Случайность в мире измерений Можно утверждать, что какая-либо область физических явлений становится наукой лишь с того момента, когда в нее можно внести измерения. Инженерно-физический факультет 21 декабря 2005 г. Группа Ф 11 Филимонова Л. В.
План диспута 1. 2. 3. 4. 5. Случайные события (+примеры) Вероятность случайного события Достоверные и невозможные события Случайные ошибки измерений Величины, характеризующие результат измерения с учетом случайностей 6. Доверительный интервал и надежность результата измерения 7. Как оценивать результаты измерений на лабораторных занятиях в ЕГУ?
Определение и примеры случайных событий Опр. Случайными называются такие события, о появлении которых не может быть сделано точного предсказания. Примеры. Какие события можно отнести к случайным? 1) Солнечное затмение (момент начала и конца солнечного затмения может быть точно вычислен). 2) Время прибытия поезда на станцию (поезд движется по расписанию). 3) Момент прихода такси на стоянку. 4) Вызов скорой помощи по некоторому (заданному) адресу. 5) Получение оценки « 5» на экзамене по физике
Вопросы на «засыпку» • В чем разница между двумя классами событий: случайными и неслучайными? • Можно ли совершенно четко указать разницу между ними?
Ответы • Время прихода поезда на станцию указывается в часах и минутах. И не случайно «Красная стрела» прибывает в Москву в 8 час. 25 мин. Но если более точно проследить за остановкой поезда, то мы сразу же убедимся, что каждый день это происходит в разные моменты: сегодня, например, в 8 час. 24 мин. 33 сек. , вчера — в 8 час. 25 мин. 2 сек. и т. д. Поэтому время прихода «Красной стрелы» , измеренное с точностью до секунды, — событие случайное. То же время, измеренное с точностью до минуты, — событие закономерное.
Ответы • Момент солнечного затмения вычислен на основании законов движения тел Солнечной системы, известных с некоторой точностью. Она и задает точность определения времени начала и конца затмения. В этом смысле затмение не относится к случайным событиям. Однако в пределах интервала времени, меньшего, чем тот, который может быть получен на основании наших знаний о движении Земли и Луны, момент наступления затмения должен рассматриваться как случайный.
Определение вероятности • Пусть в урне n белых и m черных шаров. • При изъятии наугад шара из урны для какого цвета шансов больше? ? • Отношение числа белых шаров к общему числу шаров в урне носит название вероятности появления белого шара.
Прямая и обратная задачи
Как найти вероятность? • Опытным путем с достаточно хорошим приближением вероятность неизвестного нам случайного события устанавливается на основе соотношения:
Вывод u. Частота появления случайного события определяется его вероятностью.
Вероятностные оценки в нашей жизни: пример 1 й • Пусть имеется один билет лотереи, где на каждые 10 билетов приходится один выигрыш. Вероятность выигрыша для каждого билета составляет 0. 1, а вероятность того, что он не выиграет, соответственно 0. 9. • Естественно, что владелец этого билета не будет особенно удивлен ни выигрышем, ни проигрышем. Допустим, однако, что у него есть 50 таких билетов. Какова вероятность того, что он получит хотя бы один выигрыш?
Вероятностные оценки в нашей жизни: пример 1 й • Вероятность, что ни один из 50 билетов не выиграет, = 0. 9 Е 50, т. е. приблизительно 0. 005. • Вероятность, что выиграют все 50 билетов, будет еще гораздо меньше — 0. 1 Е 50. Это означает, что и тот и другой случай практически никогда не осуществляются. Скорее всего из 50 выиграют 5 билетов, но выигрыш 4 или 6 билетов будет также довольно вероятен. Менее вероятен будет выигрыш 3 или 7 8 билетов.
Вопрос Какой должна быть вероятность события, чтобы его наступление можно было считать достоверным (невозможным)? ? ? Есть ли на этот вопрос однозначный ответ?
Ответ № 1 - неясный Ответ на этот вопрос носит в значительной мере субъективный характер и зависит главным образом от степени важности ожидаемого события.
Пример 1 Известно, что около 5% назначенных концертов отменяется. Несмотря на это, мы все же, взяв билет, обычно идем на концерт, будучи в общем уверены, что он состоится, хотя вероятность этого всего 0. 95. Однако, если бы в 5% полетов терпели аварию пассажирские самолеты, вряд ли мы стали бы пользоваться воздушным транспортом.
Пример 2 • Для того чтобы в условиях мирного времени без особой необходимости рисковать жизнью, по видимому, нужно, чтобы вероятность смертельного исхода выбранного мероприятия была бы не более 0. 0001. • Впрочем, различные люди, конечно, по разному относятся к риску, но и самые осторожные легко пойдут на него при вероятности неблагоприятного исхода 10 -6 или 10 -7. • Приблизительно такова обычно вероятность оказаться жертвой транспортной катастрофы на улице большого города, но никто из за этого не боится выходить из дома.
