Случайные события – это те события, которые при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти. Случайное событие может осуществиться только при определенных условиях. А = { мне сегодня встретится черная кошка}
Невозможные события – это такие события, которые в данных условиях произойти не могут. А = { при бросании игрального кубика выпадет семь} Достоверные события – это те события, которые в данных условиях обязательно произойдут. А = { при бросании игрального кубика выпадет число, меньше чем семь}
Укажите, какие из следующих событий невозможные, какие – достоверные, какие – случайные: «Меня завтра вызовут отвечать к доске» «Летом у меня будут каникулы» «Баскетбольный мяч попал в кольцо» «Я брошу игральную кость, и выпадет «шестерка» «Электрическая лампочка перегорит» «На морозе вода в стакане замерзнет» «В Москве завтра произойдет извержение вулкана»
Случайный опыт - те условия и действия, при которых может осуществиться случайное событие. {При бросании монетки выпал «орёл» } Случайный опыт Случайное событие
Укажите, что является случайным опытом, а что – случайным событием: «В день самоуправления я буду директором школы» «Футбольный матч закончился победой сборной команд 8 «А» и 8 «Б» классов» «Я купила лотерейный билет и выиграла» «Лайнер «Титаник» столкнулся с айсбергом» «Молния ударила в дерево»
Элементарные события События, которые нельзя разделить на более простые, называются элементарными событиями. В результате случайного опыта наступает только одно элементарное событие.
Решение задач
Пункт 26 № 1. Андрей и Борис решили купить мороженое и встали в очередь. Сколькими способами они могут расположиться друг за другом? Выпишите эти способы. Обозначим: Андрея- буквой А, а Бориса- Б. Друг за другом они могут расположиться только двумя способами АБ или БА. БА
Пункт 26 № 2. Вопрос : Сколько всего получилось элементарных событий? Условие В киоске продаётся три сорта мороженого: сливочное, шоколадное и клубничное. Андрей и Борис покупают по одной порции мороженого.
Решение Рассмотрим все варианты событий какой вкус могут купить Борис и Андрей. № Андрей 1 Шоколадное 2 Шоколадное Клубничное 3 Шоколадное Ванильное 4 Клубничное Шоколадное 5 Клубничное 6 Клубничное Ванильное 7 Ванильное Шоколадное 8 Ванильное Клубничное 9 Борис Ванильное Андрей Предположим, что Борис любит только шоколадное мороженное, тогда Андрей может купить любое из трех видов. Если Борис любит клубничное, то Андрей снова может купить все три вкуса. То же произойдет и с ванильным мороженным для Бориса. Ответ: всего получилось 9 элементарных событий. Но если предположить, что Андрей любит только шоколадное мороженное, то тогда Борис может попробовать все три вкуса. Но это уже есть в нашей таблице.
Пункт 26 № 3. Андрей, Борис и Владимир решили купить мороженое и встали в очередь за покупкой. Сколькими способами они могут расположиться друг за другом? Выпишите все эти способы. Обозначим : Андрея- буквой А, Бориса- буквой Б, Владимира- буквой В. Следовательно, получается : АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА. Итого 6 способов
Пункт 26 № 4. В ящике четыре детали: две исправные детали а и Ь и две бракованные детали с и d. Из ящика наугад извлекают по одной детали, пока не обнаружат все бракованные. Элементарные события этого опыта будем записывать в виде последовательности букв. Например, а. Ьсd, саd и т. д. а) Является ли сdа. Ь элементарным событием в этом опыте? cdab не является элементарным событием, так как все бракованные детали обнаружили после второго извлечения. б) Какими буквами может заканчиваться запись элементарного события? запись элементарного события может заканчиваться буквами c или d.
Пункт 26 № 4. В ящике четыре детали: две исправные детали а и Ь и две бракованные детали с и d. Из ящика наугад извлекают по одной детали, пока не обнаружат все бракованные. Элементарные события этого опыта будем записывать в виде последовательности букв. Например, а. Ьсd, саd и т. д. в) Выпишите все элементарные события этого опыта. Мы знаем, что запись элементарного события должна заканчиваться буквами c или d. Сначала запишем все события (элементарные и неэлементарные), а потом вычеркнем те, которые заканчиваются на буквы a и b. Abcd badc cabd dabc Abdc bacd cadb dacb Adbс bdca cbad dbac Adсb bdac cbda dbca Acbd bcad cdab dcab Acdb bcda cdba dcba Посчитаем оставшиеся события : abcd, bdac, cabd, dabc, abdc, bacd, adbc, cbad, dbac, bdac, acbd, bcad, acdb.
