Случайные величины и распределение случайных величин случайная

Случайные величины и распределение случайных величин

случайная величина: определение Случайная величина – такая величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

дискретные случайные величины Случайные величины, принимающие только отделенные друг от друга значения, которые заранее можно перечислить Примеры: - число выпадений орла при трех бросках монеты; - число попаданий в мишень при 10 выстрелах; - число вызовов, поступивших на станцию скорой помощи за сутки.

Непрерывные случайные величины Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток Примеры: - артериальное давление пациента; - масса тела пациента; - скорость биохимической реакции в клетке.

Ряд распределения Как связаны друг с другом вероятности событий и случайные величины? Случайные события: два броска монеты Случайная величина: число выпадений орла Случайное число выпадений орла вероятность 0 1 2 Р 1 Р 2 Р 3

Расчет вероятности реализации определенных значений случайного числа Число выпадений орла равно 0 – события: РР – вероятность 0, 5 *0, 5 =0, 25 Число выпадений орла равно 1 – события: Р 0 или ОР – вероятность 0, 5 *0, 5 + 0, 5*0, 5 = 0, 5 Число выпадений орла равно 2 – события: 00 – вероятность 0, 5 *0, 5 = 0, 25 Сумма вероятностей: 0, 25 + 0, 50 + 0, 25 = 1

Ряд распределения случайного числа выпадений орла при двух бросках монеты

Вычисление значений ряда распределений случайного числа Задача 9. Стрелок производит 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0, 4. За каждое попадание стрелку начисляется 5 очков. Построить ряд распределения числа выбитых очков. Обозначение события: попал – 1, не попал - 0 Полная группа событий: 000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, 111 Вероятность событий: биномиальное распределение k = 0, 1, 2, 3

Ряд распределения случайного числа выбитых очков события 000 100+010 +001 110+101 +011 111 число очков 0 5 10 15 вероятность события 0, 216 0, 432 0, 288 0, 064

Функция распределения непрерывной случайной величины Функция распределения: вероятность того, что случайная величина х примет значение, не большее некоторого значения Х Закон распределения – некоторая функция и описание этой функции полностью описывает случайную величину с вероятностной точки зрения

График функции распределения

Функция распределения числа выбитых очков из задачи 9

Функция распределения непрерывной случайной величины

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок Задача 10: вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение , заключенное в некоторых пределах, например, от a до b Выразим вероятность этого события через функцию распределения F(X): Событие А: X < b; Событие В: X < a; Событие С: a X < b;

Вероятность попадания случайной величины на заданный участок-2 По теореме сложения вероятностей получим: Вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределения на этом участке

Плотность распределения случайной величины Вероятность попадания случайной величины на участок от х до х+ х f(x) – плотность функции распределения - производная функции распределения – характеризует плотность, с которой распределяется значение случайной величины в данной точке

Графический вид функции плотности распределения

Задача 11

Графический вид функций Функция распределения Функция плотности распределения

Типы функций распределения Дискретные функции распределения: - Биномиальное распределение - Распределение Пуассона Непрерывные функции распределения: - равномерное распределение - нормальное (гауссово) распределение - распределение Парето

Биномиальное распределение Генерация: в отдельном опыте благоприятное событие может произойти с вероятностью р. P (m, n) - вероятность того, что в n опытах благоприятное событие произойдет m раз

Распределение Пуассона Генерация: точно так же, как и для биномиального распределения, благоприятное событие может произойти с вероятностью р, однако число опытов n велико, а величина р мала (благоприятные события редки). Вероятность того, что в n опытах благоприятное событие выпадет k раз:

Равномерное распределение Генерация: в опыте любое число, принадлежащее отрезку [a, b], может выпасть с равной вероятностью p=1/(b – a)

Задача 12 На бумаге нарисован квадрат со стороной A. В квадрат вписана окружность. Какова вероятность того, что случайно ткнув иголкой в бумагу в пределах квадрата, попадешь в круг?

Метод Монте-Карло нахождения площади S сложной плоской фигуры: 1. Вписываем искомую фигуру в некоторую правильную фигуру (например, прямоугольник) с известной площадью S 0; Площадь сложной фигуры: 2. Генерируем n пар чисел (x, y), в которых х равномерно распределено между х0 и хm, а y равномерно распределено между y 0 и ym. 3. Определяем долю Р точек, попавших в сложную фигуру

Нормальное распределение Генерация: случайное число Х есть сумма большого числа независимых одинаково распределенных случайных величин:

В каких процессах возникает нормальное (гауссово) распределение? Нормальное распределение возникает в условиях, когда изучаемые случайные числа представляют собой сумму большого числа независимых случайных величин.

Почему так важно нормальное распределение? Случайные величины, подчиняющихся какому угодно закону распределения приближенно подчиняется нормальному закону распределения с увеличениям числа этих случайных величин Таким образом, нормальное распределение является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения.

