Сложные Проценты Сложные проценты применяются в долгосрочных

Сложные Проценты

Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, иногда называют капитализацией процентов.

Формулы наращения 1) Формула наращения по сложным процентам Пусть первоначальная сумма долга равна Р, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит Р(1+i), через 2 года - Р (1+i) = Р (1+i 2) через n лет - Р (1+i)n. Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов. S = P (1+i) n где S — наращенная сумма; i — годовая ставка сложных процентов; n — срок ссуды; (1 + i)n — множитель наращения. В практических расчетах в большинстве случаях применяют дискретные проценты, т. е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т. д. ). Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен Р, а знаменатель (1+i). Наращенные суммы по формулам простых и сложных процентов (множители наращения, соответственно, (1 + ni) и (1 + i) n) различаются между собой даже при условии одинакового периода начисления и одинаковой процентной ставки. Покажем это на примере.

• Пример 9. Исходная сумма кредита 100 000 ден. ед. Ставка 30 % годовых. Определить наращенную сумму по простым и сложным процентам за 0, 5 года, 1 год и 2 года. Решение. S 1 = 100000 · (1 + 0, 5 · 0, 3) = 115000 ден. ед. S 2 = 100000 · (1 + 1 · 0, 3) = 130000 ден. ед. S 3 = 100000 · (1 + 2 · 0, 3) = 160000 ден. ед. S 4 = 100000 · (1 + 0, 3) 1/2 = 114017 ден. ед. S 5 = 100000 · (1 + 0, 3) 1 = 130000 ден. ед. S 6 = 100000 · (1 + 0, 3) 2 = 169000 ден. ед. Результаты расчетов запишем в таблицу. Проценты Период начисления суммы 0, 5 года 1 год 2 года Простые 115000 ден. ед. 130000 ден. ед. 160000 ден. ед. Сложные 114017 ден. ед. 130000 ден. ед. 169000 ден. ед.

Обобщая полученные результаты расчетов, можно сделать следующие выводы: 1) при периоде менее года простые проценты более выгодны кредитору, банку; 2) при периоде в 1 год использование простых и сложных процентов приводит к равным результатам; 3) при периоде более года использование сложных процентов приводит к более интенсивному росту наращенной суммы, т. е. выгоднее кредитору, банку.

2) Формула наращения по сложным процентам при изменении ставки во времени. В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид S = P (1 + i 1 ) n 1 ( 1 + i 2 ) n 2 … ( 1 + ik )k где i 1, i 2. . . , ik — последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n 1, n 2. . . , nk соответственно. Пример 10. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 15 % годовых, плюс маржа 6 % в первые два года, 8 % — в третий год, 10% —в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года. Решение. (1 + 0, 21) 2 (1 + 0, 23) (1 + 0, 25) = 1, 83

3) Формулы удвоения суммы. В целях оценки своих перспектив кредитору и должнику интересно знать, через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз при данной процентной ставке. Для этого приравняем множитель наращения величине N, в результате получим: а) для простых процентов (1 + niпр) = N, тогда n = (N – 1) / iпр б) для сложных процентов (1 + iсл)n = N, тогда n = ln. N/ln(1 + icл) Эти две формулы называются формулами удвоения и принимают следующий вид: а) для простых процентов n = 1/iпр б) для сложных процентов n = ln 2/ln (1 + iсл) При небольших ставках процентов (менее 10%) вместо формулы n = ln 2/ln (1 + iсл) можно использовать более простую приближенную, если учесть, что ln 2 ˜ 0, 7, а ln (1 + i) ~ i. Тогда n ~ 0, 7/i

Пример 11. Рассчитать, за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов, равной 3 %. Для ставки сложных процентов расчеты выполнить по точной и приближенной формулам. Результаты сравнить. Решение. а) Для случая простых процентов n = 1/iпр = 1/0, 03 = 33, 33 лет б) при сложных процентах, вычисленных по точной формуле, n = ln 2/ln (1 + iсл) = 0, 6931 ln (1 + 0, 03) = 23, 45 в) при сложных процентах, вычисленных по приближенной формуле: n ~ 0, 7/i ~ 0, 7/0, 03 ~ 23, 33 лет Таким образом, одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к различным результатам, при малых значениях ставки сложных процентов точная и приближенная формулы дают практически одинаковые результаты.

4) Начисление годовых процентов при дробном числе лет При дробном числе лет проценты начисляются разными способами: 1) по формуле сложных процентов S = P (1 + i) n 2) на основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное — простые, S = P (1 + i) a (1 + bi) где n = а + b, а — целое число лет, b — дробная часть года; 3) в ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т. е. S = P (1 + i) a

Номинальная и эффективная ставки процентов 1) Номинальная ставка Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году т. Тогда каждый раз проценты начисляют по ставке j/m. Ставка j называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле S = P (1 + j/m) N где N — число периодов начисления, М= mn. Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при m разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами, приводящими к различным результатам: 1) по формуле сложных процентов S = P (1 + j/m) N/r где N/r— число периодов начисления процентов, r — период начисления процентов; 2) по смешанной формуле S = P (l + j/m) a (l + bj/m) где а — целое число периодов начисления, т. е. а = [N/r] — целая часть от деления всего срока ссуды N на период начисления r, b — оставшаяся дробная часть периода начисления (b = N/r - а).

