Случайные величины. Распределения случайных величин Тишков Артем Валерьевич,

Описание презентации Случайные величины. Распределения случайных величин Тишков Артем Валерьевич, по слайдам

Случайные величины. Распределения случайных величин Тишков Артем Валерьевич, к. ф. -м. н. , доцентСлучайные величины. Распределения случайных величин Тишков Артем Валерьевич, к. ф. -м. н. , доцент Микрюкова Надежда Николаевна

Случайная величина – это числовая переменная, которая принимает свои значения в зависимости от случайныхСлучайная величина – это числовая переменная, которая принимает свои значения в зависимости от случайных обстоятельств. функция, действующая из вероятностного пространства (множество событий) в множество вещественных чисел. . Дискретная (точечная) СВ принимает отдельные числовые значения (число студентов в аудитории, игральная кость: 1, 2, 3, 4, 5, 6) Непрерывная случайная величина принимает любые значения из некоторого интервала (масса тела, рост студентов), возможно бесконечного.

Случайные величины будем обозначать заглавными последними буквами латинского алфавита: X, Y, Z… , аСлучайные величины будем обозначать заглавными последними буквами латинского алфавита: X, Y, Z… , а их возможные значения прописными буквами: X {x 1 , x 2 , …, x n }, Y {y 1 , y 2 , …, y m } Любое правило, которое устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями , с которыми она эти значения принимает, называется законом распределения случайной величины. Закон распределения СВ можно задавать в виде : 1) таблицы, 2) графика, 3) Функции распределения. Случайная величина

Закон распределения случайной величины Любое правило, которое устанавливает связь между возможными значениями случайной величиныЗакон распределения случайной величины Любое правило, которое устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями , с которыми она эти значения принимает, называется законом распределения случайной величины. Закон распределения случайной величины можно задавать в виде : 1) Таблицы 2) Графика 3) Функции распределения.

Дискретная СВ. Таблица распределения X x 1 x 2 … … … x nДискретная СВ. Таблица распределения X x 1 x 2 … … … x n P(x) P(x 1 ) P(x 2 ) P(x n )Ряд распределения(может быть конечным или бесконечным) Так как события X=x 1 , X=x 2 …. попарно несовместны и составляют полную группу событий, следовательно

График :  многоугольник распределения. Дискретная СВ. График распределения 6 График : многоугольник распределения. Дискретная СВ. График распределения

Функция распределения F(x 0 ) – это вероятность того, что случайная величина X принимаетФункция распределения F(x 0 ) – это вероятность того, что случайная величина X принимает значения меньшие или равные x 0. Дискретная СВ. Функция распределения

1). F(x) неубывающая:  F(x 2 )≥F(x 1 ) если x 2 ≥x 11). F(x) неубывающая: F(x 2 )≥F(x 1 ) если x 2 ≥x 1 2). F(-∞)=0; F(+∞)=

Пример X 2 4 6 8 10 P(x) 0, 1 0, 2 0, 4Пример X 2 4 6 8 10 P(x) 0, 1 0, 2 0, 4 0, 2 0, 1 F(x) 0, 1 0, 3 0, 7 0,

Непрерывная случайная величина Таблица:  Интервальный ряд распределения. X Δx 1 Δx 2 ΔxНепрерывная случайная величина Таблица: Интервальный ряд распределения. X Δx 1 Δx 2 Δx k P(Δx) P(Δx 1 ) P(Δx 2 ) P(Δx k ) График: Гистограмма.

Функция распределения Непрерывная случайная величина 11 Функция распределения Непрерывная случайная величина

Функция плотности распределения f(x):  (только для непрерывной случайной величины). Непрерывная случайная величина 12Функция плотности распределения f(x): (только для непрерывной случайной величины). Непрерывная случайная величина

Функция плотности распределения f(x) неотрицательная функция (f(x)≥ 0) Вероятность попадания в элементарный интервал dx=(x+Δx)-Функция плотности распределения f(x) неотрицательная функция (f(x)≥ 0) Вероятность попадания в элементарный интервал dx=(x+Δx)- x равна f(x)dx=d. P.

