоящего из отрезков у и z, мерами длин которых являются числа а и b. а + b = m. Е(Y) + m. Е (Z) = m. Е (Y + Z). Аналогичный смысл имеет сумма натуральных чисел, полученных в результате измерения других величин.

Задача: n n n n Обосновать выбор арифметического действия при решении задачи. В саду собрали 7 кг смородины и 3 кг малины. Сколько всего килограммов ягод собрали? Единицей массы ягод является 1 кг: Е = 1 кг. Пусть Х – масса смородины: Х = 7 кг или m 1 кг (Х) = 7. Пусть Y – масса малины: Y = 3 кг или m 1 кг (Y) = 3. Требуется узнать m. Е (Х + Y). Решение: По теореме: m. Е (Х + Y) = m. Е (Х) + m. Е (Y) = 7 + 3 = 10. Ответ: Собрали 10 кг ягод.

СМЫСЛ ВЫЧИТАНИЯ И ЗНАЧЕНИЯ РАЗНОСТИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, ПОЛУЧЕННЫХ В РЕЗУЛЬТАТЕ ИЗМЕРЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ n n n n n Теорема: Если отрезок х состоит из отрезков у и z и длины отрезков у и z выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка z равна разности мер длин отрезков х и у. Если m Е (Х) = а, m Е(Y) = b, то а – b = m Е(Х) - m Е(Y) = m Е(Х - Y): Доказательство: Пусть Х - длина х, Y - длина у, Z - длина z. Пусть е - единичный отрезок. Е длина отрезка е. Тогда m Е(Х) = а, m Е (Y) = b. m Е(Z) - ? Так как m Е(Х) = а, то отрезок х состоит из а отрезков, равных е. (а = 8) Так как m Е(Y) = b, то отрезок z состоит из b отрезков, равных е. (b = 5) Тогда отрезок z состоит из а - b отрезков, равных е. (8 – 5 = 3) Значит, а - b = m Е(Z), где Z = Х - Y.

Вычитание натуральных чисел Из этой теоремы следует, что вычитание натуральных чисел связано с нахождением меры отрезка z, являющегося составной частью отрезка х. Значение разности натуральных чисел а – b можно рассматривать как меру длины такого отрезка z = х – у, что z + у = х. n

Пример 1: Объяснить смысл значения разности 4 - 3 если 4 и 3, получены в результате измерения длины отрезка. n n Решение: Пусть Х - длина х, Y - длина у, Z - длина z. Пусть е единичный отрезок. Е - длина отрезка е. Пусть 4 = m Е (Х), 3 = m Е (Y) и отрезок Х состоит из отрезков Y и Z. n n х n n n n z у Так как m Е (Х) = 4, то отрезок х состоит из 4 отрезков, равных е. Так как m Е (Y) = 3, то отрезок z состоит из 3 отрезков, равных е. Тогда отрезок z состоит из 4 - 3 = 1 отрезка, равного е. Значит, 4 - 3 = m Е (Z), где Z = Х - Y. Ответ: Значение разности 4 - 3, где 4 и 3 получены в результате измерения длин отрезков, показывает численное значение длины отрезка, равного разности отрезков, численные значения длин которых выражены числами 4 и 3.

Пример 2: Обосновать выбор действия вычитания при решении задачи n n n Задача: Купили 7 кг картофеля и капусты. Сколько килограммов картофеля купили, если капусты было 3 кг? Решение: Пусть е - единичный отрезок. Е - длина отрезка е. Е = 1 кг. Отрезок Х состоит из отрезков Y и Z. Пусть Х - длина х. По условию Х = 7 кг. Значит, m 1 кг (Х) = 7. Пусть Y - длина у. По условию Y = 3 кг. Значит, m 1 кг(Y) = 3. Z - длина z. Z - ? кг, m 1 кг (Z) = ? 1 кг 1 кг х. _____. z у Так как m 1 кг(Х) = 4, то отрезок х состоит из 7 отрезков, равных е. Так как m 1 кг (Y) = 3, то отрезок z состоит из 3 отрезков, равных е. 7 кг складывается из массы картофеля и массы капусты – 3 кг. Значит, надо найти меру отрезка z, являющегося составной частью отрезка х. Поэтому задача решается с помощью действия вычитания. m 1 кг (Z) = m 1 кг (Х) – m 1 кг (Y) = 7 – 3. Ответ: Задача решается с помощью действия вычитания, т. к. находится мера отрезка z, являющегося составной частью отрезка х.

СМЫСЛ УМНОЖЕНИЯ И ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, ПОЛУЧЕННЫХ В РЕЗУЛЬТАТЕ ИЗМЕРЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ n n n n n Теорема: Если отрезок х состоит из а отрезков, длины которых равны Е, а отрезок длины Е состоит из b отрезков, длины которых Е 1, то мера длины отрезка х при единице длины Е 1 равна а · b. Действительно, Х = а · Е = а · (b · Е 1) = (а · b) · Е 1. Например, пусть х = 3 · е. е e e х. ___. х содержит е 3 раза. (a раз) е. ___. е содержит е 1 2 раза (b раз) е 1 е e e х. ___. х содержит е 1 3 · 2 = 6 раз. е 1 е 1 е 1 a · b раз

Умножение натуральных чисел n n n Из этой теоремы следует, что умножение натуральных чисел связано с переходом (в связи с измерением) к новой более мелкой единице длины: При уменьшении единицы длины в b раз численное значение длины отрезка увеличивается в b раз. Если натуральное число а - мера длины отрезка х при единице длины Е, натуральное число b - мера длины Е при единице длины Е 1, то значение произведения а · b это мера длины отрезка х при единице длины Е 1. а · b = m Е (Х) · m Е 1 (Е) = m Е 1 (Х).

