Слайд 1 Модель лінійного програмування та її застосування

Слайд 1 Модель лінійного програмування та її застосування в землевпорядкуванні.

Слайд 2 Модель лінійного програмування та її застосування в землевпорядкуванні. Виконав: студент 3 курсу денної форми навчання Мартинюк Віталій

Слайд 3 Геометрична інтерпретація задачі лінійного програмування ЗЛП може бути проінтерпретована з геометричної точки зору. Однак для цього є необхідним використання деяких понять, що стосуються теорії множини. Опуклі множини Нехай на площині задано дві точки: Знайдемо координати довільної внутрішньої точки A(x; y) відрізка , що представлені через координати його кінців. Для розв’язання цієї задачі необхідно скористатись умовою колінарності векторів і Її застосування в координатній формі дозволяє представити координати точки A(x; y) у наступному вигляді: (1) Або, з урахуванням позначень у вигляді:

Слайд 4 (2) (3) З урахуванням (2) і (3), точку А можна представити у наступному вигляді: (4) (5) Точка А для якої виконується умови (4) і (5), називається опуклою лінійною комбінацією точок. При і та точка А співпадає з кінцевими відрізками - точкою при і - з кінцем відрізка - точкою. Таким чином, якщо t пробігає всі значення від 0 до 1, то точка А описує відрізок і. Точки. називаються кутовими або крайніми точками відрізка З означення лінійної опуклої комбінації точок очевидно, що кутова точка не може бути представлена як лінійна опукла комбінація двох інших точок відрізка. Співвідношення (4) і (5) є вірним незалежно від розмірності простору.

Слайд 5 , , …, Розглянемо тепер n точок. Точка А називається їх опуклою лінійною комбінацією, якщо виконуються умови (6) Множина точок називається опуклою, якщо вона разом з довільними двома точками містить і їх довільну опуклу лінійну комбінацію. Геометричний зміст цього означення полягає в тому, що множині разом з її двома довільними точками повністю належить і прямолінійний відрізок. , який їх з’єднує. Прикладами опуклих множин є прямолінійний відрізок, пряма, півплощина, круг, куля, куб, півпростір та ін. Точка множини називається граничною, якщо будь-який окіл як завгодно малого радіуса з центром в цій точці містить як точки, що належать множині, так і точки, які не належать йому.

Слайд 6 Граничні точки множини утворюють її межу. Замкнутою називається множина, що містить всі свої граничні точки. Замкнута множина може бути обмежена і необмежена. Множина називається обмеженою, якщо існує окіл радіуса скінченої довжини з центром у будь-якій точці множини, який повністю містить в собі дану множину. В протилежному випадку множина називається необмеженою. Кутовими точками опуклої множини називаються точки, що не є опуклою комбінацією двох довільних точок множини. Приклад. Кутовими точками трикутника є його вершини. Кутовими точками круга точки кола, що його обмежує. З прикладу випливає, що множини можуть мати або скінчену або нескінчену кількість кутових точок. Пряма, півплощина, півпростір, простір кутових точок не мають. Опуклим многокутником називається опукла замкнута обмежена множина на площині, що має скінченну кількість кутових точок.

Слайд 7 Кутові точки многокутника називаються його вершинами, а відрізки, що з’єднують дві вершини і утворюють її межу – сторонами многокутника. Опорною прямою опуклого многокутника називається пряма, що має з многокутником, який розташований по одну сторону від неї, прийманні одну спільну точку. Опуклим многокутником називається опукла замкнута обмежена множина в просторі (необов’язково розмірності 3), що має скінчену кількість кутових точок. Кутові точки многогранника називаються його вершинами. Многокутники, що обмежують многогранник, називаються його гранями, а відрізки, по яких перетинаються останні – ребрами. Опорною площиною опуклого многогранника називається площина, що має з многогранником, який розташований по одну сторону від неї, принаймні одну спільну точку.

