Сложные проценты Математическая экономика Финансовая математика Сложные

Сложные проценты Математическая экономика. Финансовая математика

Сложные проценты применяются: v v в долгосрочных финансовых операциях, со сроком проведения более одного года; в краткосрочных финансовых операциях, если это предусмотрено условиями сделки, либо вызвано объективной необходимостью (например, высоким уровнем инфляции, риска и т. д. ).

Схема сложных процентов предполагает их капитализацию, т. е. базовая сумма, с которой происходит начисление, постоянно растет Пример 1. Сумма в 10000 помещена в банк на депозит сроком на 4 года. Ставка по депозиту - 10% годовых. Проценты по депозиту начисляются раз в год. Какова будет величина депозита в конце срока?

Решение Дано: первоначальная сумма вклада PV = 10000, процентная ставка r = 10% и срок n = 4 года. Определим FV 1 вклада на конец первого периода: FV 1 = PV + PV r = PV(1 + r) = 10000(1 + 0, 1) = 11000. Соответственно для второго периода величина FV 2 будет равна: FV 2 = FV 1 + FV 1 r = PV(1 + r) + PV(1 + r) · r = PV(1 + r)2 = 10000(1 + 0, 1)2 = 12100 Для последнего периода (n = 4): FV 4 = PV (1 + r)4 = 10000 (1 + 0, 1)4 = 14641

Общее соотношение для определения будущей величины имеет следующий вид: (1) Величину (1+r)n называют множителем наращения по сложным процентам

Рост суммы в 1. 00 по ставкам сложных процентов Нетрудно заметить, что величина FV существенно зависит от значений r и n. Например, будущая величина суммы всего в 1, 00 руб. при годовой ставке 15% через 100 лет составит 1 174 313, 45 руб.

При начислении сложных процентов обычно оговариваются величина годовой процентной ставки и частота начислений в течение года. В этом случае формула сложных процентов (1) преобразуется к виду: (2) где r - годовая процентная ставка, m - число периодов начисления в году, n - количество лет.

Пример 2. В банк вложены деньги в сумме 10 000 руб. сроком на 3 года под 36% годовых. В зависимости от периода начисления (год, полгода, квартал, месяц) сумма к концу срока составит соответственно: FV=10000·(1+0, 36)3=25 154 руб. , FV=10000· (1+0, 36/2)6=26 995 руб. , FV=10000·(1+0, 36/4)12=28126 руб. , FV=10000·(1+0, 36/12)36=28 983 руб. Очевидно, что чем больше m, тем быстрее идет наращение суммы.

Начисление процентов в смежных календарных периодах FV R 2 R 1 PV n 1 n 2 n Алгоритм деления общей массы процентов легко сформулировать на основе графика, построенного для двух смежных календарных периодов n 1 и n 2.

Общий срок ссуды делится на два периода n 1 и n 2. Соответственно: R=R 1+R 2. Где R 1= FV- PV=PV((1+R)·n 1 – 1)); R 2= PV((1+R)n – 1))- PV((1+R)n 1 – 1)) = PV((1+R)n – (1+R)n 1).

Пример 3. Ссуда была выдана на два года – с 1 мая 2004 г. по 1 мая 2006 г. Размер ссуды 10 млн. руб. Необходимо распределить начисленные проценты (ставка 14% АСТ/AСТ)по календарным годам. Решение. Получим следующие суммы процентов (в тыс. руб. ): за период с 1 мая 2004 г. до конца года (244 дня) за 2005 год с 1. 01 до 01. 05 (121 день) Итого за весь срок 2996 тыс. руб. Такой же результат получим для всего срока в целом:

Переменные ставки Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет использовать плавающие ставки. В этом случае общий множитель наращения определяется как произведение частных: FV = PV(1+r 1)n 1 ·(1+r 2)n 2 … (1+rk)nk Где r 1 , r 2, … rk — последовательность значений ставок, n 1, n 2, …nk — периоды, в течение которых «работают» соответствующие ставки.

Пример 4. Срок ссуды — 5 лет, договорная базовая процентная ставка — 12% годовых плюс маржа - 0. 5% в первые два года и 0, 75% в оставшиеся годы. Решение. Множитель наращения в этом случае составит:

Начисление процентов при дробном числе лет Часто срок в годах для начисления процентов не является целым числом. При этом применяются два метода. Согласно первому (общему методу), расчет ведется непосредственно по формуле (1). Второй (смешанный метод), предполагает начисление процентов на целое число лет по формуле сложных процентов, а за дробную часть по формуле простых процентов: где n = a + b — срок ссуды, a – целое число лет, b – дробная часть года.

Пример 5. Кредит 3 млн. руб. выдан на 3 года и 160 дней под 16, 5% сложных годовых. Подсчитайте сумму долга используя общий и смешанный метод. Год невисокосный. Решение. Сумма долга на конец срока (общий метод) определим по формуле (1): В свою очередь, смешанный метод дает

Формулы удвоения Наиболее наглядно влияние вида ставки можно охарактеризовать, сопоставляя число лет, необходимые для удвоения первоначальной суммы. Удвоение по простым процентам: Удвоение по сложным процентам:

Пример 6. Найдем срок удвоение первоначальной суммы для ставки 22, 5%. Решение. Срок удвоения по простой процентной ставке: В свою очередь, срок удвоения по сложным процентам:

Эффективная ставка Часто возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае осуществляют приведение соответствующих процентных ставок к их годовому эквиваленту: где r - номинальная ставка; m - число периодов начисления. Полученную при этом величину называют эффективной процентной ставкой (effective percentage rate - EPR) или ставкой сравнения.

Пример 7. Каков размер эффективной ставки, если номинальная ставка равна 25% при помесячном начислении процентов. Решение. Имеем: Для участвующих в сделке сторон безразлично применить ставку 25% при помесячном начислении процентов или годовую (эффективную) ставку 28, 0732%.

По завершению изучения материала необходимо выполнить домашнюю контрольную работу № 3, (согласно варианту)

Вопросы Когда применяются сложные проценты? 2. Выведите формулу наращения сложными процентами (с использованием процентной ставки r). 3. Постройте графики наращения по сложной процентной ставке используя разные значения r. 4. По какой формуле начисляются сложные проценты, если известна величина годовой процентной ставки и частота начислений в течение года? 5. Как осуществляется начисление сложных процентов в смежных календарных периодах? 6. Как осуществляется начисление сложных процентов в условиях переменной ставки? 7. Как осуществляется начисление сложных процентов при дробном числе лет? 8. Формулы удвоения. 9. Как рассчитывается эффективная ставка? 1.