Пункт 26 № 4. В ящике четыре детали: две исправные детали а и Ь и две бракованные детали с и d. Из ящика наугад извлекают по одной детали, пока не обнаружат все бракованные. Элементарные события этого опыта будем записывать в виде последовательности букв. Например, а. Ьсd, саd и т. д. г) Сколько различных элементарных событий записывается тремя буквами? Сначала составим все события: Вычеркнем неэлементарные: abc abd acd bcd acb adc bdc bad cad cbd bca bda cdb cab dba dac dbc cba dab dca dcb Остались события: acd, adc, cad, dac, bcd, bdc, cbd, dbc. Всего: 8
Пункт 26 № 5. Игральную кость подбрасывают дважды. Нарисуйте в тетради таблицу элементарных событий этого эксперимента. Выделите в таблице элементарные события, при которых в сумме выпало: 1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6 2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6 3; 1 3; 2 3; 3 3; 4 3; 5 3; 6 4; 1 4; 2 4; 3 4; 4 4; 5 4; 6 5; 1 5; 2 5; 3 5; 4 5; 5 5; 6 6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6 а) менее 4 очков б) ровно 7 очков в) ровно 11 очков г) четное число очков.
Пункт 26 № 6. При подбрасывании монеты будем обозначать буквой О выпадение орла и буквой Р выпадение решки. * Сколько элементарных событий при четырех бросаниях монеты? Опыт 4*: 16, т. к. при подбрасывании выпадает 16 разных комбинаций: 2 варианта на первое подбрасывание (О или Р) 2 варианта на второе подбрасывание (О или Р) 2 варианта на третье подбрасывание (О или Р) 2 варианта на четвертое подбрасывание (О или Р) Всего: 2 ∙ 2 ∙ 2=16 * Сколько элементарных событий при десяти бросаниях монеты? Опыт 5*: 1024, т. к. при подбрасывании выпадает 1024 различных комбинаций. Это можно узнать, возведя 2 в 10 степень.
Пункт 26 № 6. При подбрасывании монеты будем обозначать буквой О выпадение орла и буквой Р выпадение решки. Подбросим монету два раза. Появление двух орлов записывается как ОО. Это одно из элементарных событий этого опыта. Опыт 1: Элементарные события: ОО, РР, ОР, РО. Подбросим монету три раза. Выпишите все элементарные события этого опыта. Опыт 2: Элементарные события: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО. Во сколько раз больше число элементарных событий при трёх бросаниях монеты, чем при двух бросаниях монеты? Опыт 3: В 2 раза.
Пункт 26 № 7. Из закрепленного ружья стреляют по мишени, изображенной на рисунке. Выстрелить мимо мишени невозможно. Элементарным событием при одном выстреле будет выбивание определенного числа очков. Сколько элементарных событий в этом опыте: а) при двух выстрелах; б) при трех выстрелах?
А) При двух выстрелах, элементарных событий 10 х10=100, к каждому из десяти возможных элементарных событий при 1; 1 1; 2 выстреле может присоединиться 1; 9 1; 10 первом 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6 1; 7 1; 8 любое из 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6 2; 7 2; 1 2; 2 десяти событий при втором 2; 8 2; 9 2; 10 выстреле. Все 3; 100 5 3; 6 3; 7 3; 1 3; 2 3; 3 эти 4 3; элементарных 3; 8 3; 9 3; 10 событий записаны в таблице. 4; 1 4; 2 4; 3 4; 4 4; 5 4; 6 4; 7 4; 8 4; 9 4; 10 5; 1 5; 2 5; 3 5; 4 5; 5 5; 6 5; 7 5; 8 5; 9 5; 10 Б) При трёх выстрелах, элементарных событий 6; 10 х10 х10=1000, 4 каждому 6 6; 7 6; 8 6; 9 6; 10 1 6; 2 6; 3 6; к 6; 5 6; из десяти 7; возможных элементарных7; 6 7; 7 при 8 7; 9 7; 10 1 7; 2 7; 3 7; 4 7; 5 событий 7; первом 8; выстреле 8; 3 8; присоединиться любое 8 из 8; 9 8; 10 1 8; 2 может 4 8; 5 8; 6 8; 7 8; 9; десяти 2 событий при 9; 5 9; 6 9; 7 9; 8 9; 9 9; 10 1 9; 9; 3 9; 4 втором выстреле и может присоединиться любое из десяти событий при 10; третьем выстреле. 10; 1 10; двух выстрелах 100 элементарных 10; 9 10 а) При 2 10; 3 10; 4 10; 5 10; 6 10; 7 10; 8 событий б) При трёх выстрелах 1000 элементарных событий.