Слайд 8 Властивості канонічної задачі лінійного програмування На жаль, практичні завдання лінійного програмування містять не дві або три змінні, а сотні і навіть тисячі. Тому, природно, графічні методи в цьому випадку виявляються марними. При графічному рішенні задач лінійного програмування ми можемо працювати в двох-або тривимірному просторі. Однак поняття n - мірного простору при n 3 є математичною абстракцією, хоча в довільне n мірний простір ми намагаємося перенести всі поняття, знайомі з розгляду тривимірного простору. Більш докладно про це будемо говорити нижче: при розгляді ідеї аналітичного рішення задач - сім - комплексного методу. Таким чином, нам необхідно розробити аналітичний метод рішення задач лінійного програмування. До теперішнього часу ми використовували загальну форму завдань лінійного програмування, коли система обмежень задачі може містити як нерівності, так і рівності. Щоб розробити єдиний метод вирішення завдань, далі будемо представляти завдання в єдиній, канонічної формі.

Слайд 9 Кажуть, що задач лінійного програмування записана в канонічної формі, якщо система її обмежень представлена у вигляді системи лінійних рівнянь. Якщо вихідна задача представлена в загальній формі, тобто має нерівності, ми зводимо задачу до канонічної формі, вводячи в неї додаткові, так звані балансові змінні. Число вводяться балансових змінних дорівнює числу нерівностей в системі обмежень вихідної задачі. Вводяться змінні, як і основні, є невідємними. При побудові канонічної форми завдання її функція мети залишається незмінною. Залишаються незмінними і обмеження у вигляді лінійного рівняння. Однак якщо ми маємо в системі обмежень вихідної задачі нерівність виду « » то ми додаємо в ліву частину нерівності балансову змінну, а знак нерівності замінюємо знаком рівності. Якщо ж маємо в системі обмежень вихідної задачі нерівність виду « » , то ми віднімаємо з лівої частини нерівності балансову змінну, а знак нерівності замінюємо знаком рівності. Зауважимо, що в кожну нерівність вихідної задачі необхідно вводити «свою» балансову змінну, відмінну від таких же змінних, що вводяться в інші нерівності. Розглянемо процес побудови канонічної форми завдання на прикладі. Нехай дана задача:

Слайд 10 (7) (8) (9) Так як завдання містить в системі обмежень нерівності, значить, вона представлена в загальній формі. Уявімо цю задачу в каконічнійй формі. У ній є дві нерівності. Отже, ми будемо вводити дві балансові змінні. Позначимо їх х3 і х4. В ліву частину першої нерівності додамо змінну х3, так як в лівій частині може знаходиться величина менша, ніж у правій частині нерівності. Додамо в ліву частину нову змінну, ми « вирівнюємо » обидві чати нерівності. Значення нової змінної х3 в точності так само відмінності значень величин в лівій і правій частинах нерівності. А з лівої частини другого нерівності віднімемо змінну х4.

Слайд 11 В результаті отримаємо уявлення вихідної задачі в канонічній формі: (10) (11) (12) Хоча нові (балансові) змінні у вихідній задачі були відсутні, вони мають важливий економічний сенс. Він визначається конкретно в залежності від змісту завдання. Зазвичай (як видно з побудови математичних моделей економічних задач) кожна нерівність системи обмежень враховує обмеженість ресурсу того чи іншого виду (наприклад, в задачах проізводчого планування). У цьому випадку кожна балансова змінна визначає величину недовикористаного ресурсу відповідного виду. Надалі, якщо не обумовлено інше, розглядаючи задачу лінейоного програмування, будемо мати на увазі, що вона представлена в канонічній формі.

Слайд 12 Постановка загальної задачі лінійного програмування Формування загальної задачі лінійного програмування(ЗЛП) Задана функція (13) і система лінійних обмежень (14) (15) де Знайти такі невід’ємні значення змінних які задовольняють умовам (14), (15) і при яки цільова функція (13) набуває екстремального (максимального чи мінімального) значення.

