Скачать презентацию Случайные величины Ахмеджанова Т Д Определение Случайной Скачать презентацию Случайные величины Ахмеджанова Т Д Определение Случайной

Cл. величины.ppt

  • Количество слайдов: 39

Случайные величины Ахмеджанова Т. Д. Случайные величины Ахмеджанова Т. Д.

Определение Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает Определение Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Определение Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной Определение Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной.

Определение Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка, называется непрерывной Определение Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка, называется непрерывной случайной величиной.

Пример Число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости, есть дискретная случайная величина. Она Пример Число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости, есть дискретная случайная величина. Она может принять одно из значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Пример • Прирост веса домашнего животного за месяц есть непрерывная случайная величина, которая может Пример • Прирост веса домашнего животного за месяц есть непрерывная случайная величина, которая может принять значение из некоторого числового промежутка.

Пример Объем продаж холодильников в супермаркете за 3 рабочих дня, составивший: за первый день Пример Объем продаж холодильников в супермаркете за 3 рабочих дня, составивший: за первый день 6, за второй - 2, за третий -1 холодильник, есть дискретная случайная величина.

Законы распределения дискретных случайных величин. • Величина Х считается заданной, если перечислены все ее Законы распределения дискретных случайных величин. • Величина Х считается заданной, если перечислены все ее возможные значения, а также вероятности, с которыми величина Х может принять эти значения. • Указанный перечень возможных значений и их вероятностей называется законом распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан с помощью таблицы: Х х1 х2 Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан с помощью таблицы: Х х1 х2 … xn-1 xn Р p 1 p 2 … pn-1 pn Так как в результате испытания величина Х всегда примет одно из значений x 1, x 2, . . . , xn, то p 1+ p 2 +. . . + pn = 1.

Пример 1 • Трижды подбрасывается правильная монета. Случайная величина Х - число выпавших гербов. Пример 1 • Трижды подбрасывается правильная монета. Случайная величина Х - число выпавших гербов. Описать закон распределения данной случайной величины

Решение Х - дискретная случайная величина, ее возможные значения составляют множество {0, 1, 2, Решение Х - дискретная случайная величина, ее возможные значения составляют множество {0, 1, 2, 3}. Для вычисления вероятностей событий {X = n} запишем все возможные исходы случайного эксперимента: ={ццц, гцг, цгг, цгц, ггг}. В силу независимости исходов отдельных подбрасываний имеем: • P{X = 0} = P{ццц} =1/8, • P{X = 1} = P{гцц, цгц, ццг}=3/8, • P{X = 2}= P{цгг, гцг, ггц} =3/8 , • P{X = 3} = P{ггг} =1/8.

Представим закон распределения случайной величины Х таблицей: Х 0 1 2 3 Р 1/8 Представим закон распределения случайной величины Х таблицей: Х 0 1 2 3 Р 1/8 3/8 1/8

Математическое ожидание дискретной случайной величины Пусть некоторая дискретная случайная величина Х с конечным числом Математическое ожидание дискретной случайной величины Пусть некоторая дискретная случайная величина Х с конечным числом своих значений задана законом распределения: Х х1 х2 … xn-1 xn Р p 1 p 2 … pn-1 pn

Определение Математическим ожиданием М (Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех возможных Определение Математическим ожиданием М (Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех возможных значений величины Х и соответствующих вероятностей: М (Х) = x 1 p 1 + x 2 p 2 +. . . + xn pn.

Теорема Математическое ожидание дискретной случайной величины Х приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений Теорема Математическое ожидание дискретной случайной величины Х приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений (при достаточно большом числе испытаний).

Свойства математического ожидания дискретной случайной величины 1. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой Свойства математического ожидания дискретной случайной величины 1. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой величине: М (С) = С 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т. е. М (СХ) = СМ (Х). 3. Математическое ожидание алгебраической суммы двух случайных величин X и Y равно алгебраической сумме их математических ожиданий : M (X Y) = M (X) M (Y) 4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин X и Y равно произведению их математических ожиданий: M (XY) = M (X) M (Y).

Определение • Случайные величины называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит Определение • Случайные величины называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина. • Несколько случайных величин называются независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.

Пример2 Мишень в форме круга, разделенного на восемь секторов, вращается вокруг оси. При достаточно Пример2 Мишень в форме круга, разделенного на восемь секторов, вращается вокруг оси. При достаточно большой угловой скорости вращения стрелок не в состоянии различать цифры, выписанные по одной на секторах. Он вынужден стрелять наугад. При попадании в сектор 1 стрелок выигрывает 1 рубль, в сектор 2 - 2 рубля и т. д. , в сектор 8 - 8 р. Стоит ли ему участвовать в такой игре, если за право каждого выстрела надо платить 5 р. ?