Уравнение нормального закона распределения , - параметры уравнения для нормального закона распределения

Уравнение плотности распределения для нормального закона

Параметры нормального распределения: математическое ожидание Сделаем замену переменной Тогда имеем

Параметры нормального распределения: дисперсия - среднее квадратическое отклонение случайной величины х

Свойства параметров нормального распределения Мат. ожидание = медиана = мода = Кривая плотности нормального распределения симметрична относительно значения математического ожидания

Свойства нормального распределения • Параметр характеризует математическое ожидание (среднее арифметическое) случайной величины, являясь центром распределения и наиболее вероятным значением. Изменение математического ожидания не влияет на форму кривой, а только вызывает ее смещение вдоль оси x. Пример: Рост студентов в группе: Группа 1: M[x]=170 см, σ=5 см Группа 2: M[x]=175 см, σ=5 см

Пример:

Свойства нормального закона распределения • Параметр характеризует изменчивость случайной величины (меру растянутости кривой вдоль оси x): чем больше , тем больше кривая растянута. Пример: Рост в группе Ф 101 - M(x)=170 см, σ=5 см Ф 102 - M(x)=170 см, σ=10 см

Пример: σ=5 σ=10

Стандартная функция распределения Ф*(х) Замена переменных: Параметры стандартной функции распределения

Зачем нужна стандартная функция распределения? Функцию распределения с любыми значениями параметров можно выразить через стандартную функцию распределения Ф*: Найдем вероятность попадания случайной величины х в область значений от a до b:

Таблицы стандартной функции распределения Стандартная функция распределения не выражается через элементарные функции. Для нее рассчитаны и составлены специальные таблицы: x Ф*(х) 0, 00 0, 5000 0, 06 0, 5239 0, 01 0, 5040 0, 07 0, 5279 0, 02 0, 5080 0, 08 0, 5319 0, 03 0, 5120 0, 09 0, 5359 0, 04 0, 5160 0, 1 0, 5398 0, 05 0, 5199 0, 11 0, 5398

Задача 11: отложим от значения мат. ожидания последовательные отрезки длиной . Вычислить вероятность попадания нормально распределенной случайной величины х в каждый из этих отрезков. 0. 341 + 0. 136 + 0. 012 0. 490 Правило «трех сигм»

Задача 12: случайная величина Х, распределенная по нормальному закону, представляет собой ошибку некоторого измерения. При измерении допускается систематическая ошибка в сторону завышения, равная 1. 2. Среднее квадратическое ошибки измерений равно 0. 8. Найти вероятность того, что отклонение измеренной величины от истинного значения не превзойдет по абсолютной величине 1. 6. Решение Ошибка есть случайная величина, подчиненная нормальному закону с параметрами =1. 2 и =0. 8.

• Задача 13: Найти вероятность попадания случайной величины в интервал от 155 см до 160 см, • если M [x] = 170 см, σ = 5 см. Ф(-2) - Ф(-3) = (1 -Ф(2)) - (1 -Ф(3)) = = (1 -0, 9772) - (1 -0, 9986) = = 0, 0228 - 0, 0014 = 0, 0214 = 2%

Числовые характеристики случайных величин

Зачем нужны числовые характеристики? Каждый закон распределения представляет собой функцию и указание этой функции полностью описывает случайную величину. Однако во многих случая нет необходимости характеризовать случайную величину исчерпывающим образом. Часто бывает достаточно указать некоторые числовые параметры, характеризующие существенные черты распределения. Такие характеристики называют числовыми характеристиками случайных величин

Характеристики положения Эти показатели характеризуют положение случайной величины на числовой оси – указывают ориентировочное значение, вокруг которого группируются все возможные значения случайной величины. Основной и наиболее часто используемой характеристикой положения является математическое ожидание случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины Пусть дискретная случайная величина Х принимает значения х1, х2, …. , хn с вероятностями p 1, p 2, …. , pn. Нам нужно охарактеризовать положение значений случайной величины на числовой оси с учетом того, что эти значения имеют разные вероятности. С этой целью вводится величина математического ожидания M[X] случайной величины х:

математического ожидания и среднее значение для конечного набора случайных величин Конечный набор случайных величин. Каждая из них может выпасть с равной вероятностью 1. Среднее значение случайной величины: 2. Математическое ожидание. Вероятность р(i) реализации каждой из случайных величин p(i) =1/n. Тогда

Математическое ожидание непрерывной случайной величины f(x) – функция плотности распределения случайной величины х

Операции с математическим ожиданием Математическое ожидание случайной величины – неслучайная величина

Проблемы с мат. ожиданием или зачем нужна дисперсия Пример: вычисления мат. ожидания для случайных чисел x и y x 1 = -1; х2 = 0; х3 = +1; М[x]=0 y 1 = -100; y 2 = 0; y 3 = +100; М[y]=0 Что делать? Можно ли, например, в качестве дополнительной числовой характеристики случайных величин использовать сумму отклонений этих величин от мат. ожидания? Дисперсия D[x] случайной величины

Расчет дисперсии для приведенных выше примеров x x 2 -1 1 0 0 1 1 D[ 0, 6 x] 7 10 100 0 0 10 100

Дисперсия непрерывных случайных величин Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение)

Свойства дисперсии

Медиана случайной величины Me – такое значение случайной величины х, для которого выполняется следующее условие: Геометрическая медиана - это абсцисса точки, в которой площадь ограниченная кривой плотности распределения, делится пополам.

Пример 1: Функция плотности распределения Задание: найти, мат. ожидание и дисперсию случайной величины х 1. Найдем коэффициент а: 2. Найдем мат. ожидание: 3. Найдем дисперсию

Пример 2: в стране – эпидемия… В больнице находится 100 больных, из них у 90 больных температура 40 0 С, а 10 человек уже отмучались и лежат в морге, где температура воздуха 6 0 С. Спрашивается, каково математическое ожидание температуры тела пациентов в больнице? Каков смысл такого значения математического ожидания? На что указывает такое значение? Что нужно делать с таким числом? Можно ли как-то исправить ситуацию?