Слайд 13 Форми значення ЗЛП зручно записувати за допомогою знака суми. Справді вирази (13) – (15) можна подати, відповідно, так: (16) (17) (18) Ще компактнішим є запис ЗЛП у векторно-матричному вигляді (19) (20) (21)

Слайд 14 У виразах (19) – (21) є матрицею коефіцієнтів при змінних - вектор (матриця-стовпець) змінних; - вектор (матриця-стовпець) вільних членів; - вектор (матриця-рядок) коефіцієнтів при змінних у цільовій функції (13).

Слайд 15 Часто ЗЛП зручно записувати у векторній формі: (22) (23) (24) У виразі (23) Означення. Якщо в ЗЛП (13)-(15) система обмежень(14) має вигляд строгих нерівностей виду (25)

Слайд 16 то ЗЛП називається ЗЛП в симетричній формі. Означення. Якщо в ЗЛП (13)-(15) система обмежень (14) має вигляд рівнянь виду (26) де то ЗЛП називається ЗЛП в канонічній формі. Означення. координати якого задовольняють системі Вектор обмежень (14)-(15), називають планом або допустимим розв’язком ЗЛП. Сукупність усіх допустимих розв’язків (планів) ЗЛП утворює область допустимих розв’язків (ОДР) ЗЛП. Означення. Опорним планом ЗЛП називається план якщо система векторів в (26) при Означення. є лінійно незалежною.

Слайд 17 Опорний план називається невиродженим, якщо він задовольняє n лінійно незалежних обмежень - строгих рівностей (14). У протилежному випадку опорний план є виродженим. Означення. Оптимальним планом або оптимальним розв’язком ЗЛП називається план, при якому цільова функція набуває екстремального значення. Властивості розв’язків задачі лінійного програмування Теорема. Множина всіх планів ЗЛП опукла. Теорема. Цільова лінійна функція ЗЛП набуває свого максимального (мінімального) значення в кутовій точці многогранника розв’язків. Якщо цільова лінійна функція ЗЛП набуває свого максимального (мінімального) значення в більш ніж одній кутовій точці, то вона досягає того ж значення в довільній точці, що є опуклою лінійною комбінацією цих точок.

Слайд 18 Теорема. Якщо відомо що система векторів в розкладі (23) лінійно незалежна і така, що де всі то точка є кутовою точкою многогранника розв’язків. Теорема. - кутова точка многогранника розв’язків, Якщо то вектори в розкладі (23), що відповідають додатнім э лінійно незалежними. З властивостей розв’язків ЗЛП, що представлені у вигляді теореми, випливає, що якщо цільова лінійна функція ЗЛП обмежена на многограннику розв’язків, то: 1) Існує така кутова точка многогранника розв’язків, в якій цільова лінійна функція ЗЛП досягає свого оптимуму: 2)Кожний опорний план відповідає кутовій точці многогранника розв’язків. Отже для розв’язання ЗЛП необхідно дослідить лише кутові точки многогранника розв’язків, тобто лише опорні плани.

Слайд 19 Перехід від загальної задачі лінійного програмування до канонічної Графічний метод для визначення оптимального плану задачі лінійного програмування доцільно застосовувати, як правило, для задачі з двома змінними. За більшої кількості змінних вдаються до загального методу розв’язання задач лінійного програмування – так званого симплекс-методу. Слід зауважити, що останній адаптований до розв’язання ЗЛП у канонічній формі. У випадку, якщо ЗЛП представлена не в канонічній формі, для застосування симплекс-методу необхідно попередньо її звести до такої форми ЗЛП. Здійснюється це наступним чином. Якщо і - те обмеження-рівність в правій частині має значення помноживши і – те обмеження на (-1), в правій частині утвориться додатне значення. Якщо і-те обмеження має вигляд нерівності то ввівши допоміжну змінну представити у вигляді рівності , обмеження – нерівність можна