Решение • Поскольку мишень вращается, способности стрелка роли не играют: попадание - случайность. Случайная Решение • Поскольку мишень вращается, способности стрелка роли не играют: попадание - случайность. Случайная величина Х может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Следовательно, • Стрелять много раз явно невыгодно.

Пример3 • Независимые случайные величины Х и Y заданы законами распределения • Х 1 Пример3 • Независимые случайные величины Х и Y заданы законами распределения • Х 1 2 Y 0. 5 1 • р 0. 2 0. 8 р 0. 3 0. 7 • Найдите математическое ожидание случайных величин: M(X), M(Y), M(X+Y)? M (X-Y).

Решение Решение

Пример4 • У охотника 4 патрона. Он стреляет по цели, пока не попадет или Пример4 • У охотника 4 патрона. Он стреляет по цели, пока не попадет или пока не кончатся патроны. Найти математическое ожидание количества выстрелов, если вероятность попадания примерно равна 0. 25. • Ответ: 2. 734.

Понятие дисперсии Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения случайной величины. Покажем это Понятие дисперсии Математическое ожидание не дает полной характеристики закона распределения случайной величины. Покажем это на примере. Пусть заданы две дискретные случайные величины Х и Y своими законами распределения: X p -2 0. 4 0 0. 2 2 0. 4 Y p -100 0. 3 0 0. 4 100 0. 3

Математические ожидания величин Х и Y одинаковы (равны нулю), но возможные значения величин Х Математические ожидания величин Х и Y одинаковы (равны нулю), но возможные значения величин Х и Y “разбросаны” или “рассеяны” около своих математических ожиданий поразному: возможные значения величины Х расположены гораздо ближе к своему математическому ожиданию, чем значения величины Y.

Определение Отклонением случайной величины Х от ее математического ожидания называется случайная величина Х - Определение Отклонением случайной величины Х от ее математического ожидания называется случайная величина Х - М (Х).

Теорема Математическое ожидание отклонения Х - М (Х) равно нулю: М(Х - М (Х)) Теорема Математическое ожидание отклонения Х - М (Х) равно нулю: М(Х - М (Х)) = 0

Определение Дисперсией D (X) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной Определение Дисперсией D (X) дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D (X) = M [(X - M (X))2].

Свойства дисперсии дискретной случайной величины 1. Дисперсия дискретной случайной величины Х равна разности между Свойства дисперсии дискретной случайной величины 1. Дисперсия дискретной случайной величины Х равна разности между математическим ожиданием квадрата величины Х и квадратом ее математического ожидания: D (X) = M (X)2 - M 2 (X). 2. Дисперсия постоянной величины равна нулю. 3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: D (CX) = C 2 D (X). 4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D (X + Y) = D (X) + D (Y). 5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин X и Y равна сумме их дисперсий: D (X - Y) = D (X) + D (Y).

• Дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения относительно размерности самой случайной величины • Дисперсия измеряется в квадратных единицах измерения относительно размерности самой случайной величины

Определение Средним квадратическим отклонением (Х) случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии: Определение Средним квадратическим отклонением (Х) случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии: Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина.

Пример • Случайная величина Х - число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Пример • Случайная величина Х - число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Определить среднее квадратическое отклонение.

Решение D(X) = ((1 - 3. 5)2 + (2 - 3. 5)2 + (3 Решение D(X) = ((1 - 3. 5)2 + (2 - 3. 5)2 + (3 - 3. 5)2 +(4 - 3. 5)2 + (5 - 3. 5)2 +(6 - 3. 5)2): 6 =

Непрерывные случайные величины Непрерывные случайные величины

Определение Функцией распределения случайной величины X называется функция F (x), равная вероятности того, что Определение Функцией распределения случайной величины X называется функция F (x), равная вероятности того, что X приняла значение, меньшее x: F (x) = P (X

свойства функции распределения 1. 2. F (x) - неубывающая функция, т. е. если x свойства функции распределения 1. 2. F (x) - неубывающая функция, т. е. если x 1

свойства функции распределения 4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет какое-либо заранее свойства функции распределения 4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет какое-либо заранее заданное значение, равна нулю: 5. Вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал, сегмент, полуинтервал с одними и теми же концами одинаковы: 6. Если возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (a; b), то: 1) при 2) при

Следствие Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси, то справедливы Следствие Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения:

Дифференциальная функция распределения Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины Х (или ее плотностью вероятности) Дифференциальная функция распределения Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины Х (или ее плотностью вероятности) называется функция f (x), равная производной интегральной функции f (x) =

Так как F (x) - неубывающая функция, то Плотность распределения f (x) является одной Так как F (x) - неубывающая функция, то Плотность распределения f (x) является одной из форм закона распределения; эта форма не универсальна: она существует только для непрерывных случайных величин.