Случайные величины и их характеристики Случайная величина

Случайные величины и их характеристики

Случайная величина o Примеры: n n n o Число звонков, поступивших от абонентов на телефонную станцию в течение суток Величина отклонения точки падения снаряда от цели Число машин, проезжающих через перекресток Случайная величина – это величина, которая характеризует некоторое случайное событие. n n Может принимать различные значения под влиянием случайных обстоятельств Нельзя заранее указать, какое значение

Случайная величина o Для того, чтобы охарактеризовать случайную величину, нужно знать n n o o Значения, которые она может принимать Как часто (т. е. с какой вероятностью) она принимает эти значения Число принимаемых значений может быть конечным или бесконечным Значения могут располагаться на числовой оси дискретно (дискретная случайная величина) или заполнять некоторые интервалы (непрерывная случайная величина)

Случайная величина o o o Пусть возможными исходами некоторого эксперимента являются события А 1, А 2, … Аn, образующие полную группу попарно несовместных событий. Определим значения, которые может принимать случайная величина ξ: ξ(А 1)=х1, ξ(А 2)=х2, … ξ(Аn)=хn. Это означает следующее: если наступило событие Аi, то случайная величина ξ принимает значение хi Таким образом, случайная величина ξ является функцией на множестве событий А 1, А 2, … Аn

Случайная величина o o Вместо того, чтобы говорить «события А 1, А 2, … Аn, образуют полную группу попарно несовместных событий и происходят в результате эксперимента с вероятностями Р(А 1), Р(А 2), … Р(Аn)» можем сказать «задана случайная величина ξ, которая принимает значения х1, х2, … хn, с вероятностями р1, р2, … р n»

Законы распределения случайных величин o o Закон распределения случайной величины ξ - соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины х1, х2, … хn и соответствующим им вероятностям р1, р2, … рn Простейшая форма задания закона распределения – это таблица, в которой перечислены значения случайной величины и соответствующие им вероятности: ξ х1 х2 … хn р2 … рn р р1

Равномерное распределение o При бросании игральной кости случайная величина будет задана следующим образом: ξ р o 1 2 3 4 5 6 1/6 1/6 1/6 Все рi равны. Такое распределение вероятностей называется равномерным

Биномиальное распределение o o Пусть производится n независимых одинаковых испытаний, в каждом из которых может наступить или не наступить событие А. Вероятность наступления события А в каждом испытании р, а события - q=1 -p Такая постановка эксперимента носит название схема Бернулли

Биномиальное распределение o o Обозначим Pn(m) вероятность того, что событие А наступило m раз в n испытаниях. Тогда Где - число сочетаний из n элементов по m (биномиальный коэффициент)

Бином Ньютона

Пример o Пусть монета бросается 4 раза, а случайная величина ξ – число выпавших гербов. Для нее возможными значениями являются числа 0, 1, 2, 3, 4. Вероятности, с которыми принимаются эти значения, вычисляются по формуле , поскольку мы находимся в условиях схемы Бернулли; p=q=1/2 o Вычислим эти вероятности и запишем случайную величину в виде таблицы ξ 0 1 2 3 4 р 1/16 1/4 3/8 1/4 1/16

Непрерывные случайные величины o o o - это случайные величины, которые могут принимать бесконечно много значений, которые сплошь заполняют некоторый интервал (a, b)(например, ошибка измерения) Закон распределения такой величины должен позволять найти вероятность попадания ее значения в любой интервал (х1, х2), лежащий внутри (a, b) Функция р(х) называется плотность распределения

Непрерывные случайные величины o o Очевидно, что Для непрерывной случайной величины имеет смысл рассматривать только такое событие, как попадание в интервал, а не попадание в отдельную точку, т. к. вероятность попадания непрерывной случайной величины в отдельную точку равна нулю

Нормальный закон распределения o Большинство встречающихся на практике случайных величин (скорость газовых молекул, вес новорожденных, размер одежды и обуви населения страны и т. п. ) подчиняются закону распределения определенного типа, при котором функция плотности распределения имеет вид:

Нормальный закон распределения o o o Такой закон распределения называется нормальный закон распределения (или закон Гаусса) Плотность распределения нормальной случайной величины имеет вид Где а и σ - параметры распределения (некоторые константы)

Нормальный закон распределения o В зависимости от значений а и σ кривые (графики плотности распределения) выглядят несколько по-разному, однако всегда n n Имеют колообразную форму, т. е. они имеют одну точку максимума, при удалении от которой вправо и влево убывают. Это означает, что по мере удаления значений случайной величины от ее наивероятнейшего значения, их вероятности непрестанно убывают Симметричны относительно вертикальной прямой, проведенной через максимум. Это означает, что значения, равноудаленные от наивероятнейшего, равновероятны

Нормальный закон распределения o o a – математическое ожидание случайной величины σ – среднеквадратическое отклонение Кривая достигает своего максимума при х=а Чем больше значение σ , тем шире и ниже соответствующая кривая, чем меньше σ , тем уже и выше

Числовые характеристики случайной величины o o При решении практических задач часто нет необходимости характеризовать какую-либо случайную величину полностью. Часто достаточно лишь укать только отдельные числовые параметры: например, какое-то среднее значение, около которого группируются значения случайной величины, и какое-то число, которое характеризует степень разбросанности эти значений. В теории вероятности и мат. статистике существует ряд таких характеристик, наиболее популярные – это математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение

Математическое ожидание o Математическое ожидание случайной величины ξ характеризует среднее (наиболее ожидаемое) значение этой величины. Для дискретной случайной величины o Для непрерывной случайной величины o

Математическое ожидание o Для дискретной случайной величины математическое ожидание может быть рассчитано как среднее арифметическое ее возможных значений o Математическое ожидание дискретной случайной величины может не совпадать ни с одним из ее возможных значений

Дисперсия o o o Дисперсия характеризует степень отклонения (разброса) случайной величины от ее математического ожидания (среднего значения) Рассчитывается как математическое ожидание случайной величины (ξ -M(ξ))2 , т. е. Или

Среднее квадратическое отклонение o o Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины; для более наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется среднеквадратическое отклонение

Пример o Посчитать математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение для количества выпавших гербов в примере с бросанием монеты ξ 0 1 р 1/16 1/4 2 3 4 3/8 1/4 1/16

Самостоятельно o Задачи 65 -70, стр. 68 -69