Пример 12. Размер ссуды, предоставленной на 28 месяцев, равен 20 млн. ден. ед. Номинальная ставка равна 60 % годовых; начисление процентов ежеквартальное. Вычислить наращенную сумму в трех ситуациях: • на дробную часть начисляются сложные проценты; • на дробную часть начисляются простые проценты; • дробная часть не учитывается. Результаты расчетов сравнить. Решение. Всего 28/3 периодов начисления, т. е. 9 кварталов и 1 мес. : 1) S = 20 • (1 + 0, 6/4)28/3 = 73, 713 млн. ден. ед. ; 2) S = 20 • (1 + 0, 6/4)9 (1 + 0, 6/4 • 1/3) = 73, 875 млн. ден. ед. ; 3) S = 20 • (l + 0, 6/4)9 = 70, 358 млн. ден. ед. Из полученных результатов расчета следует, что наибольшего значения наращенная сумма достигает во втором случае, т. е. при начислении на дробную часть простых процентов. Таким образом, для ссудодателя выгоднее второй вариант, так как итоговая сумма получается максимальной, а для заемщика предпочтительнее третий вариант, так как итоговая сумма минимальна.

2) Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по ставке j/m. Если проценты капитализируются т раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то можно записать равенство для соответствующих множителей наращения: (1 + iэ) n = (1 + j/m) mn где iэ — эффективная ставка, а j — номинальная. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением iэ = (1 + j/m) m – 1 Обратная зависимость имеет вид j = m [(1 + iэ) 1/m – 1] Пример 13. Банк начисляет сложные проценты на вклад, исходя из годовой номинальной ставки 0, 12. Вычислить эффективную годовую процентную ставку при ежемесячной и ежеквартальной капитализации процентов. Решение. По формуле iэ = (1 + j/m) m – 1 получаем: Iэ = (1 + j/m) m – 1 = (1 + 0, 12/12) 12 – 1 = 1, 192 – 1 = 0, 192 Iэ = (1 + j/m) m – 1 = (1 + 0, 12/4) 4 – 1 = 1, 1255 – 1 = 0, 1255

Пример 14. Определить, какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12 % годовых. Решение. Использование формулы j = m [(1 + iэ) 1/m – 1 дает: j = m [(1 + iэ) 1/m – 1] = 4 [(1 + 0, 12) 1/4 – 1] = 0, 115 3) Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов Как и в случае простых процентов, рассмотрим два вида учета — математический и банковский. Математический учет. В этом случае решается задача, обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения: S = P (1 + i) n из нее найдем Р: P = S/(1 + i) n = Su n Где u n = 1/(1 + i) n = (1 + i) -n — учетный, или дисконтный, множитель.

Если проценты начисляются т раз в году, то P = S/(1 + j/m) mn = Su mn Где u mn = 1/(1 + j/m) mn = (1 + j/m) –mn — дисконтный множитель. Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной или текущей стоимостью или приведенной величиной S. Дисконтный множитель показывает, во сколько раз первоначальная сумма меньше наращенной. Банковский учет. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле P = S (1 – dсл) n где dсл — сложная годовая учетная ставка. Дисконт определяется как D = S – P = S – S (1 - dсл) = S [1 – (1 – dсл)] При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.

4) Номинальная учетная ставка процентов В тех случаях, когда дисконтирование применяют m раз в году, используют номинальную учетную ставку f. Тогда в каждом периоде, равном 1/m части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке f/m. Процесс дисконтирования по этой сложной учетной ставке описывается формулой P = S (1 – f/m) N где N=тn — общее число периодов дисконтирования. Дисконтирование не один, а m раз в году быстрее снижает величину дисконта. 5) Эффективная учетная ставка Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе т дисконтирований в году. В соответствии с определением эффективной учетной ставки, найдем ее связь с номинальной из равенства дисконтных множителей: (1 – f/m) mn = (1 – dcл) n из которого следует, что dсл = 1 – (1 – f/m) m Отметим, что эффективная учетная ставка всегда меньше номинальной.

6) Наращение по сложной учетной ставке Наращение является обратной задачей для расчета учетных ставок. Формулы наращения по сложным учетным ставкам можно получить из формул дисконтирования P = S (1 – dсл) n и P = S (1 – f/m) N. Получаем: S = P/(1 – dсл) n S = P/(1 - f/m) N Пример 15. Рассчитать, какую сумму следует проставить в векселе, если реально выданная сумма равна 200 000 ден. ед. , срок погашения 2 года. Сумма векселя рассчитывается, исходя из сложной годовой учетной ставки 10 %. Решение. По формуле S = P/(1 – dсл) n получаем: S = 200000/(1 – 0, 1) 2 = 246913, 58 ден. ед. Пример 16. Решить предыдущую задачу при условии, что наращение по сложной учетной ставке осуществляется не один, а 4 раза в год. Решение. Подстановка в формулу S = P/(1 - f/m) N значений т = 4 и N = 4 • 2 дает: S = 200000/(1 – 0, 1/4) 8 = 244902, 42 ден. ед.

Непрерывные проценты 1) Наращение и дисконтирование Наращенная сумма при дискретных процентах, как было показано, определяется по формуле S = P (1 + j/m) mn где j — номинальная ставка процентов, m — число периодов начисления процентов в году. Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m ∞ имеем Используя второй замечательный предел получаем: 1 2 Используя этот предел в выражении (1), получаем, что формула наращенной суммы в случае непрерывного начисления процентов по ставке j имеет вид S = Pe in

Для того чтобы отличать ставку непрерывных процентов от ставок дискретных процентов, ее называют силой роста и обозначают б: S = Pe бn Сила роста представляет собой номинальную ставку процентов при т ∞. Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле P = Se –бn 2)Cвязь дискретных и непрерывных процентных ставок Дискретные и непрерывные процентные ставки находятся в функциональной зависимости, благодаря которой можно осуществлять переход от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот. Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно получить, приравнивая соответствующие множители наращения: (1+ i) n = e бn Из этого равенства следует, что б = ln(1+ i) i = еб – 1