 Вероятность попадания случайной величины в интервал [a, b]: Функция плотности распределения Условие нормировки: Вероятность попадания случайной величины в интервал [a, b]: Функция плотности распределения Условие нормировки:

Числовые характеристики (параметры) случайной величины 1) Математическое ожидание 2) Дисперсия (рассеивание) 3) Средне-квадратическое илиЧисловые характеристики (параметры) случайной величины 1) Математическое ожидание 2) Дисперсия (рассеивание) 3) Средне-квадратическое или стандартное отклонение

Математическое ожидание Дискретная случайная величина Непрерывная случайная величина 16 - числа Математическое ожидание Дискретная случайная величина Непрерывная случайная величина 16 — числа

Дисперсия (рассеивание) это математическое ожидание (среднее значение) квадрата отклонения случайной величины X от еёДисперсия (рассеивание) это математическое ожидание (среднее значение) квадрата отклонения случайной величины X от её математического ожидания. Если X и Y независимые случайные величины, то Непрерывная случайная величина:

Равномерное или прямоугольное распределение Случайная величина называется равномерно распределённой  на интервале [c, d],Равномерное или прямоугольное распределение Случайная величина называется равномерно распределённой на интервале [c, d], если функция плотности распределения её на этом интервале постоянна, а вне него равна нулю 18 dxcxесли dxcеслиconst xf , 0 ,

Стандартное отклонение Средне-квадратическое или стандартное отклонение: 19 Стандартное отклонение Средне-квадратическое или стандартное отклонение:

Равномерное распределение. Чему равна константа Из условия нормировки 20 получаем: 1  dxxf dРавномерное распределение. Чему равна константа Из условия нормировки 20 получаем: 1 dxxf d c d c cdconstxconstdxconstdxxf 1 cdconst

Равномерное распределение.  Вероятность попадания в интервал 21 c   a  Равномерное распределение. Вероятность попадания в интервал 21 c a b d x f(x) сd ab x сd dx сd bxa. P b a 11 Каждое значение на отрезке [a; b] случайная величина принимает с одинаковой вероятностью.

Нормальное распределение или распределение Гаусса Случайная величина распределена по нормальному закону , если функцияНормальное распределение или распределение Гаусса Случайная величина распределена по нормальному закону , если функция плотности её распределения имеет вид: 22 где а, σ – параметры распределения. e ax xf

Нормальное распределение. График плотности распределения Кривая симметрична относительно прямой х= а 23 достигается вНормальное распределение. График плотности распределения Кривая симметрична относительно прямой х= а 23 достигается в этой же точке х= а На графике представлены вероятности попадания в интервалы среднее значение плюс-минус одна, две и три сигмы Xf(x) a-3σ a-2σ a-σ a a+σ a+2σ a+3σP d =0, 68 P d =0, 954 P d =0, 9972 2 1 max xf

Нормальное распределение.  Примеры графиков плотности распределения 24 Графики плотности распределения с разными значениямиНормальное распределение. Примеры графиков плотности распределения 24 Графики плотности распределения с разными значениями параметра а. (σ=1) Графики плотности распределения с разными значениями параметра σ. (σ <σ <σ , a=1)₁ ₂ ₃ -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 700. 05 0. 15 0. 25 0. 35 0. 45 σ =1 ₁ σ =1, ₂ 5 σ =2 ₃ Xf(x) σ =1 ₁ σ =1, 5 ₂ σ ₃ =2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 600. 05 0. 15 0. 25 0. 35 0. 45 a = ₁ 2 a ₂ =1 Xf(x) a 3 =0 a 1 =2 a 2 =

Нормальное распределение.  Математическое ожидание и дисперсия Математическое ожидание н. р. равно a :Нормальное распределение. Математическое ожидание и дисперсия Математическое ожидание н. р. равно a : 25 Дисперсия н. р. равна σ 2 : Величину σ называют среднеквадратичным отклонением : adxxdxxfx. XMe ax 2 2 1 2 2 222 2 2 1 dxaxdxxfx. Mxx. De ax

