Случайной величиной называется величина которая в результате опыта

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта принимает заранее неизвестное численное значение.

Т. е. значения, которые она может принимать в результате опыта, образуют множество ее возможных значений или спектр значений. Случайные величины бывают непрерывными и дискретными. Будем обозначать случайные величины Х, а их возможные значения х. Например, пусть Х - число очков, выпавших при бросании кубика. Х - случайная величина и множество ее значений будет: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Случайная величина называется дискретной, если множество ее возможных значений cчетно (т. е. все возможные значения можно пронумеровать натуральными числами) {x 1 , x 2 , …, xn }

Дискретная случайная величина полностью определяется своим рядом распределения. Ряд распределения представляет собой таблицу, в которой указаны все возможные значения случайной величины и их вероятности: хi х1 х2 … хn pi p 1 p 2 … pn

Поскольку ряд распределения содержит все возможные значения случайной величины, то суммарная вероятность должна быть равна 1. По ряду распределения можно находить различные вероятности и строить многоугольник распределения. Многоугольник распределения – ломаная, которая соединяет точки, абсциссы которых содержит первая строка ряда распределения (значения случайной величины), а ординаты – вторая строка (вероятности этих значений).

Рассмотрим опыт с бросанием двух игральных кубиков. Пусть случайная величина Х - сумма выпавших очков. Составим для нее ряд распределения: xi pi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 Найдем вероятность следующих событий: Р(X<5), P(X>10), P(3

Р(X<5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)= =1/36+2/36+3/36=6/36=1/6 Р(X>10)=P(X=11)+P(X=12)= =2/36+1/36=3/36=1/12 P(3

Построим ряд распределения :

Пусть Х дискретная случайная величина, заданная своим рядом распределения: x 1 … xi … xn p 1 … pi … pn

Математическим ожиданием M[X] случайной величины Х называется сумма ряда

Например, в рассмотренном выше примере с двумя игральными кубиками:

Среднее арифметическое значений, принимаемых случайной величиной в длинной серии опытов, приближенно равно ее математическому ожиданию.

Эта теорема выражает приближенную связь между средним арифметическим и математическим ожиданием. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Проведем n опытов. Пусть при этом случайная величина Х приняла значение х1 - n 1 раз, х2 - n 2 раз. . . хm nm раз. Найдем среднее арифметическое этой случайной величины: =

= Так как отношение вида ni/n определяет частоту события в данной серии опытов, то при достаточно большом числе опытов оно приближается к вероятности этого события:

СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ 1 Математическое ожидание от постоянной величины равно этой постоянной величине: М[C]=C, C=const

Рассмотрим ряд распределения случайной величины Х=С: С 1 Тогда математическое ожидание будет равно М[C]=C

2 Математическое ожидание суммы случайных величин Х и У равно сумме математических ожиданий этих величин: М[X+Y]=M[X]+M[Y]

Распишем математическое ожидание суммы двух случайных величин по определению: = Перегруппируем слагаемые иначе: = =

Каждую сумму разобьем на две (по a и b соответственно): = = Вторые суммы в каждом из слагаемых дают, соответственно, Р(Х=а) и Р(Х=b) и по определению математического ожидания имеем: =

3 Математическое ожидание суммы случайной величины Х и постоянной величины С равно сумме математического ожидания Х и самой величины С: М[X+С]=M[X]+С

Используем второе свойство математического ожидания: М[X+С]=M[X]+М[С] На основании первого свойства: М[С]=С Тогда М[X+С]=M[X]+С

4 Постоянную величину можно выносить за знак математического ожидания: М[k X]=k M[X], где k=cоnst.

Используем определение мат. ожидания: = Постоянную k можно вынести за знак суммы: =

5 Математическое ожидание произведения независимых случайных величин Х и У равно произведению математических ожиданий этих величин: М[XY]=M[X]M[Y]

Распишем математическое ожидание по определению: = Для независимых случайных величин: Тогда: =

Дисперсия - это мера рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания:

Например, пусть случайная величина Х задана рядом распределения: x p 0 q 1 p Найдем математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Для вычисления дисперсии часто используют другую формулу:

Используем ожидания: свойства математического

СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ 1 Дисперсия от постоянной величины равна нулю: D[C]=0, C=const

Используем второе дисперсии. Так как выражение M[C]=C, M[C 2]=C 2 то D[C]=M[C 2]-(M[C])2=C 2 -C 2=0 для

2 Дисперсия суммы случайной величины Х и постоянной величины С равна дисперсии величины Х : D[X+С]=D[X]

По свойству математического ожидания: М[X+С]=M[X]+С Поэтому на основании определения дисперсии:

3 Постоянная величина выносится за знак дисперсии в квадрате: D[k X]=k 2 D[X]

Используем определение дисперсии: По свойству математического ожидания:

4 Дисперсия всегда неотрицательна: D[ X ] ³ 0

5 Дисперсия суммы двух случайных величин находится по формуле: D[ X + Y ] = D[X ]+ D[ ]+ 2 K XY Y

Величина KXY называется корреляционным моментом случайных величин X и Y: Корреляционный момент описывает взаимодействие двух случайных величин. Если случайные величины X и Y независимы, то их корреляционный момент равен 0.

Распишем дисперсию суммы случайных величин по определению дисперсии: Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий:

Перегруппируем слагаемые: Под знаком математического раскрываем квадрат суммы: ожидания Снова используем свойства математического ожидания:

Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратичным отклонением: Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, а среднее квадратичное отклонение имеет размерность самой случайной величины.