Пункт 26 № 8. Спортивная команда «Математик» проводит товарищескую встречу по волейболу с командой «Физик» . Ничья невозможна. Встреча проводится до двух побед одной из команд. Победу «Математика» обозначим буквой М, а победу «Физика» — буквой Ф. Одним из элементарных событий является ММ. а) Запишите все возможные элементарные события. Элементарные события : ММ, ФФ, МФМ, ФМФ, МФФ б) Запишите все элементарные события, при которых встречу выигрывает команда «Физик» . ФФ, ФМФ, МФФ Две буквы Ф, одна из которых является последней
Пункт 26 № 8. Спортивная команда «Математик» проводит товарищескую встречу по волейболу с командой «Физик» . Ничья невозможна. Встреча проводится до двух побед одной из команд. Победу «Математика» обозначим буквой М, а победу «Физика» — буквой Ф. Одним из элементарных событий является ММ. в) Предположим, что во встрече победила команда «Математик» . Какой буквой оканчивается запись соответствующих элементарных событий? Запись оканчивается буквой М г) Какое наибольшее количество матчей может состояться? 3 матча Если после первых двух игр победитель не определился, то победитель третьего матча станет победителем встречи
Пункт 26 № 9. Красная Шапочка идет от домика мамы до домика бабушки. Красная Шапочка может идти только по дорожкам слева направо. Схема дорожек показана на рисунке. Каждая дорожка обозначена буквой. Например, один из возможных путей записывается как ах, другой — как bz. Перечислите все возможные пути Красной Шапочки в домик бабушки. Сколько получилось таких путей?
Пункт 26 № 10. Красная Шапочка идет от домика мамы до домика бабушки. Красная Шапочка может идти только по дорожкам слева направо. Схема дорожек показана на рисунке. Каждая дорожка обозначена буквой. Сколько элементарных событий в этом опыте записывается одной, двумя, тремя буквами? 1) Одной буквой может быть записано 2 элементарных события: d и w. 2) Двумя буквами может быть записано 2 элементарных события: ax и bx. 3) Тремя буквами может быть записано 4 элементарных события: auw, buw, avw, bvw
Пункт 26 № 11. Игральную кость подбрасывают трижды. Сколько элементарных событий в этом эксперименте? У кости 6 граней, следовательно количество элементарных событий равно 6· 6· 6=216
Пункт 26 № 12. Игральную кость подбрасывают трижды. Найдите число элементарных событий, при которых в сумме выпало: а) 2 очка; б) З очка; в) 4 очка. а) 0, т. к это невозможное событие. б)1, при выпадении 111 в)3, при выпадении 112, 121, 211
Пункт 26 № 13. Игральную кость подбрасывают трижды. Найдите число элементарных событий, при которых в сумме выпало более: а) 17 очков; б) 16 очков; в) 15 очков. а) «выпало более 17 очков» элементарное событие: 6+6+6 Всего 1 элементарное событие. б) «выпало более 16 очков» элементарные события: 5+6+6, 6+6+5, 6+5+6, 6+6+6. Всего 4 элементарных события. в) «выпало более 15 очков» . элементарные события: 4+6+6, 6+6+4, 6+4+6, 5+5+6, 5+6+5, 6+5+5, 5+6+6, 6+5+6, 6+6+5, 6+6+6. Всего 10 элементарных событий.