Задача 1: Объяснить смысл значения произведения 4 · 3 если 4 и 3, получены в результате измерения длины отрезка. Решение: Пусть 4 = m Е (Х), 3 = m Е 1 (Е). е e e e х. ___. х содержит е 4 раза. n е n . ___. е содержит е 1 3 раза. е 1 е 1 е e e e х. ___. е 1 е 1 е 1 х содержит е 1 4 · 3 = 12 раз. Ответ: Значение произведения 4 · 3, где 4 и 3 получены в результате измерения длин отрезков, показывает численное значение длины данного отрезка, измеренного сначала одной единицей длины. В результате получено число 4. Затем другой единицей длины, меньше данной в 3 раза.

Задача 2: Обосновать выбор действия при решении задачи: В одной коробке 6 ручек. Сколько ручек в таких 3 коробках? Решение: Пусть е – 1 коробка, е 1 - 1 ручка, х = 3 коробки. n Тогда 3 = m Е (Х), 6 = m Е 1 (Е). Требуется найти m Е 1 (Х). е 1 е 1 е 1 n е. ___. В одной коробке 6 ручек. n е содержит е 1 6 раз. Е = 6 · Е 1. n Тогда в трех коробках: Х = 3 · Е = 3 · (6 · Е 1) = 18 · Е 1. n е e e х. __. __. __. n е 1 е 1 е 1 е 1 е 1 х содержит е 1 3 · 6 = 18 раз. n Решение: 3 кор. = 3 · 1 кор. = 3 · (6 руч. ) = (3 · 6) · 1 руч. = 18 руч. n Ответ: Задача решается с помощью действия умножения, т. к. при измерении величины осуществляется переход от более крупной единицы величины (коробки) к более мелкой (ручке). n

СМЫСЛ ДЕЛЕНИЯ И ЗНАЧЕНИЯ ЧАСТНОГО НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, ПОЛУЧЕННЫХ В РЕЗУЛЬТАТЕ ИЗМЕРЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ n n n n Теорема: Если отрезок х состоит из а отрезков, длины которых равны Е, а отрезок длины Е 1 состоит из b отрезков длины Е, то мера длины отрезка х при единице длины Е 1 равна а : b. Действительно, Х = а · Е = а · ( · Е 1) = (а : b) · Е 1. Например, пусть х = 6 · е. е e e х. ___. х содержит е 6 раз. (a раз) е 1. ___. е 1 содержит е 2 раза (b раз) е e e х. ___. е 1 е 1 х содержит е 1 6 : 2 = 3 раза. a : b раз

Деление натуральных чисел n n n Из этой теоремы следует, что деление натуральных чисел связано с переходом (в связи с измерением) к новой более крупной единице длины: При увеличении единицы длины в b раз численное значение длины отрезка уменьшается в b раз. Если натуральное число а - мера длины отрезка х при единице длины Е, натуральное число b - мера длины Е 1 при единице длины Е, то значение частного а : b – это мера длины отрезка х при единице длины Е 1.

Задача 1: Объяснить смысл значения частного 12 : 3 если 12 и 3, получены в результате измерения длины отрезка. Решение: Пусть 12 = m Е (Х), 3 = m Е 1(Е). n е е е х. ___. х содержит е 12 раз n n n n е 1. ___. е 1 содержит е 3 раза. е е 1 е 1 е 1 х. ___. х содержит е 1 12 : 3 = 4 раза. Ответ: Значение частного 12 : 3, где 12 и 3 получены в результате измерения длин отрезков, показывает численное значение длины данного отрезка, измеренного сначала одной единицей длины. В результате получено число 12. Затем другой единицей длины, больше данной в 3 раза.

Задача 2: Обосновать выбор действия при решении задачи. Из 12 м ткани сшили платья, расходуя на каждое по 4 м. Сколько платьев сшили? Решение: Пусть е – 1 м, е 1 - 1 платье, х = 12 м. n Тогда 12 = m Е (Х), 4 = m Е 1 (Е). Требуется найти m Е 1 (Х). е е е х. ___. х содержит е 12 раз n n е 1. ___. е 1 содержит е 4 раза. n е е n е 1 е 1 n х. ___. n х содержит е 1 12 : 4 = 3 раза. Решение: 12 м = 12 · 1 м = 12 · ( пл. ) = (12 · ) · 1 пл. = (12 : 4) · 1 пл. = 3 пл. Ответ: Задача решается с помощью действия деления, т. к. при измерении величины осуществляется переход от более мелкой единицы величины (1 м) к более крупной (1 платье). n