Случайные величины Лекция 9 9 1 Основные

Случайные величины. Лекция 9 • 9. 1. Основные понятия • 9. 2. Числовые характеристики случайной величины • 9. 3 Некоторые законы распределения и их числовые характеристики • 9. 4. Корреляционная зависимость 1

9. 1. Основные понятия • Случайная величина (далее СВ)- величина, численное значение которой может меняться в зависимости от результата стохастического эксперимента. • Примеры случайных величин: • - оценка на экзамене -положительное число (от 2 до 5); • - продолжительность работы телевизора до выхода из строя - любое неотрицательное число. • Случайные величины обозначают греческими буквами - , , , а их возможные значения - х, у, z. При необходимости случайная величина может быть с индексами • Случайные величины делятся на две большие группы – дискретные и непрерывные 2

Дискретная СВ - величина, возможные значения которой образуют конечное или бесконечное счётное множество. На числовой оси представляются точками. Непрерывные СВ задаются на всей числовой оси или на заданном интервале или отрезке Две СВ могут иметь одинаковые возможные значения, но принимать их с различными вероятностями. Поэтому необходимо указать как возможные значения СВ, так и вероятности, с которыми она может их принять. Для дискретной СВ зависимость между случайной величиной и вероятностью, с которой она может принять это значение называют законом распределения. Для непрерывной СВ эту зависимость называют плотностью распределения. В любом случае справедливо правило нормировки Дискретная СВ Непрерывная СВ 3

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан графически, аналитически или таблично. Пример 1. Абитуриент сдаёт два вступительных экзамена: по математике и физике. Составить закон распределения случайной величины , числа полученных пятёрок, если вероятность получения пятёрки по математике равна 0. 8, а по физике – 0. 6. Пусть А 1 –событие, математика сдана на отлично; А 2 – физика сдана на отлично. События независимы и совместны. Решение. Очевидно, возможные значения есть 0, 1, 2, а их вероятности соответственно равны. • Полученные данные занесем в таблицу, которая задает закон распределения дискретной СВ – числа полученных пятерок • • . 0 1 2 p 0. 08 0. 44 0. 48 4

Функция распределения F(x) случайной величины равна вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее х Функцию распределения F(x) дискретной случайной величины можно задать аналитически, графически, таблично. При известном законе распределения функция распределения дискретной случайной величины имеет вид где (хi<х) означает, что суммирование ведётся по всем индексам i, для которых это неравенство выполняется. Функция распределения дискретной случайной величины ступенчатая. Сохраняет постоянное значение на каждом интервале и терпит в точках хi разрыв (скачок), равный рi. . Функция распределения примера 1 p 0 1 2 0. 08 0. 44 0. 48 F(x) < хi 0 0. 08 0. 52 F(x) x>2 =1 5

• Функция распределения и ее график для примера 1 6

Дискретные и непрерывные случайные величины • Случайная величина примера 1 являются дискретной, имеет фиксированные значения на числовой оси. Ее мы описали при помощи закона распределения и функции распределения. • Во многих экспериментах случайные величины являются непрерывными, на интервале или на всей числовой оси • Непрерывная случайная величина задается двумя функциональными зависимостями: 1. Функцией распределения. функция распределений сохраняет свой смысл: F(x)=p(

• Подчеркнем связь между этими двумя функциями • Плотность распределения • Функция распределения 8

• Свойства функции распределения • 1. Функция распределения F(x) определена на всей числовой оси и ее область значений равна [0, 1]: • 2. F(x) – неубывающая функция, то есть для x 1 x 2 • Событие <- невозможное и его вероятность равна 0, а событие <+ достоверно и его вероятность равна 1 • 3. Вероятность попадания случайной величины в интервал [x 1, x 2] равна приращению функции распределения на этом интервале: 9

