Случайные величины Лекция 2 Определение

Случайные величины Лекция 2.

• Определение 1. Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

• Случайные величины будем обозначать прописными буквами X, У, Z, а их возможные значения — соответствующими строчными буквами x, у, z. Например, если случайная величина X имеет три возможных значения, то они будут обозначены так: x 1, х2, х3.

Дискретные случайные величины (ДСВ) • Определение 2. Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной (ДСВ).

• Определение 3. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Закон распределения ДСВ заданный в виде таблицы X x 1 x 2 x 3 … xn-1 xn p p 1 p 2 p 3 … pn-1 pn • где x 1, х2, . . . , хn все возможные значения величины X, а p 1, р2, …, pn вероятности значений x 1, х2, . . . , хn. • Так как в результате испытания величина X всегда примет одно из значений х1, х2, . . . , хn, то

Пример • В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины X — стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение. • Напишем возможные значения x 1 = 0, x 2=1 , х3 = 50. Вероятности этих возможных значений таковы: • p 1=1 -(р2 +p 3)=0, 89, р2 = 0, 1, р3 = 0, 01. • Напишем искомый закон распределения: X 0 1 50 p 0, 89 0, 1 0, 01 • Контроль: 0, 01+0, 89=1.

Математическое ожидание ДСВ • Определение 1. Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех возможных значений величины X на соответствующие вероятности:

Пример • Найти математическое ожидание случайной величины X, зная закон ее распределения: X 0 1 50 p 0, 89 0, 1 0, 01

Решение • Искомое математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности: • M(X)=0· 0, 89+1· 0, 1+50· 0, 01=0, 6

• Даны ряды распределения двух случайных величин Х и У: X -0, 01 Y -100 p 0, 5 • Здесь математические ожидания случайных величин равны: М(Х) = М(У) = 0, но возможные значения ДСВХ близки к М(Х), а возможные значения ДСВУ далеки от М(У). По М(У) нельзя судить о значениях ДСВУ.

Отклонение ДСВ Пусть задана дискретная случайная величина X: X x 1 x 2 x 3 … xn-1 xn p p 1 p 2 p 3 … pn-1 pn • Определение 1. Отклонением случайной величины X от ее МО М(Х) (или просто отклонением случайной величины X) называется случайная величина X — М(Х).

Закон распределена отклонения случайной величины X: X-M(x) x 1 -M(x) x 2 -M(x) x 3 -M(x) p p 1 p 2 p 3 … … xn-1 -M(x) xn-M(x) pn-1 pn • Теорема. МО отклонения X — М(Х) равно нулю: М[Х-М(Х)] = 0.

Дисперсия ДСВ Пусть задан закон распределения случайной величины [X — М(Х)]2 [X-M(x)]2 [x 1 -M(x)]2 [x 2 -M(x)]2 [x 3 -M(x)]2 … [xn-1 -M(x)]2 [xn-M(x)]2 p pn p 1 p 2 p 3 … pn-1 • Определение 2. Дисперсией D(X) дискретной случайной величины X называется МО квадрата отклонения случайной величины X от ее МО: • Из закона распределения величины [X — М(Х)]2 следует, что

Среднее квадратическое отклонение ДСВ. • Определение. Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины X называется корень квадратный из ее дисперсии:

Пример • Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, зная закон ее распределения: X 0 1 50 p 0, 89 0, 1 0, 01

Решение

Непрерывные случайные величины (НСВ) • Определение. Интегральной функцией распределения (или кратко функцией распределения) непрерывной случайной величины X называется функция F(x), равная вероятности того, что X приняла значение, меньшее х: • Свойства функции распределения F(x) 1. . 2. F(x) — неубывающая функция, т. е. если x 1

3. Вероятность попадания случайной величины X полуинтервал [a; b) равна разности между значениями функции распределения в правом и левом концах интервала (а; b): P(a≤X≤b)=F(b)F(a) 4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо заранее заданное значение, равна нулю: Р(Х = x 1) = 0

Пример • Случайная величина X задана функцией распределения: • Найти вероятности того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее полуинтервалу [0; 2).

Решение • Так как на полуинтервале [0; 2) то

5. Вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал, сегмент и полуинтервал с одними и теми же концами одинаковы: 6. Если возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу (а; b), то: 1) F(x) = 0 при х ≤ а; 2) F(x) = 1 при х ≥ b.

Дифференциальная функция распределения. • Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины X (или ее плотностью вероятности) называется функция f(x), равная производной интегральной функции распределения *) f(x)=F`(x) • Теорема. Вероятность попадания непрерывной cлучайной величины X в интервал (а; b) равна определенному интегралу от дифференциальной функции распределения величины X, взятому в пределах от а до b:

Свойства плотности распределения • Свойство 1. Плотность распределения неотрицательная функция: f(x)>0. • Свойство 2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -∞ до ∞ равен единице: • В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то

Математическое ожидание и дисперсия НСВ • Определение 1. Математическим ожиданием (МО) непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности f(x) называется величина несобственного интеграла (если он сходится):

• Определение 2. Дисперсией непрерывной случайной величины X, математическое ожидание которой М(Х) = а, а функция f(x) является ее плотностью вероятности, называется величина несобственного интеграла (если он сходится):

• Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством • Легко получить для вычисления дисперсии более удобные формулы:

Пример • Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, заданной функцией распределения

Решение. • Найдем плотность распределения: • Найдем математическое ожидание: • Найдем дисперсию:

Закон нормального распределения (закон Гаусса). • Случайная величина X распределена по нормальному закону, если она определена на всей числовой оси и ее плотность вероятности определяется формулой: • где а = М(Х) — математическое ожидание случайной величины, а — ее среднее квадратическое отклонение.

• Рис. 1. Вид функции распределения F(x) и плотности вероятности f(x) для нормального закона распределения

Свойства графика плотности вероятностей нормального закона распределения 1. График плотности распределения вероятностей нормального закона имеет симметричный колообразный вид; линия симметрии проходит через математическое ожидание случайной величины (х = а). 2. В точке х = а функция достигает максимума:

3. При изменении параметра а и неизменном σ график будет перемещаться вдоль оси ОХ, сохраняя свою форму 4. Параметр σ характеризует форму кривой распределения: чем меньше σ, тем «уже» и «выше» график.

• Нормальное распределение с параметрами а = 0 и σ = 1 называется нормированным. Дифференциальная функция в случае такого распределения будет:

• Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение из некоторого интервала {х1, х2} вычисляется с помощью функции распределения вероятностей нормального закона с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1 (говорят «нормальной, N(0, 1)» ) называемой функцией Лапласа или интегралом вероятностей :

Пример. • Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу 10, 50).

Решение. • По условию, α =10, β = 50, а = 30, σ=10, следовательно, • По таблице находим Ф(2) = 0, 4772. Отсюда • искомая вероятность

Правило трех сигм • Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения. Рис. 2. Вероятности отклонения нормально распределенной случайной величины от математического ожидания