Случайные величины Лекции 3 -6 Случайные величины

Случайные величины Лекции 3 -6

Случайные величины Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных событий, которые заранее не могут быть учтены. Обозначения случайных величин: X, Y, Z; значения — x, y, z. Дискретной (прерывной) называется случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть как конечным, так и бесконечным (счетным). Для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения, нужно еще указать их вероятности. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Его можно задать в виде таблицы, аналитически и графически. При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения (как правило, в порядке возрастания), а вторая строка — их вероятности. Х x 1 x 2 … xk -1 xk Р р1 р2 … рk -1 рk Поскольку в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события X = x 1, X = x 2, …, X = xk, образуют полную группу, следовательно, сумма вероятностей этих событий равна единице: Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (xi , pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученная фигура называется многоугольник распределения.

Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины X — стоимости одного выигрыша для владельца одного лотерейного билета и построить многоугольник распределения случайной величины. Решение. Запишем возможные значения Х: х1 = 0, х2 = 1, х3 = 50. Вероятности этих возможных значений равны: Закон распределения: Х 0 1 50 Р 0, 89 0, 1 0, 01 Многоугольник распределения 1 0. 9 0. 8 0. 7 0. 6 0. 5 рi 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0 0 1 50

Пусть задана дискретная случайная величина Х Х x 1 x 2 … xk Р р1 р2 … рk Произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину Х есть дискретная случайная величина СХ, возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения Х, вероятности возможных значений СХ равны вероятностям соответствующих возможных значений Х: СХ Сx 1 Сx 2 … Сxk Р р1 р2 … рk Две случайные величины Х и Y называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения приняла другая величина; в противном случае они называются зависимыми. Произведением независимых случайных величин Х и Y называется случайная величина ХY , возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение Y; вероятности возможных значений ХY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей Х x 1 x 2 Р р1 р2 Y y 1 y 2 Р g 1 g 2 ХY x 1 y 1 x 1 y 2 x 2 y 1 x 2 y 2 Р р1 g 1 р1 g 2 р2 g 1 р2 g 2 Суммой случайных величин Х и Y называется случайная величина Х + Y , возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения Х с каждым возможным значением Y; вероятности возможных значений Х + Y равны произведениям вероятностей слагаемых для независимых величин и произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность другого для зависимых величин

Числовые характеристики дискретных случайных величин Математическое ожидание дискретной случайной величины Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности Замечание. Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина. Пример 1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, зная закон ее распределения: Х 2 3 5 Р 0, 3 0, 1 0, 6 Решение. По определению имеем Пример 2. Найти математическое ожидание числа появлений события А в одном испытании, если вероятность события А равна р. Решение. Случайная величина Х — число появлений события А в одном испытании — может принимать только два значения: x 1 = 1 с вероятностью р и x 2 = 0 с вероятностью q = 1 – р. Искомое математическое ожидание M(Х) = 1 * р + 0 * q = р.

Вероятностный смысл математического ожидания Пусть проведено n испытаний, в которых случайная величина Х приняла m 1 раз значение х1, m 2 раз значение х2, …, mk раз значение хk, причем m 1 + m 2 + … + mk = n. Тогда сумма всех значений, принятых Х равна m 1 х1 + m 2 х2 + … + mkхk. Среднее арифметическое всех значений, принятых этой случайной величиной Заметим, что mi/n = wi — относительной частоте значения хi. Допустим, что число испытаний велико. Тогда wi ≈ pi. Заменяя в последнем выражении относительные частоты вероятностями, получим Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Замечание.