• Свойства плотности вероятности • 1. Плотность вероятности – неотрицательная функция. Это следует из того, что функция распределения – неубывающая, и поэтому ее производная (плотность вероятности) больше или равна нулю. • 2. Вероятность попадания случайной величины в интервал [x 1, x 2] равна интегралу от плотности вероятности по этому интервалу • 3. Определенный интеграл от плотности по всей числовой оси равен единице (условие нормировки). • Это утверждение означает, что площадь фигуры, ограниченной графиком f(x) и осью OX, равна единице. 10

• Пример 2. Найдем плотность распределения случайной величины f(x), если задана функция распределения F(x). Построим графики этих функция. 11

9. 2. Числовые характеристики случайной величины • • • Случайная величина полностью определяется своим законом распределения, но для многих задач эта информация бывает излишней. С другой стороны, на практике часто закон распределения не известен и приходится довольствоваться меньшими сведениями. В таких случаях пользуются некоторыми суммарными характеристиками случайной величины. К важнейшим из них относятся математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение, СКО. 1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называют интеграл 12

Математическое ожидание - среднее значение, вокруг которого распределены все возможные значения СВ Существуют различные аналогии этого термина. В механике Каждому возможному значению СВ (координате на оси х) приписывают массу, имеющую вероятностный смысл. В этом случае математическое ожидание является аналогом понятия центра масс или момента, то есть, является тем средним центральным значением, вокруг которого распределены все возможные значения случайной величины. В теории вероятностей по аналогии с механикой математическое ожидание называют начальным моментом первого порядка и обозначают m 1. 13

Свойства математического ожидания 1. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания 3. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых 4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых в совокупности случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей Знание только среднего значения СВ чаще всего недостаточно. Необходимо иметь количественную характеристику разброса возможных значений случайной величины относительно математического ожидания, знания о форме распределения 14

• Пример 3. Закон распределения дискретной случайной величины задан таблично (пример 1): p 0 1 2 0. 08 0. 44 0. 48 • Найти математическое ожидание. • Решение. По определению получаем • Пример 4. Задана плотность вероятности случайной величины (пример 2). • Найти математическое ожидание. • Решение. Воспользуемся определением математического ожидания и разобьем интеграл по всей оси на три, учитывая, что на крайних интервалах плотность вероятности равна нулю. 15

Пример 5. Задача о двух стрелках Известны законы распределения случайных величин X и Y , числа очков выбиваемых двумя стрелками. Определить, кто стреляет лучше. Для этого определим математическое ожидание (среднее значение) СВ X и Y Первый стрелок, X, Математическое ожидание = 5, 36 xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 pi 0, 15 0, 11 0, 04 0, 05 0, 04 0, 10 0. 04 0, 05 0. 12 0, 20 Второй стрелок, yi 0 pi 0. 01 Y Математическое ожидание = 5, 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0, 03 0, 05 0, 09 0, 11 0, 24 0, 21 0, 10 0, 04 0, 02 Вывод – в среднем стрелки стреляют одинаково 16

2. Дисперсия случайной величины Рассмотрим СВ , возможные значения которой равны разности ξ-m 1. Здесь m 1 - математическое ожидание СВ ξ. Математическое ожидание квадрата разности отклонения случайной величины от ее математического ожидания называют дисперсией случайной величины: • Дисперсия дискретной случайной величины • Дисперсия непрерывной случайной величины 17

Свойства дисперсии 1. Дисперсия постоянной равна нулю D(C)=0. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат D(Cξ)=C 2 D(ξ). 3. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых в совокупности случайных величин равна алгебраической сумме дисперсий слагаемых 3. Среднеквадратическое отклонение Размерность дисперсии СВ равна квадрату размерности самой случайной величины, поэтому удобнее пользоваться корнем из дисперсии. Эта характеристика имеет ту же размерность, что и сама случайная величина, и ее называют среднеквадратическим отклонением, СКО Из свойств дисперсии следуют свойства СКО 18