Ответ № 2 ясный • Можно назвать практически достоверными события, вероятность которых отличается от единицы на 10 6 — 10 7, а практически невозможными те, вероятность которых меньше 10 6 — 10 7.
Вопрос на засыпку Может ли наступить невозможное событие?
Ответ Да, при достаточно большом числе испытаний
«Чудо Бореля» • Исходя из возраста вселенной Т (1010 лет) и минимального промежутка времени t (10 30), который можно выделить как отдельный элементарный акт, можно оценить возможность появления маловероятного события. • Учитывая размеры вселенной, можно оценить число элементарных объемов v в ней 10150. • Т. о. , общее число элементарных событий tv=10200. • В тоже время вероятность «чуда Бореля» — вероятность того, что обезьяна без смысла и руководства, ударяя пальцами по клавиатуре пишущей машинки, напишет заданное осмысленное произведение, скажем «Незнакомку» Блока, — как показывает простой расчет, составляет примерно 10 2600. • Это число настолько меньше числа 10 200, которое определяет вероятность появления одного элементарного акта, что события такого рода, как «чудо Бореля» или замерзание чайника па плите (событие, с точки зрения термо динамики, возможное, хотя и маловероятное), нужно признать не просто маловероятными, а невозможными.
Вероятностные оценки ошибок • При измерениях физических величин (в тех случаях, когда основную роль играют случайные ошибки) все оценки точности измерения можно сделать только с некоторой вероятностью. • Случайные ошибки образуются в результате совокупности ряда мелких неучитываемых причин, каждая из которых вносит незначительный вклад в общую ошибку. • Следует считать, что часть из этих ошибок положительна, часть — отрицательна. • Общая ошибка, которая образуется в результате сложения таких элементарных ошибок, может иметь различные значения. • Каждому отдельному значению общей ошибки соответствует разная вероятность.
Пример u u u Нужно взвесить 100 образцов. Весы, позволяют определить вес с погрешностью 0. 05 г (например, вследствие того, что самая мелкая гиря, употребляемая при взвешивании, — 0. 1 г). Предельная нагрузка, допускаемая весами, не позволяет класть на чашку более одного взвешиваемого образца. Какую ошибку мы можем допустить при определении суммарного веса всех 100 предметов?
• Вероятность при всех 100 измерениях сделать ошибку одного и того же знака будет (0. 5)99, или примерно 2 10 31. • Такая вероятность с любой практической точки зрения равна нулю. Вывод: невозможно сделать ошибку в общем весе в 5 г (0. 05 100), ибо вероятность такой ошибки незначимо мало превышает нуль. Иначе говоря, действительная ошибка при таком способе взвешивания будет всегда меньше 5 г. Чему она равна? – ваше итоговое задание
Нормальный закон распределения ошибок 1. Ошибки измерений могут принимать непрерывный ряд значений. 2. При большом числе наблюдений ошибки одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто. 3. Частота появления ошибок уменьшается с увеличением величины ошибки. Иначе говоря, большие ошибки наблюдаются реже, чем малые.
• Если ошибки распределены по нормальному закону, то наиболее вероятным значением измеряемой величины служит среднее арифметическое наблюденных значений: • Если по нормальному закону распределены не результаты измерений, а их логарифмы, то за наиболее вероятное значение логарифма измеряемой величины нужно принять среднее арифметическое из логарифмов всех наблюденных значений, а наиболее вероятное значение измеряемой величины х будет уже не среднее арифметическое, а среднее геометрическое из наблюденных значе ний:
Способы оценки величины случайной ошибки • Наиболее распространена оценка с помощью стандартной или средней квадратичной ошибки (ее часто называют сокращенно — стандартом измерений).
Относительная величина средней квадратичной ошибки, выраженная в процентах, носит название коэффициента вариации:
• Средняя арифметическая вычисляется по формуле ошибка
• При достаточно большом числе наблюдений (практически n>30) между s и r существуют простые соотношения: • Для малых n отношение s/r существенно отличается от предельного, причем
Обозначения и термины • х – истинное (действительное) значение измеряемой величины; • х – погрешность измерения этой величины; • х – среднее арифметическое значение результатов измерения; • вероятность того, что результат измерений отличается от х на величину меньшую, чем х
Обозначения и термины • Доверительная вероятность (коэффициент надежности): • Доверительный интервал:
Как связаны между собой значения доверительной вероятности и доверительного интервала? Чем больший доверительный интервал мы задаем, тем вероятнее, что результаты измерений не выйдут за его пределы
Важное заключение n n n Для характеристики величины случайной ошибки необходимо задать два числа, а именно величину самой ошибки (или доверительного интервала) и величину доверительной вероятности. Указание одной только величины ошибки без указания соответствующей ей доверительной вероятности в значительной мере лишено смысла, так как при этом мы не знаем, сколь надежны наши данные. Знание доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученного результата.