Нормальное распределение.  Нормированная случайная величина 26 Введем замену переменной t – безразмерная случайнаяНормальное распределение. Нормированная случайная величина 26 Введем замену переменной t – безразмерная случайная величина. Важные свойства: М[t]=0 D[t]=1 σ[t] =1 Так как 99, 7% всех значений случайной величины Х отличаются от М[Х] не больше, чем на 3 · σ[Х], следовательно для любого значения x получим: с вероятностью Р=0, 997. X XMxax t

Нормальное распределение.  Нормальная функция распределения Функция распределения н. р. 27 Введем замену переменнойНормальное распределение. Нормальная функция распределения Функция распределения н. р. 27 Введем замену переменной Ф(t) называется функцией Гаусса или нормальной функцией распределения xaxx dxdxxfx. XPx. Fe 2 2 1 dxdt X XMxax t 1 X XMx tdt tt e

28 t Ф(t) 0 0, 5 1, 1 0, 864334 2, 2 0, 98609728 t Ф(t) 0 0, 5 1, 1 0, 864334 2, 2 0, 986097 0, 1 0, 539828 1, 2 0, 88493 2, 3 0, 989276 0, 2 0, 57926 1, 3 0, 9032 2, 4 0, 991802 0, 3 0, 617911 1, 4 0, 919243 2, 5 0, 99379 0, 4 0, 655422 1, 5 0, 933193 2, 6 0, 995339 0, 5 0, 691462 1, 6 0, 945201 2, 7 0, 996533 0, 6 0, 725747 1, 7 0, 955435 2, 8 0, 997445 0, 758036 1, 8 0, 96407 2, 9 0, 998134 0, 8 0, 788145 1, 9 0, 971283 3 0, 99865 0, 9 0, 81594 2 0, 97725 3, 1 0, 999032 1 0, 841345 2, 1 0, 982136 3, 2 0, 999313 Значения функции Ф(t) для 0 ≤ t ≤ 3 tt 1; 1; 0; 5,

Вероятность попадания значений н. р. случайной величины в интервал 29 Правило трёх сигм: ИнтервалВероятность попадания значений н. р. случайной величины в интервал 29 Правило трёх сигм: Интервал [a; b]

30 Биномиальное распределение 30 Биномиальное распределение

31 Обозначение    B (n, p)  Параметры   n 31 Обозначение B (n, p) Параметры n 0 — число «испытаний» 0 p 1 — вероятность «успеха» Носитель k {0, …, n} Функция плотности распределения Функция распределения (n — [k], 1+ [k]) Математическое ожидание np Дисперсия npqn k k p n k q 1 p. I

32 Распределение Пуассона 32 Распределение Пуассона

33 Обозначение    P (  ) Параметры    33 Обозначение P ( ) Параметры ( 0, ) Носитель k {1, 2, …} Функция вероятности Функция распределения Математическое ожидание Дисперсия ! k e k ( 1, ) ! Г k k

34 Распределение Гаусса 34 Распределение Гаусса

35 обозначение      N (  ) Параметры  35 обозначение N ( ) Параметры — коэффициент сдвига ( вещественное число ) >0 — коэффициент масштаба (вещественный, строго положительный) Носитель Плотность вероя тности Функция распределения Математическое ожидание Дисперсия 2 , ; )x 2 2 1 ( ) exp 2 2 x

36 Распределение Стьюдента 36 Распределение Стьюдента

37 Обозначение   t (n) Параметры  n0 — число степеней свободы Носитель37 Обозначение t (n) Параметры n>0 — число степеней свободы Носитель Плотность вероятности Функция распределения где — гипергеометрическая функция; )x 2 ( 1) / 2(( 1) / 2) ( / 2)(1 / ) n. Г n n Г n x n 1 (( 1) / 2) 2( / 2) x. Г n n. Г n 2 2 1 1 3 ( , ( 1) / 2; ; ) 2 2 ( / 2) x F n n n. Г n

38 Математическое ожидание  0,  если  n1 Дисперсия    38 Математическое ожидание 0, если n>1 Дисперсия , если n>2 2 n n