Равновозможные элементарные события: Элементарные события, шансы которых одинаковы, называются равновозможными.
Вероятности элементарных событий: Р(а) – вероятность элементарного события а. Р(в) – вероятность элементарного события в. Р(с) –вероятность элементарного события с. Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1. Р(а)+Р(в)+Р(с) =1.
Решение задач
Пункт 28 № 1. Случайный опыт может закончиться одним из трех элементарных событий: а, Ь или с. Чему равна вероятность элементарного события с, если а) А)P(c)=1 -1/2 - 1/3=1/6 , б) , Б)Р(с)=1 -0, 4 - 0, 2=0, 4 в) , В)Р(с)=1 -0, 1 - 0, 01=0, 89 г)* , Какие значения может принимать р. Г)*Р(с)=1 - p – (0, 8 -p)= =1 -p-0, 8+p= 0, 2 Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1.
Пункт 28 № 2. Неправильная игральная кость такова, что вероятность выбросить грань, на которой 1 очко, равна 1/4 , вероятность выбросить грань с 2 очками равна 1/12 , с 3 очками — равна 1/4, с 5 очками — равна 1/12, а вероятность выбросить грань с 6 очками равна 1/6. Найдите вероятность выбросить грань с 4 очками. Сумма вероятностей всех элементарных событий равна Вероятность выпадения четверки равна 1– 1/4 - 1/12 - 1/6=1/6 1.
Пункт 28 № 3. Все элементарные события случайного эксперимента равновозможны. Найдите вероятность каждого элементарного события, если их общее число равно: а) 25; 6)17; в) 100. Так как события равновозможны, то: А) Вероятность каждого события равна 1/25 Б) Вероятность каждого события равна 1/17 В) Вероятность каждого события равна 1/100
Пункт 28 № 4. Все элементарные события случайного опыта равновозможны. Сколько элементарных событий в этом опыте, если вероятность одного из них равна: а) 1/3 ; 6)0, 1; в) 0, 125; г) 1/n Если вероятность каждого из событий равна 1/n, то число элементарных событий равно n. А) вероятность 1/3, всего событий 3. Б) вероятность 0, 1=1/10 , всего событий 10. В) вероятность 0, 125=1/8, всего событий 8. Г) вероятность 1/n, всего событий n.
Пункт 28 № 5. В каждом из двух случайных опытов все элементарные события равновозможны. В каком из этих опытов вероятность элементарного события больше, если: а) в первом опыте элементарных событий больше, чем во втором; б) в первом опыте элементарных событий меньше, чем во втором; в) в этих опытах элементарных событий поровну?
Вариант А Опыт № 1 Опыт № 2 События N+Х N Вероятност ь 1/(Х+N) 1/N По условию: в первом опыте элементарных событий больше, чем во втором; Значит в опыте № 1 событий будет на Х больше Чтобы узнать вероятность, нужно 1/N, где N – кол-во элементарных событий.
Правильный ответ к варианту А Большая вероятность элементарного события будет в опыте № 2, т. к. 1/N больше чем 1/(Х+N)
Вариант Б Опыт № 1 События Вероятность Опыт № 2 N Х+N 1/(Х+N) В первом опыте элементарных событий меньше, чем во втором; В опыте № 2 вероятность будет на Х больше, чем в № 1 Вероятность равна 1/N, где N – количество элементарных событий. Большая вероятность элементарного события будет в опыте № 1, т. к. 1/N больше чем 1/(Х+N)
Вариант В Опыт № 1 События Вероятность Опыт № 2 N N 1/N В этих опытах элементарных событий поровну; В опыте № 2 вероятность будет равна вероятности в № 1 Вероятность равна 1/N, где N – количество элементарных событий. Вероятности в обоих опытах равны
Пункт 28 № 6. При подбрасывании монеты будем обозначать буквой О выпадение орла и буквой Р выпадение решки. Подбросим симметричную монету два раза. Равновозможны ли элементарные события ОО, РО, ОР и РР? Найдите их вероятности. • Эти события равновозможны, так как в результате опыта может наступить любое из этих элементарных событий. • Так как событий всего 4 и они равновозможны, то вероятность каждого равна ¼.