Слайд 20 Аналогічно якщо і-те обмеження має вигляд нерівності то ввівши допоміжну (балансову) змінну , обмеження неріність можна представити у вигляді рівності Зауваження. ЗЛП на відшукування оптимальног плану, при якому досягається максимум цільової функції, може бути зведена до ЗЛП на мінімум, якщо цільову функцію помножити на (-1). Тобто задачі: знайти і знайти мають однакові оптимальні розв’язки. Приклад. Записати в канонічній формі таку ЗЛП. Знайти

за умов Слайд 21 Розвязання. Для розв’язання задачі наведемо балансову змінну у першу нерівність, помножимо -1 на друге і третє обмеження та введемо балансову змінну в другу нерівність. Балансові змінні не змінюють значення цільової функції. Отже, задана ЗЛП може бути представлена в наступний канонічній формі. Знайти за умов

Слайд 22 Графічний метод розв’язування задачі лінійного програмування Графічний метод розв’язування ЗЛП базується на її геометричній інтерпретації та аналогічних властивостях і застосовується як правило, при розв’язуванні ЗЛП при n=2 та в окремих випадках при n=3 , оскільки досить важко побудувати многогранник розв’язків , що утворюється в результаті перетину півпросторів. ЗЛП при n>3 зобразити геометрично взагалі неможливо. Розглянемо ЗЛП при n=2 і розв’яжемо її графічним методом. Знайти екстремуму функції: (27) за умов (28) (29)

Слайд 23 Припустимо що система (28) за умов (29) сумісна й многокутник її розв’язків обмежений. Згідно з геометричною інтерпретацією ЗЛП кожне i-те обмеженнянерівність (28) визначає півплощину з граничною прямою системою обмежень (28) описується спільна частина або переріз усіх зазначених півплощин, тобто множина точок, координати яких задовольняють всі обмеження (28). Умова (29) невід’ємності змінних означає, що область допустимих розв’язків задачі належить першому квадрату системи координат двовимірного простору. Цільова функція ЗЛП геометрично інтерпретується як сім’я паралельних прямих З урахуванням властивостей розв’язків ЗЛП розв’язати ЗЛП графічно означає знайти таку вершину многокутника розв’язків, у результаті підставляння координат якої в (27) лінійна цільова функція набуде найбільшого (найменшого) значення.

Слайд 24 Алгоритм графічного методу розв’язування ЗЛП 1) Будуємо прямі лінії, рівняння яких дістаємо заміною в обмежених (28) знаків нерівностей на знаки рівностей. 2) Визначаємо півплощину, що відповідають кожному обмеженню задачі. 3) Знаходимо многокутник розв’язків ЗЛП. 4) Будуємо вектор цільової функції задачі. 5) Будуємо пряму 6) Переміщуючи пряму що задає напрям зростання значень перпендикулярну до вектора в напрямі вектора (для задачі максимізації) або в протилежному напрямі (для задачі мінімізації), знаходимо вершину многокутника розв’язків (останню спільну точку графіка цільової функції і ОДР ) де цільова функція досягає екстремального значення.

Слайд 25 7) Визначаємо координати точки, в якій цільова функція набуває максимального (мінімального) значення, і обчислюємо екстремальне значення цільової функції в цій точці. При застосуванні графічного методу для розв’язування ЗЛП можливі такі випадки. Цільова функція набуває максимального значення в єдиній вершині А многокутника розв’язків (рис 1). Максимально значення цільова функція досягає в будь-якій точці відрізка АВ (рис 2). Тоді ЗЛП має альтернативні оптимальні плани. ЗЛП не має оптимальних планів (рис 3 -значення цільової функції рівне нескінченості: рис 4 -система обмежень задачі несумісна). ЗЛП має оптимальний план за необмеженої області допустимих розв’язків (рис 5, 6). На рис 5 у точці В – максимум, на рис 6 у точці В – мінімум. На рис 7 показано, що у випадку необмеженої області допустимих планів цільова функція може набувати як максимального так и мінімального значення.

Слайд 26 Мал 1 Мал 2

Слайд 27 Мал 3 Мал 4

Слайд 28 Мал 5 Мал 6

Слайд 29 Мал 7