Свойства математического ожидания 1. Математическое ожидание постоянной величины С равно самой постоянной: М(С) = С. Доказательство. Рассмотрим постоянную величину С как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р = 1. Следовательно, М(С) = С ∙ 1 = С. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ) = С ∙ М(Х). Доказательство. СХ Сx Сx … Сx Р 1 р1 2 р2 … рk k 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М(ХY) = М(Х) ∙ М(Y). Доказательство. ХY x y x y 1 1 1 2 2 Р р1 g 1 р1 g 2 р2 g 1 р2 g 2

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х + Y) = М(Х) + М(Y). Доказательство. Х+Y x 1+y 1 x 1+y 2 x 2+y 1 x 2+y 2 Р р11 р12 р21 р22 Докажем, что р11 + р12 = р1. Событие {Х = х1}влечет за собой событие {Х + Y = (х1 + y 1 или х1 + y 1)} и обратно Аналогично,

Дисперсия дискретной случайной величины Х -0, 01 Р 0, 5 Y -100 Р 0, 5 Пусть Х — случайная величина и М(Х) — ее математическое ожидание. Отклонением называют случайную величину Х - М(Х) , возможные значения которой равны разностям между возможными значениями случайной величины и ее математическим ожиданием, а вероятности величины Х - М(Х) равны вероятностям величины Х. Х x 1 x 2 … xk Р р1 р2 … рk Х – М(Х) x 1– М(Х) x 2– М(Х) … xk– М(Х) Р р1 р2 … рk Теорема. Математическое ожидание отклонения равно 0: М[Х - М(Х) ] = 0. Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: Х x 1 x 2 … xk Р р1 р2 … рk [Х – М(Х)]2 [x 1– М(Х)]2 [x 2– М(Х)]2 … [xk– М(Х)]2 Р р1 р2 … рk

Пример. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной законом распределения Х 1 2 5 Р 0, 3 0, 5 0, 2 Решение. Математическое ожидание: М(Х) = 1 ∙ 0, 3 + 2 ∙ 0, 5 + 5 ∙ 0, 2 = 2, 3. Все возможные значения квадрата отклонения: [x 1 – M(X)]2 = (1 – 2, 3) 2 = 1, 69; [x 2 – M(X)]2 = (2 – 2, 3) 2 = 0, 09; [x 3 – M(X)]2 = (5 – 2, 3) 2 = 7, 29. Закон распределения квадрата отклонения [Х – М(Х)]2 Р 1, 69 0, 3 0, 09 0, 5 Дисперсия: D(X) = 1, 69 ∙ 0, 3 + 0, 09 ∙ 0, 5 + 7, 29 ∙ 0, 2 = 2, 01. 7, 29 0, 2

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания: D(X) = М(Х 2) – [М(Х)]2. Доказательство. Поскольку математическое ожидание М(Х) — есть величина постоянная, то 2 М(Х) и [М(Х)]2 — также постоянные величины. Поэтому = М(Х 2) – [М(Х)]2. Пример. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной законом распределения Х 1 2 5 Р 0, 3 0, 5 0, 2 Решение. Математическое ожидание: М(Х) = 1 ∙ 0, 3 + 2 ∙ 0, 5 + 5 ∙ 0, 2 = 2, 3. Закон распределения квадрата случайной величины Х 2 1 Р 0, 3 4 0, 5 25 0, 2 Математическое ожидание квадрата случайной величины: М(Х) = 1 ∙ 0, 3 + 4∙ 0, 5 + 25 ∙ 0, 2 = 7, 3. Дисперсия: D(X) = 7, 3 – 2, 32 = 2, 01.

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D(С) = 0. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D(CX) = C 2 D(X). 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X + Y) = D(X ) + D(Y). 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X - Y) = D(X ) + D(Y).

Среднее квадратическое отклонение Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Для того чтобы иметь показатель рассеяния случайной величины той же размерности, что и размерность случайной величины, извлекают корень квадратный из дисперсии. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин

Одинаково распределенные взаимно независимые числовые величины Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин X 1, X 2, …, Xn, которые имеют одинаковые распределения и, следовательно, и одинаковые характеристики. Обозначим среднее арифметическое этих величин Установим соответствие между характеристиками среднего арифметического и соответствующими характеристиками каждой отдельной величины. 1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию а каждой величины: 2. Дисперсия среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии D каждой из величин: 3. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в раз меньше среднего квадратического отклонения каждой из величин:

Начальные и центральные теоретические моменты Х 1 2 5 100 Р 0, 6 0, 2 0, 19 0, 01 Х 2 1 4 25 10000 Р 0, 6 0, 2 0, 19 0, 01 Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины X k : и т. д. В частности, Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины (Х – М (X))k : В частности,

Примеры 1. Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может появиться или не появиться; вероятность наступления события А во всех испытаниях постоянна и равна р (соответственно вероятность непоявления q = 1 – р). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины Х число появления события А в этих испытаниях. Поставим задачу: найти закон распределения величины Х. х1 = 0, х2 = 1, х3 = 2, …, хn + 1 = n. Распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли, называется биноминальным Математическое ожидание М(Х) числа появлений события А в n независимых испытаниях М(Х) = np, дисперсия D(X) = npq. 2. Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А равна р, причем n велико, а р мало. Вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события мала, событие наступит k раз вычисляется по формуле Пуассона Распределение вероятностей, определяемое формулой Пуассона, называется распределением Пуассона. Математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(X) числа появлений события А для распределения Пуассона М(Х) = D(X) = ( = np)

3. Пусть из урны, содержащей n шаров, m из которых — белые, случайным образом отбирают (без возвращения) s шаров. Количество белых шаров среди отобранных есть случайная величина Х, возможные значения которой 0, 1, 2, …, min(M, s). Найдем вероятность Р(Х = k) того, что среди s отобранных шаров k — белые. Число способов отобрать s шаров из n — при этом число способов отбора белых шаров — не белых шаров — (*) Искомая вероятность Распределение вероятностей, определяемой формулой (*), называется гипергеометрическим.

Функция распределения Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, т. е. F(x) = P(X < x). Свойства функции распределения 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0; 1]: 0 ≤ F(x) ≤ 1. 2. Функция распределения непрерывна слева. 3. F(x) — неубывающая функция, т. е. F(x 1) ≤ F(x 2), если x 1 < x 2. Доказательство. Пусть x 1 < x 2. {X < x 2} = {X < x 1 и x 1 ≤ X < x 2} P(X < x 2) = P(X < x 1) + P(x 1 ≤ X < x 2) P(X < x 2) - P(X < x 1) = P(x 1 ≤ X < x 2) F(x 2) – F(x 1) = P(x 1 ≤ X < x 2) Поскольку P(x 1 ≤ X < x 2) ≥ 0, то F(x 1) ≤ F(x 2) 4. (**) Итак, каждая функция распределения является неубывающей, непрерывной слева и удовлетворяющей условиям F(- ) = 0, F(+ ) = 1. Верно и обратное: каждая функция, удовлетворяющая указанным условиям, может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины.

Для дискретной случайной величины, заданной законом распределения Х x 1 x 2 … xk Р р1 р2 … рk функция распределения F(х) задается равенством Таким образом, функция распределения дискретной случайной величины является ступенчатой функцией со скачками высотой pi в точках xi. Пример. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения Х 1 4 6 Р 0, 3 0, 6 0, 1 Найти функцию распределения и построить ее график. Решение. F(x) = P(X < x). 0 при х ≤ 1 {X < x} — невозможное событие 0, 3 при 1 < х ≤ 4 {X < x} ={X = 1} F(x) = 0, 9 при 4 < х ≤ 6 {X < x} ={X = 1 или Х = 4} 1 р 1 0, 9 при 6 < х {X < x} — достоверное событие 0, 6 0, 3 0 0, 3 1 4 6 х