9. 3 Некоторые законы распределения и их числовые характеристики • Биномиальное распределение К этому распределению приводит схема Бернулли. Пусть производится n независимых, однородных испытаний, в каждом из которых событие A может произойти с вероятностью p(A)=p, а противоположное ему – с вероятностью Рассмотрим дискретную случайную величину , равную числу появлений события A при n испытаниях. Возможными значениями являются все целые числа от 0 до n, а вероятность того, что примет значение m, определяется формулой Бернулли • Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей биномиальное распределение, равны: 19

• Распределение Пуассона • Дискретная случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможными значениями являются целые неотрицательные числа, а вероятность того, что случайная величина примет значение m, определяется формулой Пуассона • К этому закону можно прийти от биномиального, если устремить и принять • Числовые характеристики: 20

• Равномерное распределение • • Случайную величину называют равномерно распределенной на интервале [a, b], если ее плотность вероятности равна некоторой константе на этом интервале и нулю вне его. Рассмотренный ранее пример 3 представляют частный случай равномерного распределения для интервала [0, 2]. Расчетные соотношения для общего случая приведены на этом слайде 21

• Показательное распределение • Непрерывная случайная величина имеет показательное распределение, если ее плотность вероятности имеет вид • Функция распределения и числовые характеристики 22

• Нормальное распределение (Гаусса) - Играет особую роль в теории вероятностей и ее приложениях. Наиболее часто встречающийся закон распределения. Нормальному закону подчиняется, при соблюдении определенных условий, распределение суммы достаточно большого числа случайных величин, каждая из которых может иметь произвольное распределение. - Нормальное распределение задается параметрами: математическим ожиданием m и среднеквадратическим отклонением • Плотность вероятности f(X): σ Функция вероятности F(x) 23

- Изменение m приводит к параллельному переносу графика плотности вероятности вдоль оси OX. - Изменение параметра σ приводит тому, что при уменьшении σ возрастает максимальное значение плотности вероятности и график становится уже, при возрастании σ график ниже и шире. При этом площадь фигуры, ограниченная графиком плотности вероятности и осью OX, в силу условия нормировки, равна 1. 24

Интеграл от плотности вероятности нормального распределения не имеет точного представления через элементарные функции. Поэтому функция распределения выражается через функцию Лапласа Φ(x), значения которой можно найти из таблиц Применяя функцию Лапласа можно вычислить вероятность попадания СВ в заданный интервал Воспользуемся этим соотношением и получим так называемое Правило трех . Для этого найдем 25

• • Полученный результат говорит о том, что практически достоверно то, что нормально распределенная величина примет значение, отличающееся от ее математического ожидания по модулю не более чем на 3 , или практически невозможно появления значения, выходящего за пределы этого интервала. Последнее обстоятельство находит широкое применение в практических приложениях. 26

• Стандартное нормальное распределение • Как было сказано, нормальное распределение задается математическим ожиданием m, среднеквадратическим отклонением σ и дисперсией D = σ2. При нормировке • Плотность вероятности f(z) : • Математическое ожидание и дисперсия равны: Функция вероятности F(z) 27

• График плотности вероятности стандартного нормального распределения (красным цветом) представлен ниже. Можно увидеть, что максимальное значение равно 0. 4, среднеквадратическое отклонение равно 1, значения случайной величины за пределами (- 3 , 3 ) практически отсутствуют 28

9. 4. Системы случайных величин. Корреляция и регрессия Во многих задачах приходится рассматривать одновременно две или более случайных величин. Систему из конечного числа случайных величин называют n-мерной случайной величиной. Так, заказывая партию костюмов, торговая фирма должна иметь некоторую информацию о распределении у потенциальных покупателей хотя бы двух случайных параметров - размера и роста. В дискретном случае возможные значения двумерной случайной величины ( , ) можно рассматривать как координаты случайной точки на плоскости - (хi, уj). Чтобы задать случайную величину, надо указать перечень возможных значений и вероятности того, что компоненты и примут значения xi и yj соответственно. Для дискретной случайной величины данные можно заносить в соответствующие таблицы. Для непрерывной СВ связь между величинами и их вероятностями – аналитическая 29