Какая нужна надежность? ? ? • Необходимая степень надежности опять таки задается характером производимых измерений • Для измерений, по условиям к х требуется чрезвычайно высокая степень надежности, иногда задают доверительную вероятность 0. 999. Большая величина доверительной вероятности в подавляющем большинстве измерительных задач не требуется. • При обычных измерениях можно ограничиться доверительной вероятностью 0. 9 или 0. 95.
Надо помнить: § Средней квадратичной ошибке соответствует доверительная вероятность 0. 68, удвоенной средней квадратичной ошибке (2 ) — доверительная вероятность 0. 95, утроенной (З ) — 0. 997. § Для других значений ошибок доверительная вероятность определяется по таблице (учитывая нормальный закон распределения ошибок).
Закон сложения случайных ошибок Правило: Для нахождения суммарной ошибки нужно складывать не сами ошибки, а их квадраты
Следствия-выводы: n n Значение отдельных ошибок очень быстро падает по мере их уменьшения. Иначе говоря, если одна из ошибок в два раза меньше другой, то общая ошибка возросла за счет этой меньшей ошибки всего на 10%, что обычно играет очень малую роль. Невозможно добиться хорошей точности измерений какой-либо величины, строя измерения так, что она находится как небольшая разность результатов независимых измерений двух величин, существенно превышающих искомую.
Фундаментальный закон возрастания точности при росте числа наблюдений n Квадратичная погрешность среднего арифметического равна средней квадратичной погрешности отдельного результата, деленной на корень квадратный из числа измерений:
u Чтобы повысить точность измерений в 2 раза, мы должны сделать вместо одного — четыре измерения; чтобы повысить точность в 3 раза, нужно увеличить число измерений в 9 раз; u Увеличение числа наблюдений в 100 раз приведет к десятикратному увеличению точности измерений.
Где предел повышения точности указанным способом? ? ? n Это рассуждение относится лишь к измерениям, при которых точность результата полностью определяется случайной ошибкой. В этих условиях, выбрав n достаточно большим, мы можем существенно уменьшить ошибку результата.
• При практической работе очень важно строго разграничивать применение средней квадратичной ошибки отдельного измерения s и средней квадратичной ошибки среднего арифметического • Последняя применяется всегда, когда нам нужно оценить погрешность того числа, которое мы получили в результате всех произведенных измерений. • В тех случаях, когда мы хотим характеризовать точность применяемого способа измерений, следует характеризовать его ошибкой s.
На практике • Вычисляем sn (в соответствии с целью) • Задаемся значением доверительной вероятности • Вычисляем доверительный интервал по методу Стьюдента • Результат: с выбранной вероятностью истинное значение измеряемой физической величины попадет в полученный доверительный интервал
Пути уменьшения СЛО • Путь 1. Улучшение точности измерений, т. е. уменьшение величины (определяется методикой измерений) • Путь 2. Увеличение числа измерений, т. е. использование соотношения
Когда не надо уменьшать СЛО? • Когда общая погрешность полностью определяется ССО . Т. к. при заданной доверительной вероятности величина СЛО задается шириной доверительного интервала х, то в случае, когда х << . Но…Вопрос: на сколько меньше? ? ? (*)
Когда не надо уменьшать СЛО? • Как правило, нет необходимости определять общую ошибку с точностью, большей 10% при х /10 условие (*) можно считать выполненным. • Практически обычно можно удовлетвориться гораздо менее жестким требованием х /2 • Надежность, с какой хотим установить наш доверительный интервал, в большинстве случаев не должна превышать 0. 95.
Необходимое число измерений • Дано: 1. Стандартная ошибка отдельного измерения s (коэффициент вариации используемой методики измерений) 2. Систематическая ошибка (класс точности прибора) • Ограничиваемся условием х /2 • • Задаемся значением Для данных значений и х/s по таблице находим n ?
Какой путь использовать? l l Может оказаться, что n=1500 и более. В таких случаях для уменьшения погрешности результата необходимо радикально менять методику измерений с тем, чтобы уменьшить величину случайной ошибки (Путь 1). Путь 2 пригоден реально, если 5
n n Выше мы рассмотрели прямые многократные измерения. Как быть, если измерения косвенные? ? ?
Принцип учета ошибок косвенных измерений ¡ Если у=f(x), то
Согласование точности со свойствами объекта • Нет смысла добиваться, чтобы ошибка измерений была меньше погрешности, определяемой той схематизацией, которая принята при наших измерениях. • Формула (в основе косвенных измерений) – модельное отражение реальности • Оценку необходимой точности следует делать в результате тщательного анализа условий опыта и факторов, влияющих на конечный результат
Итоговое задание u. Чему равна ошибка суммарного веса 100 образцов, если каждый из них измерен с точностью 0. 05 г? ? ?
В будущем на инженерно-физическом ► Планируется проведение конкурса на лучшие работы по учету ошибок измерений. ► Имена победителей будут выставлены на сайте ЕГУ. ► Возможно будут и призы!!! Учитесь учитывать неучтенное
Скачать презентацию Случайность в мире измерений Можно утверждать что какая-либо
Случайность в мире измерений два.ppt