Пункт 28 № 7. Симметричную монету подбрасывают несколько раз. Найдите вероятность элементарных событий при: А) 3 бросаниях б) 4 бросаниях В)* 10 бросаниях • Если число элементарных событий равно N, то вероятность каждого из них равна 1/N. При 3 -х подбрасываниях монеты может выпасть: РРР , РРО, РОР РОО, ООО. ОРР, ОРО, ООР Всего элементарных событий 8, значит вероятность одного элементарного события равна 1/8.
Пункт 28 № 7. Симметричную монету подбрасывают несколько раз. Найдите вероятность элементарных событий при: А) 3 бросаниях б) 4 бросаниях В)* 10 бросаниях Б) При 4 бросаниях монеты может выпасть: ОООО ОООР ООРО ОРРО ОРОР ОРОО ОРРР РРОР РРРО РРОО РОРО РООР РООО РОРР РРРР Всего элементарных событий 16, значит вероятность одного элементарного события равна 1/16
Пункт 28 № 7. Симметричную монету подбрасывают несколько раз. Найдите вероятность элементарных событий при: а) 3 бросаниях б) 4 бросаниях в)* 10 бросаниях В)* При подбрасывании монеты 10 раз может выпасть 1024 различных комбинаций. Всего элементарных событий 1024, значит, вероятность одного элементарного события равна 1/1024
Пункт 28 № 8. Три богатыря Илья Муромец, Алеша Попович и Добрыня Никитич ехали по дороге и увидели развилку, а на ней — придорожный камень с предупреждением: Направо поедешь — коня потеряешь, Налево поедешь — копье потеряешь, Прямо поедешь — головы не снесешь. Богатыри разделились, и каждый поехал своей дорогой. Придумайте систему обозначений для элементарных событий этого опыта, запишите все элементарные события. Считая их равновозможными, найдите вероятность каждого из них.
Введем обозначения: На первом месте всегда будем записывать путь Ильи Муромца, Муромца на втором - Алеши Поповича на третьем - Добрыни Никитича Направления будем обозначать цифрами: • Направо – 1 • Налево – 2 Список элементарных событий • Прямо – 3 123, 132, 213, 231, 312, 321 Всего 6 элементарных событий Так как они равновозможны, вероятность каждого равна 1/6.
Пункт 28 № 9. Случайный опыт состоит в том, что Красная Шапочка идет от домика мамы до домика бабушки. Красная Шапочка может идти только по дорожкам слева направо. Схема дорожек показана на рис. 6. Каждая дорожка обозначена буквой. Элементарным событием в этом опыте является выбранный путь. Например, ах или bz. Считая, что все элементарные события равновозможны, найдите вероятность каждого из них. Всего 12 путей: путей ax, ay, az, at bx, by, bz, bt cx, cy, cz, ct а т. к. события равновозможны, то вероятность каждого события равна 1/12
Пункт 28 № 10. Три первоклассника по очереди покупают воздушные шарики. Каждый из них покупает шарик одного из двух цветов: зеленого (З) или синего (С). Выпишите элементарные события этого эксперимента. Считая, что все они равновозможны, найдите вероятность каждого из них. Возможные комбинации ззз ззс зсз сзз зсс сзс ссз ссс Так как события равновозможны, то вероятность каждого из них равна 1/8 ссс
Пункт 28 № 11. Три первоклассника по очереди покупают фломастеры. Каждый из них покупает фломастер одного из трех цветов: зеленого (З), синего (С) или красного (К). Сколько у этого опыта элементарных событий? Считая, что все элементарные события равновозможны, найдите вероятность каждого из них. Возможные комбинации ЗСК ЗКС СЗК КЗС СКЗ КСЗ ККЗ КЗК ЗКК ССЗ СЗС ЗСС ЗЗК ЗКЗ КЗЗ ЗЗС ЗСЗ СЗЗ ССК СКС КСК СКК ККС. ККК ССС ЗЗЗ Всего 27 вариантов Так как события равновозможны, то вероятность каждого из них равна 1/27.