В двумерном случае табличная и аналитическая формы записи x 1 … xn y 1 p 11 … p 1 n … … ym pm 1 … pmn Условие нормировки Функция распределения Значение функции распределения в точке (х, у) равно вероятности того, что случайная точка с координатами ( , ) попадёт в квадрант с вершиной в точке (х, у). 30

Свойства функция распределения двумерной случайной величины: • 1. условие нормировки • 2. F(х, у) - функция, не убывающая по каждому аргументу. • 3. • 4. Обозначим одномерные функции распределения компонент и двумерной случайной величины соответственно Fξ(x) и Fη(y), тогда • 5. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник равна 31

Плотность вероятности двумерной СВ - это смешанная вторая производная от функции распределения F(x, y) Свойства плотности вероятности двумерной СВ: • 1. • 2. Следствие 3. Вероятность попадания случайной точки в заданную область: 4. Плотности вероятностей fξ(x) и fη(x) компонент и вычисляются по плотности вероятностей f(x, y) двумерной СВ следующим образом: 32

Независимость двумерной случайной величины Рассмотрим двумерную случайную величину ( , ), заданную плотностью вероятности f(x, y) и функцией распределения F(x, y). Обозначим попадание случайной точки в полуплоскость <х событием А, в полуплоскость <у событием В. Тогда значение функции f(x, y), вероятность попадания случайной точки в квадрант АВ - будет равно вероятности произведения событий А и В (рис. 12), то есть Учитывая, что функции распределения компонент есть Компоненты двумерной случайной величины и независимы, если 33

Корреляционная зависимость Рассмотрим двумерную случайную величину ( , ), с заданной плотностью вероятности f(x, y). Математическое ожидание произведения отклонений компонент от их математических ожиданий В общем случае математическое ожидание произведения не равно произведению математических ожиданий сомножителей, то полученная разность не равна нулю. Величину этой разности называют ковариацией случайных величин и и обозначают Очевидно, для независимых случайных величин 34

• Используя введённое понятие ковариации, найдём ещё одно выражение для дисперсии суммы и разности компонент двумерной случайной величины: • Таким образом в случае независимости компонент ковариация равна нулю и дисперсия суммы или разности равна сумме дисперсий. • В случае, когда ковариация не равна нулю, компоненты двумерной случайной величины статистически зависимы. В этом случае для исследования характера и тесноты связи между компонентами, применяют корреляционный и регрессионный анализы • 35

В случае проведения корреляционного анализа вводится безразмерная характеристика, которую называют коэффициентом корреляции Свойства коэффициента корреляции 1. Коэффициент корреляции меняется в границах -1 <= r <= 1 - r = 0 - необходимое, но недостаточное условие независимости двух СВ. В этом случае говорят, что СВ и не коррелированны • - если коэффициент корреляции r отличен от нуля и при этом , • то компоненты двумерной случайной величины корреляционно зависимы. - коэффициент корреляции по модулю равен единице. Тогда и только тогда, когда между и имеется линейная функциональная зависимость. Функциональная зависимость между двумя переменными наблюдается только тогда, когда каждому значению одной компоненты соответствует вполне определённое значение другой. 36

Элементы регрессионного анализа Связь между условным математическим ожиданием одной из компонент, например =х при заданном значении другой компоненты =у, (или компоненты , при заданном значении =х ) является функцией СВ =у величины на величину и обозначается • • • Условное математическое ожидание M(ξ|η=y) является некоторой функцией от значения случайной величины =у и, следовательно, так же является случайной величиной. Эта функция называется и называется функцией регрессии величины на величину Аналогично определяется функция регрессии величины на величину 37

• • • Графики этих функций называются линиями регрессии соответственно на и на (рис. 13). Вид функций регрессии определяет характер корреляционной зависимости случайных величин и . Наиболее простым случаем является линейная регрессия, имеющая самостоятельное значение и служащая первым приближением в более сложных ситуациях. В случае линейной регрессии, линии регрессии на прямые (в общем случае различные), а функции регрессии линейные. Уравнения прямых регрессии на соответственно имеют вид 38