Случайная величина СВ 1 Случайная величина СВ

Случайная величина (СВ) 1

Случайная величина (СВ) • СВ – колич. характеристика случ. явления. • Случайной назыв. такая велич. , которая в рез. опыта может принять то или иное значение, • причем заранее неизвестно, какое именно. 2

Случайная величина (СВ) • Обозначение СВ: • а ее возм. знач. – соответствующими малыми буквами с индексами. • Напр. , возм. знач. СВ X: x 1, x 2, . . . , xn • Для нас важно то, что результаты любых измерений являются случ. величинами. 3

Случайная величина (СВ) • Каждое знач. СВ есть случ. событие. • Все возможные знач. СВ составляют полную группу соб. • Различают СВ двух типов – дискретные (ДСВ) и непрерывные (НСВ) 4

Случайная величина (СВ) • Дискретная (ДСВ) - такая СВ, возм. знач. которой: • 1) принимают отдельные изолированные значения; • 2) их все можно указать заранее численно, если их число конечно. 5

Случайная величина (СВ) • Напр. , • ДСВ X – число попаданий при 3 -х выстрелах; • Ее возм. знач. : 0, 1, 2, 3. • Число возм. знач. ДСВ может быть конечным и бесконечным. 6

Случайная величина (СВ) • Непрерывная (НСВ) - такая СВ, возм. знач. которой: • в принципе нельзя указать заранее численно; • можно указать лишь границы ее изменения, • т. е. отрезок, на кот. находятся все ее возм. знач. 7

Случайная величина (СВ) • Напр. , НСВ X – координаты точек попадания при стрельбе в мишень; • (ее возм. знач. ограничены размерами мишени) • Или НСВ Y – результаты многократных измер. одной величины; • (ее возм. знач. непрерывно изменяются в пределах точности измерит. прибора) • Число возм. знач. НСВ всегда бесконечно. 8

Случайная величина (СВ) • Важнейшей и исчерпывающей характеристикой СВ является: • закон распределения вероятностей ее значений. 9

Закон распределения СВ • Законом распределения СВ называется любое соотношение, устанавливающее связь между ее возм. значениями xi и соответствующими им вероятностями pi. • Про СВ говорят, что она подчинена данному закону распределения. 12

Способы задания закона распределения ДСВ • 1. Численный способ – в виде ряда распределения (таблицы) …. . . 13

Способы задания закона распределения ДСВ • 2. Графич. способ – в виде многоугольника распределения: • Он строится по данным ряда распр. 14

Способы задания закона распределения ДСВ • 3. Аналитический способ – в виде формулы, позволяющей вычислять вероятности отдельных знач. СВ • в зависимости от самих этих значений. 15

• Напр. , ф. Бернулли задает биномиальный закон распр. ДСВ X, где СВ: • X = k – число появлений события в n испыт. • Возм. знач. этой СВ • k = 0, 1, 2 , …, n , • а вероятности этих знач. вычисляются по ф. Бернулли: • . 16

• Имея аналитич. выражение закона распр. СВ, всегда можно получить ряд распределения. • Так ряд распр. для биномиального закона: 0 1 2 . . . • При этом всегда 17

Способы задания закона распределения НСВ • Для НСВ нельзя составить ряд распр. , как для ДСВ, • так как в принципе невозможно перечислить все ее возм. знач. , • принадлежащие отрезку [ a, b ]. 18

Способы задания закона распределения НСВ • Однако внутри этих границ разные интервалы значений СВ имеют в общем случае разные вероятности: 19

Способы задания закона распределения НСВ • Поэтому для НСВ: • имеет смысл только вычисление вероятностей попадания в соседние интервалы • и не имеет смысла вычисление вероятностей отдельных ее значений 20

Способы задания закона распределения НСВ • Для НСВ возможен только аналитич. способ задания закона ее распр. • Это должен быть такой способ, кот. позволял бы легко вычислять вер. ее попад. в отдельные интервалы. • Такому требованию отвечает т. н. функция распределения вероятностей • или просто – функция распределения СВ. 21

Способы задания закона распределения НСВ • Функция распределения F(x) • и связанная с нею плотность вероятности f(x) • – две формы аналитического задания закона распр. НСВ 22

Функция распределения вероятностей • Ф. распр. СВ F(x) есть вероятность случ. события, • состоящего в том, что СВ X примет знач. левее точки x на числ. оси, т. е. • где x – некот. текущая переменная 24

Функция распределения вероятностей 26

Функция распределения вероятностей • F(x) называют также интегральным законом распределения СВ • или интегральной функцией. 28

Свойства функции распределения • Все они вытекают из определения F(x), как вероятности случ. события: • 1. • т. е. F(x) есть неотрицат. функция, заключенная между 0 и 1. 30

Свойства функции распределения • 2. Вероятность появления СВ в инт. , полузамкнутом справа, равна • . 31