p 1 p 5 p 4 p 3 p 2 p 1 х1 0 х2 х3 х4 х5 х

Непрерывная случайная величина Случайная величина называется непрерывной, если существует неотрицательная функция р(х), удовлетворяющая при любых х равенству Функция р(х) называется плотностью распределения вероятностей. Если F(x) абсолютно непрерывна, а тем более, дифференцируема при всех х, то ее производная и является плотностью распределения: Функция распределения иногда называется интегральной, а плотность — дифференциальной функцией распределения. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу [a, b], то Если возможные значения случайной величины принадлежат всей числовой оси, то Свойства функции распределения непрерывной случайной величины 1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение равно 0. Доказательство. Положим в (**) x 2 = x 1 + x. Тогда P(x 1 ≤ X < x 1 + x) = F(x 1 + x) – F(x 1). Пусть x 0. Тогда, в силу непрерывности F(x) F(x 1 + x) – F(x 1) 0 P(X = x 1) = 0. P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b). 2. Если возможные значения непрерывной случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то а) F(x) = 0 при x ≤ a; б) F(x) = 1 при b ≤ x.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b: Доказательство. Воспользуемся соотношением (**): P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a) По формуле Ньютона-Лейбница Таким образом, Поскольку P(a ≤ X < b) = P(a < X < b), то

Числовые характеристики непрерывных случайных величин Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат интервалу [a, b], называют определенный интеграл Если возможные значения случайной величины принадлежат всей числовой оси, то (предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т. е. существует интеграл Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу [a, b], то Если возможные значения случайной величины принадлежат всей числовой оси, то Замечание. Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины

Медианой непрерывной случайной величины называется такое ее значение m, при котором F(m)=0, 5; другими словами, Квантилью порядка р (0 < р < 1) называется корень уравнения F(х) = р. Если случайная величина непрерывна, то модой распределения называют то значение аргумента, при котором плотность достигает максимума. Модой дискретной случайной величины называют ее наиболее вероятное значение.

Равномерное распределение вероятностей Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное отличное от нуля значение: р Замечание. 0 a Числовые характеристики равномерно распределенной случайной величины b х

Нормальное распределение Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью Нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и .

Общим называется нормальное распределение с произвольными параметрами а и . Нормированным называется нормальное распределение с параметрами а = 0 и = 1. Таким образом, если Х — нормальная величина, то U = (х – а)/ — нормированная нормальная величина, причем M(U) = 0, D(U) = 1. Плотность нормированного распределения (нормированная функция Гаусса) График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса) y a=0 = 0, 5 a>0 =1 =2 0 x=a x

1. Функция F 0(x) общего нормального распределения и функция F(х) нормированного распределения связаны соотношением 2. Вероятность попадания нормированной нормальной величины Х в интервал (0, х) вычисляется при помощи функции Лапласа: 3.

Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

Вероятность заданного отклонения при а = 0 y 2 < 1 1 - 0 x

Правило «трех сигм»

Вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0, 9973. Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение очень мала, а именно равна 0, 0027. Это означает, что такое может произойти лишь в 0, 27% случаев. Такие события исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Асимметрия и эксцесс у у А>0 0 M(X) А<0 х 0 y y E<0 E>0 0 х M(X) x 0 x

При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость качественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные числовые характеристики, в частности, асимметрию и эксцесс. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому небольшие значения асимметрии и эксцесса дают возможность предположить, что такое распределение близко к нормальному; большие значения указывают на значительное отклонение от нормального распределения. Можно показать, что для симметричных распределений каждый центральный момент нечетного порядка равен нулю. Для несимметричных распределений такие моменты отличны от нуля. Поэтому центральный момент третьего порядка используется для оценки асимметрии. Асимметрия положительна, если более пологая часть кривой распределения расположена справа от математического ожидания и отрицательна, если слева. Для оценки «крутизны» подъема распределения по сравнению с нормальным используется характеристика, называемая эксцессом. Если эксцесс больше нуля, то кривая такого распределения имеет более высокую и острую вершину, чем нормальная кривая, если эксцесс меньше нуля, то сраниваемая кривая имеет более низкую и плоскую вершину, чем нормальная.