Пункт 28 № 12. Игральную кость подбрасывают несколько раз. Равновозможны ли элементарные события такого опыта? Найдите вероятность каждого элементарного события при: а) З бросаниях; 6) 4 бросаниях. Появление одного из 6 чисел на каждой кости равновозможны. А) Всего событий 6∙ 6∙ 6=216, а так как события равновозможны, то вероятность каждого из них равна 1/216. Б) Всего событий 6∙ 6∙ 6∙ 6=1296, а так как события равновозможны, то вероятность каждого из них равна 1/1296.
Благоприятствующие элементарные события Элементарные события, при которых наступает событие А, называются элементарными событиями, благоприятствующими событию А.
Самостоятельная работа № 1 а) стр. 100 № 3 а) № 7 а) № 9 а) 1 вариант № 1 б) стр. 100 № 3 б) № 7 б) № 9 б) 2 вариант
Вероятности событий
Найдите вероятность каждого из событий: 1. {При бросании кубика выпало число, меньшее семи} 2. {При бросании кубика выпало пять} 3. {При бросании кубика выпало четное число} 4. {Из слова ВЕРОЯТНОСТЬ случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной? }
Правило вычисления вероятностей Вероятность события равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию. Пусть событию А благоприятствуют элементарные события a, b, c, d, тогда: Р(А)=P(a)+P(b)+P(c)+P(d).
Вероятность случайного события Р(A) = 0 , если событие не наступает (невозможное событие); Р(A) = 1 , если событие наступает всегда (достоверное событие)
Определение: События, которые имеют одинаковые вероятности, называются равновероятными.
Решение задач: № 1 а)б), № 2 а)б), № 3 а)б)в)
Элементарные события случайного опыта называются равновозможными, если все они имеют одинаковые шансы на осуществление. N – количество равновозможных элементарных событий некоторого опыта. Вероятности таких элементарных событий одинаковы и в сумме равны 1 => вероятность каждого элементарного события равна 1/N. N(A) – количество элементарных событий, благоприятствующих событию A. P(A) = N(A) N
Пример 1. 1; 1 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6 2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6 3; 1 3; 2 3; 3 3; 4 3; 5 3; 6 4; 1 4; 2 4; 3 4; 4 4; 5 4; 6 5; 1 5; 2 5; 3 5; 4 5; 5 5; 6 6; 1 Игральную кость бросают 2 раза. Найдем вероятность события А «сумма очков меньше 6» . Для этого воспользуемся таблицей элементарных событий этого эксперимента. 1; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6 Благоприятствующие элементарные события выделим зеленым цветом. Число благоприятствующих событий: N(A) = 10. Общее число элементарных событий: N = 36. Элементарные события равновозможны. Поэтому вероятность события А найдем по формуле 10 = P(A) = N(A) = 3636 8 5. N N 36 8 8
Пример 2. Дважды бросают симметричную монету. Найдем вероятность того, что оба раза выпала одна сторона. Обозначим выпадение орла буквой О, а решки – буквой Р и выпишем все элементарные события: ОО, ОР, РО и РР. Всего элементарных событий четыре. Так как монета симметричная, эти события равновозможны. Из них ровно два события ОО и РР благоприятствуют указанному событию. Вероятность получить оба раза одну сторону равна ²/₄=¹/₂.
Упражнение 1. Бросают одну игральную кость. Вычислите вероятность события: а) «выпало четное число очков» ; б) «выпало число очков, кратное трем» ; в) «выпало число очков, большее 3» ; г) «выпало число очков, кратное 7» . Решение: а) P(A)=N(A)=3=1; б) P(A)=2=1; в) P(A)=3=1; 6 г) P(A)=0=0 – это событие невозможное. 6 N 6 2 3 2 6
Делителем натурального числа a называют натуральное число, на которое a делится без остатка. Пример: число 24 имеет 8 делителей: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24. Число 1 является делителем любого натурального числа.
Кратным натурального числа a называют натуральное число, которое делится на a без остатка. Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных. Пример. Первые пять чисел, кратные 8: 8; 16; 24; 32; 40. Наименьшим из кратных натурального числа является само это число.
Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Число 1 имеет только один делитель – само это число, - поэтому его не относят к простым. Первыми десятью простыми числами являются 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29.