Свойства функции распределения • Замечание. Если будем неогранич. уменьшать участок , полагая, напр. , что , • то в пределе получим • Если в точке функция F(x) имеет разрыв (ДСВ), то этот предел равен значению скачка функции в точке. 34

Свойства функции распределения • Если же функция в точке непрерывна (НСВ), то этот предел равен нулю. • Т. о. , для НСВ вероятность любого ее конкретного значения равна нулю, т. е. • . 35

Свойства функции распределения • 3. при • т. е. F(x) есть неубывающая функция. 36

Свойства функции распределения • 4. 37

• Функция F(x) существует как для НСВ, так и для ДСВ – это универсальный способ задания закона их распр. 38

• Для ДСВ ф. распр. F(x) имеет вид: • , • где под знаком суммы означает, • что суммирование распространяется на все те значения СВ, которые меньше заданного. 39

Задача • Производятся два выстрела по мишени. • Вер. попад. при одном выстр. p = 0. 3. • Получить функцию распределения числа попаданий и построить ее график. 40

Решение • Имеем ДСВ • Построим для нее ряд распр. • Возм. знач. этой СВ равны 0, 1 и 2, • а вероятности этих знач. получим по ф. Бернулли: • , где 41

Решение • Ряд распределения: k pi 0 1 2 - возм. знач. 0. 49 0. 42 0. 09 - их вероятн. 42

Решение • Для получения F(x) вычислим несколько ее знач. в таблице и построим график. 43

Решение k № 1 0 1 2 pi 0. 49 0. 42 0. 09 0 3 1 0 1 2 >=2 pi 0. 49 0. 42 0. 09 - F(x) 2 x=k 0 0. 49 0. 91 1 2 4 45

x=k pi F(xi ) 0 1 0. 49 0. 42 0 0. 49 2 >=2 0. 09 - 0. 91 1 46

График F(x) 47

• График функции F(x) для любой ДСВ есть всегда прерывная ступенчатая линия • Сумма ординат всех скачков равна единице. 48

• С увелич. числа возм. знач. СВ и уменьшением интервалов между ними • ступенчатая линия становится более плавной. • ДСВ постепенно приближается к НСВ, • а ее ф. распр. – к непрерывной функции. 49

• График ф. F(x) для любого закона распр. вероятностей имеет одинаковый внешний вид: • 50

Задача • Дана функция распределения НСВ: • Найти вер. попадания СВ в интервал и построить график функции распр. 51

Решение • Вероятность попад. СВ в интервал найдем по формуле • , • т. е. • . 52

Решение • Для построения графика найдем: 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0. 25 0. 75 1 1 53

Решение • Построим график: 54

Плотность распределения (плотность вероятности) • Понятие плотности вероятности – функция – вводится только для НСВ • и определяется как: 55

Плотность распределения (плотность вероятности) • Функция характеризует как бы плотность, с которой распределяется СВ в данной точке. • Поэтому ее и называют плотностью распределения или плотностью вероятности, • а также дифференциальным законом распределения СВ. 56

Плотность распределения (плотность вероятности) • Кривая, изображающая плотность вероятности, называется кривой распределения. • Кривая распределения для разных законов имеет разную форму, • Это более наглядно отражает различие между законами. 57

Плотность распределения (плотность вероятности) • Напр. : • Но, несмотря на различие графиков, общие свойства функции одинаковы для всех законов распределения. 58

Свойства плотности вероятности • • • 1. Плотность вероятности неотрицательна, т. е. , т. к она определена как производная от неубывающей функции. Геометрически это свойство означает, что кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс. 59

Свойства плотности вероятности • 2. • что очевидно из определения ф. распр. : 60

Свойства плотности вероятности • Геометрически на графике функции функция численно равна площади: 61

Свойства плотности вероятности • 3. Вероятность попадания СВ на участок равна 62

Свойства плотности вероятности • Геометрически эта вероятность численно равна площади криволинейной трапеции с основанием. 63

Свойства плотности вероятности • При и , получим узкий прямоуг. Его площадь называется элементом вероятности. 64

Свойства плотности вероятности • 4. . • Это свойство следует из свойства 2 и из того, что. 65

Свойства плотности вероятности • Геометрически это означает, что вся площадь, между кривой распр. и осью абсцисс, равна единице: 66

Задача • СВ подчинена закону распределения с плотностью вероятности • 1. Построить график плотности; • 2. Вычислить вероятность попадания СВ на участок от 0 до ; • 3. Найти ф. распр. СВ. 67

Решение • 1. Для построения графика найдем ряд значений функции : 0 0 0. 35 0 68

Решение • Построим график плотности 69

Решение • 2. Вычислим вероятность попадания в заданный интервал по формуле • , • где , а : 70

Решение 71

Решение • 3. Найдем функцию распределения по формуле 72

Решение • Получим: 73

Решение • И окончательно: 74