Показательное распределение Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью Функция распределения показательного закона:

Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины Воспользуемся формулой P(a < X < b) = F(b) – F(a). Учитывая, что при х ≥ 0 получаем Числовые характеристики показательного распределения Пусть случайная величина Х распределена по показательному закону Математическое ожидание Дисперсия Среднее квадратическое отклонение

Показательный закон надёжности Пусть некоторое устройство начинает работать в некоторое время t 0 = 0, а спустя время t происходит отказ. Обозначим через Т непрерывную случайную величину — длительность безотказной работы устройства. Если устройство проработало безотказно время, меньшее t, то, следовательно, за период времени t наступит отказ. Функция распределения F(t) = P(T < t ) определяет вероятность отказа за время длительностью t. Следовательно, вероятность безотказной работы устройства за время t, т. е. вероятность противоположного события T > t равна R(t) = P(T > t ) = 1 - F(t). Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы устройства за время t : R(t) = P(T > t ). Нередко длительность времени безотказной работы устройства имеет показательное распределение с функцией распределения F(t) = 1 – e - t, то функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной работы устройства имеет вид ( — интенсивность отказов) Характеристическое свойство показательного закона надёжности Пусть времени безотказной работы устройства имеет показательное распределение. . Тогда вероятность безотказной работы устройства на интервале длительностью t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t (при заданной интенсивности отказов ).

Функция одного случайного аргумента и ее распределение Если каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно и только одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента Х: Y = (X). 1. Пусть Х — дискретная случайная величина. а) Если различным возможным значениям Х соответствуют различные возможные значения Y, то вероятности соответствующих значений Х и Y равны между собой. Пример. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения Х 2 3 Р 0, 4 0, 6 Найти функцию распределения Y = X 2. Решение. Возможные значения случайной величины Y: Закон распределения случайной величины Y: Y 4 9 Р 0, 4 0, 6 б) Если различным возможным значениям Х соответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой, то вероятности повторяющихся значений Y складываются. Пример. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения Х -2 2 3 Р 0, 3 0, 1 0, 6 Найти функцию распределения Y = X 2. Решение. P(Y = 4) = P(X = -2 или Х = 2) = 0, 3 + 0, 1 = 0, 4; Y 4 9 Р 0, 4 0, 6 Р(Y = 9) = Р(Х = 3) = 0, 6.

2. Пусть X — непрерывная случайная величина, p(x) — плотность, Y = (X) — функция этой случайной величины. Если y = (х) — дифференцируемая строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная функция которой х = (y), то плотность распределения g(y) случайной величины Y находится с помощью равенства Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону, причем а = 0. Найти распределение случайной величины Y = X 3. Решение. Так как функция y = x 3 дифференцируема и строго возрастает, то обратная к ней функция имеет вид (y) = y 1/3. Поскольку

Числовые характеристики функции одного случайного аргумента Пусть задана функция Y = (X) случайного аргумента Х. 1. Пусть Х — дискретная случайная величина. Х x 1 x 2 … xn Р р1 р2 … рn Y — также является дискретной случайной величиной Y y 2 = ( x 1) y 2 = ( x 2) … yn = ( xn) Р р1 р2 … рn 2. Пусть X — непрерывная случайная величина, p(x) — плотность, Y = (X) — функция этой случайной величины.

Распределение суммы независимых слагаемых Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y: Z = (X, Y). Рассмотрим распределение суммы независимых слагаемых: Z = X+ Y. 1. Пусть X и Y — дискретные независимые случайные величины. Для того, чтобы составить закон распределения Z = X+ Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности. Пример. Дискретные независимые случайные величины заданы распределениями Х 1 2 Р 0, 4 0, 6 Y 3 4 Р 0, 2 0, 8 Составить закон распределения случайной величины Z = X+ Y. Решение. Z 4 5 6 Р 0, 08 0, 44 0. 48

2. Пусть X и Y — непрерывные независимые случайные величины. Если X и Y независимы, то плотность распределения g(z) суммы Z = X + Y (при условии, что плотность распределения хотя бы одного из аргументов задана на интервале (- , ) одной формулой) может быть найдена при помощи равенства где f 1, f 2 — плотности распределения аргументов. Плотность распределения суммы независимых случайных величин называют композицией.