Упражнение 2. • Бросают одну игральную кость. Вычислите вероятность события: а) «выпавшее число очков является делителем числа 12» ; б) «выпавшее число очков кратно 5» ; в) «выпавшее число очков является простым числом» . • • Решение: а) P(A)=5; 6 б) P(A)=1; 6 в) P(A)=3=1. 6 2
Натуральные числа – это те числа, которые используются для счета предметов и нумерации. 1; 2; 3; 4; 5… Натуральный ряд бесконечен. 1 – самое маленькое натуральное число. Упражнение 2 Делитель Упражнение 3 Кратное Простое число
A B Упражнение 3. Бросают симметричную монету 2 раза. Равные ли вероятности имеют события «два раза выпал орел» и «один раз выпал орел, а другой – решка» ? Найдите вероятности этих событий. Решение: ОО; ОР; РО; РР. P(A)=1/4; P(B)=2/4=1/2. Ответ: 1/4; 1/2; эти вероятности не равны.
Бросают две игральных кости: желтую и зеленую. Вычислите вероятность события: а) «сумма очков на обеих костях равна 7» ; б) «сумма очков на обеих костях равна 11» ; в) «на желтой кости выпало больше очков, чем на зеленой» ; г) «числа очков на костях различаются не больше, чем на 2» ; д) «произведение очков на обеих костях равно 10» ; е) «сумма очков на обеих костях делится на 3» . Упражнение 4. Решение: 6 а) P(A)=36 =1; 6 2 б) P(A)=36 =1 ; 18 15 5 в) P(A)=36 =12 ; г) P(A)=24=2; 36 3 2 1 д) P(A)=36 =18 ; 12 1 е) P(A)=36 =3. 1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6 1; 1 2; 1 1; 2 2; 2 1; 3 2; 3 1; 4 2; 4 1; 5 2; 5 1; 6 2; 1 3; 2; 2 3; 2; 3 3; 2; 4 3; 2; 5 3; 2; 6 3; 4; 1 3; 4; 2 3; 4; 3 3; 4; 4 3; 4; 5 3; 4; 6 4; 1 5; 4; 2 5; 4; 3 5; 4; 4 5; 4; 5 5; 4; 6 5; 6; 1 5; 6; 2 5; 6; 3 5; 6; 4 5; 6; 5 5; 6; 6 6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6
Упражнение 5. Пятачок идет из своего дома к дому Винни. Пуха, а Винни-Пух идет из своего дома к дому Пятачка. Каждый из них может выбрать наугад одну из дорожек. Найдите вероятность встречи для каждого случая. Решение: а) P(встречи)=1/2. б) в – верхняя с – средняя н – нижняя вв вс вн св сс сн нв нс нн P(встречи)=3/9=1/3. в) В этом случае шесть дорожек, следовательно опыт аналогичен бросанию игральной кости дважды, значит число элементарных событий опыта N=62=36. Число благоприятствующих элементарных событий N(встречи)=6 (по диагонали). P(встречи)=6/36=1/6. Ответ: 1/2; 1/3; 1/6.
Упражнение 6. В коробке лежат 24 одинаковые ручки. Из них 13 красных, 5 зеленых, остальные – синие. Продавец наудачу достает одну ручку. Найдите вероятности событий: а) «извлеченная ручка красная» ; б) «извлеченная рука не зеленая» ; в) «извлеченная ручка либо синяя, либо зеленая» ; г) «извлеченная ручка либо красная, либо синяя» . 22 4 Решение: 24 а) P(A)=13, 24 ручек 13, N(A)=13, N=24; 24 б) P(A)=19; 24 в) P(A)=11; 2424 24 т. к. красных г) P(A)=19. 24
Упражнение 10. ПСС ПС ПСМ П ПМС ПМ ПММ ПССММ ПСММС ПСМСМ ПМСМС ПММСС Решение: N=6 N(A)=2 P(A)=2/6=1/3 На день рождения к Паше пришли две Маши и два Саши. Все пятеро расселись за круглым столом. Найдите вероятность того, что Паша сидит между двумя тезками.
Домашнее задание: 1. Читать пункт 30, 31 учебника. 2. Выполнить письменно на отдельных листочках №№ 7, 9, 12, 19.
Скачать презентацию Случайные события это те события которые при
1962a3a4d21d55b1b29906704ccd655e.ppt